差分方程的解法

第三节 差分方程常用解法与性质分析

1、常系数线性差分方程的解

方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）

其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9）

为方程（8）对应的齐次方程。

如果（9）有形如

n n x λ=的解，带入方程中可得： 0

...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。

显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下：

（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解：

n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，

（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：

n m m n c n c c λ

)...(121----+++

（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=，

αβ?βαρarctan

,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n

?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成

项：

n n c n c c n n c n c c n m m m m n

m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++

综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程

（9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +*

n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。

例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征

根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如

果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系

数即可。

2、差分方程的z 变换解法

对差分方程两边关于n x 取Z 变换，利用n x 的Z 变换F （z ）来表示出k n x +的Z 变换，然后通过解代数方程求出F （z ），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的n x

例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x

解：解法1：特征方程为0232=++λλ，有根：2,121-=-=λλ

故：n n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。

由条件1,010==x x 得：n

n n x )2()1(---=

解法2：设F （z ）=Z(n x ),方程两边取变换可得： 0)(2))((3)1.)((0102=+-+--z F x z F z z x x z F z

由条件1,010==x x 得

23)(2++=z z z

z F 由F （z ） 在2>z 中解析，有

∑∑∑∞=∞=-∞=--=---=+-+=+-+=000)21()1(2)1(1)1(211111)2111()(k k k k k k k k k k

z z z z z z z z z F 所以，n

n n x )2()1(---=

3、二阶线性差分方程组

设=)(n z )(

n y x n ，)(d c b a A =，形成向量方程组 )()1(n Az n z =+ （12）

则

)1()1(z A n z n =+ （13） （13）即为（12）的解。

为了具体求出解（13），需要求出n

A ，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：

（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。

（2）将A 分解成ηξξη,,/,=A 为列向量，则有

A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ 从而，

)1(.)()1()1(1/Az z A n z n n -==+ηξ （3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，

找出n

A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得它的基本性质。

4、关于差分方程稳定性的几个结果

（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根k i i ...2,1,=λ满足1

（2）一阶非线性差分方程

)(1n n x f x =+ （14）

（14）的平衡点-x 由方程)(--=x f x 决定，

将)(n x f 在点-

x 处展开为泰勒形式：

)())(()(/---+-=x f x x x f x f n n （15） 故有：1)(/<-

x f 时，（14）的解-

x 是稳定的，

1)(/>-x f 时，方程（14）的平衡点-

x 是不稳定的。