【沪科版】九年级数学上第23章《解直角三角形》课时练习合集(含解析)
九年级上学期数学课时练习题
（23.1 锐角三角函数）
一.选择题
1.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）
A.BD
BC B.BC
AB
C.AD
AC
D.CD
AC
第1题图第2题图第9题图第10题图
2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）
352325
3.若锐角α满足cosα＜2
2
，且tanα3，则α的范围是（）A.30°＜α＜45° B.45°＜α＜60°
C.60°＜α＜90°
D.30°＜α＜60°
4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）
A.tan70°＜cos70°＜sin70°
B.cos70°＜tan70°＜sin70°
C.sin70°＜cos70°＜ta n70°
D.cos70°＜sin70°＜ta n70°
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝3
5
，则sin B的值为（）
A.4
5 B.3
5
C.3
4
D.4
3
6.已知α是锐角，cos α＝13
，则tan α的值是（ ）
7.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝5
13
，则tan B 的值为（ ）
A.1213
B.
5
13 C.125 D.513
8.在△ABC 中，若角A ，B 满足cos A +(1－tan B )2＝0，则∠B 的大
小是（ ）
A.45°
B.60°
C.75°
D.105°
9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于
3
2
，则sin ∠CAB 等于（ ）
3
5
D.
3
10
10.如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y ＝2x
上，第二象限的
点B 在反比例函数
y ＝k x 上，且OA ⊥OB ，cos A ，则k 的值为（ ）
二.填空题
11.已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35
，则cos B ＝__________.
12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，如果CD ＝3，
BD ＝2，那么cos ∠A 的值是__________.
13.若
α
为锐角，且cos
α
＝
132
-m ，则m 的取值范围是
_________________.
14.已知：
32
＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是
__________________.
15.已知：α是锐角，且tan α＝34
，则sin α+cos α＝__________.
16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a ＝3b ，那么sin A ＝________.
三.解答题 17.计算下列各题 （1）2sin60°－4cos
2
30°+sin45°tan60° .
（2）2tan 60-?－(π－3.14)0+(-12
)-2+1
2
12+tan27°tan63° .
18.先化简，再求值：2-+a b
a b ÷22
2
2
44-++a b a ab b －1，其中a ＝2sin60°－
tan45°，b ＝1.
19.如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.
20.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD .CB 相交于点H .E ，AH ＝2CH . （1）求sin B 的值； （2）如果CD 5BE 的长.
21.已知：sinα，cosα（0°＜α＜90°）是关于x的一元二次方程
2x2－(3+1)x+m＝0的两个实数根，试求角α的度数.
22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道
路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB.CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.
23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的
高AC为4m，B.C在同一水平地面上.
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.
5 2.236，结果精确到0.1m）
23.1《锐角三角函数》课时练习
参考答案
一.选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D A B C D B B
α
点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）
A.BD
BC B.BC
AB
C.AD
AC
D.CD
AC
解答：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠α＝∠ACD，
∴cosα＝cos∠ACD＝BD
BC ＝BC
AB
＝DC
AC
，
故选：C.
2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）
A.3
B.5
C.23
D.25
解答：过点B作BD⊥AC于D，
由勾股定理，得：AB＝10，AD＝22，
∴cos A＝AD
AB
＝25，
故选：D.
3.若锐角α满足cosα＜2，且tanα＜3，则α的范围是（）
A.30°＜α＜45°
B.45°＜α＜60°
C.60°＜α＜90°
D.30°＜α＜60°
解答：∵α为锐角，∴cosα＞0，
又∵cosα，∴0＜cosα，
∵cos90°＝0，cos45°，
根据锐角三角函数的增减性可得：45°＜α＜90°，
∵tan
α＞0，tanα，∴0＜tanα
∴0°＜α＜60°，
又∵tan0°＝0，tan60°
综合上述，45°＜α＜60°，
故选：B.
4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）
A.tan70°＜cos70°＜sin70°
B.cos70°＜tan70°＜sin70°
C.sin70°＜cos70°＜ta n70°
D.cos70°＜sin70°＜ta n70°
解答：根据锐角三角函数的概念，知：sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．
又cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°＞sin20°，即sin70°＞cos70°，∴cos70°＜sin70°＜ta n70°
故选D．
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝3
，则sin B的值为（）
5
A.45
B.35
C.34
D.43
解答：∵sin 2B +cos 2B ＝1，cos B ＝35，∴sin B 45
，
故选：A.
6.已知α是锐角，cos α＝13
，则tan α的值是（ ）
解答：由sin 2α+cos 2α＝1，cos α＝13
，得：sin α，
∴tan
α＝sin cos αα
＝，
故选：B.
7.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝5
13
，则tan B 的值为（ ）
A.1213
B.
5
13 C.125 D.513
解答：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝5
13
， ∴可设BC ＝5k ，AB ＝13k ，
∴AC 12k ，
∴tan B ＝AC BC
＝125k k
＝125
，
故选：C.
8.在△ABC 中，若角A ，B 满足cos A +(1－tan B )2＝0，则∠B 的大
小是（ ）
A.45°
B.60°
C.75°
D.105°
解答：由题意得，cos A ，tan B ＝1，
则∠A＝30°，∠B＝45°，
则∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：D．
9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于
3
2
，则sin∠CAB等于（）
A.33
2 B.3
5
C.10
5
D.3
10
解答：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CD⊥AB于C，由勾股定理，得：AB＝AC＝5，BC＝2，
由等腰三角形的性质，得：BE＝1
2BC＝2
2
，
∴AE＝22
AB BE＝32，
由三角形的面积，得：1
2AB CD＝1
2
BC AE，
∴CD＝BC AE
AB
＝35，
∴sin∠CAB＝CD
AC ＝3
5
，
故选：B.
10.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝2
x
上，第二象限的点B在反比例函数
y＝k
x
上，且OA⊥OB，cos A＝3，则k的值为（）
A.-3
B.-6
C.-4
D.-23
解答：作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，设A点坐标为(x，y)，则∠BCO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，
∴∠BCO+∠AOD＝∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠BCO＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO，∴△OAD∽△BOC，
∴OA
OB ＝AD
OC
＝OD
BC
，
∵cos∠BAO＝OA
OB ＝3，∴AD
OC
＝OD
BC
＝3，
∵y＝AD＝3OC，x＝OD＝3BC，
∵第一象限内的点A在反比例函数y＝2
x
上，∴xy＝3OC×3BC＝2，
∴k＝OC BC＝2×3＝－6，
故选：B.
二.填空题
11. 3
5. 12. 313
13
． 13. －1
3
＜m＜1
3
．
14. 20°＜∠A＜30° 15. 7
5 16. 1
2
.
11.已知：∠A+∠B＝90°，若sin A＝3
5
，则cos B＝__________.
解答：由∠A+∠B＝90°，sin A＝3
5，得：cos B＝sin A＝3
5
，
故答案为：3
5
．
12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果CD＝3，
BD＝2，那么cos∠A的值是__________.
解答：如图所示，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，
∴∠B +∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ， ∵CD ＝3，BD ＝2，∴BC
∴cos A ＝cos ∠BCD ＝DC
BC
故答案为：13
13.若
α
为锐角，且cos α
＝
132
-m ，则m 的取值范围是
_________________. 解答：∵0＜cos α＜1，
∴0＜132
-m ＜1，解得：－13
＜m ＜13
，
故答案为：－13
＜m ＜13
．
14.＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是____________.
解答：∵＜cos A ＜sin 70°，sin 70°＝cos 20°，
∴cos 30°＜cos A ＜cos 20°，∴20°＜∠A ＜30°． 故答案为：20°＜∠A ＜30°．
15.已知：α是锐角，且tan α＝34
，则sin α+cos α＝__________.
解答：由tan α＝a b
＝34
知，如果设a ＝3x ，则b ＝4x ，
结合a 2+b 2＝c 2得c ＝5x ．
所以sin α＝a c
＝35x x ＝35
，cos α＝b c
＝45x x
＝45
，
sin α+cos α＝35
+45
＝75
，
故答案为：75
．
16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a
，那么sin A ＝________.
解答：∵3a ，∴
a
b
＝3；
令a
，则
b ＝3k ；
c k ．
∴sin A ＝12
，
故答案为：12
.
三.解答题 17.计算下列各题 （1
sin60°－4cos
2
30°+sin45°tan60° .
解答：
×
2
－4×(2
)2+
2
－
3
（2）
2tan 60-?－(π－3.14)0+(-12
)-2+1
2
tan27°tan63° .
解答：原式＝
2 ＝2
－ ＝6
18.先化简，再求值：2-+a b
a b ÷22
2
2
44-++a b a ab b －1，其中a ＝2sin60°－
tan45°，b ＝1.
解答：2-+a b
a b ÷
2222
44-++a b a ab b －1
＝
2-+a b
a b
÷2()()(2)+-+a b a b a b －1
＝2-+a b
a b ×2(2)()()
++-a b a b a b －1
＝2++a b a b
－1
＝
+b
a b
， 当a ＝2sin60°－tan45°＝2×3－1＝3－1，b ＝1时，
原式＝－
311
-+＝
3
＝
3.
19.如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.
解答：过A 作AD ⊥BC 于点D ，
∵S △ABC ＝12
BC AD ＝84，∴12
×14×AD ＝84，∴AD ＝12．
又∵AB ＝14， ∴BD ＝
22
-AB AD ＝9．∴CD ＝14﹣9＝5．
在Rt △ADC 中，AC ＝22
+AD DC ＝13，
∴tan C ＝AD DC
＝125
；
过B 作BE ⊥AC 于点E ，
∵S △ABC ＝12
AC EB ＝84，∴BE ＝16813
，
∴sin ∠BAC ＝BE AB ＝168
1315＝5665
.
20.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD .CB 相交于点H .E ，AH ＝2CH . （1）求sin B 的值； （2）如果CD ＝
5，求
BE 的长.
解答：（1）∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD ，
∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，
∵AH＝2CH，
∴由勾股定理，得：AC＝5CH，
∴CH：AC＝1：5，
∴sin B＝5；
（2）由sin B＝5
5得：AC
AB
＝
5
，∴AC＝2，
∵∠B＝∠CAH，∴sin∠CAH＝sin B＝
5
，
设CE＝x（x＞0），则AE＝5x，则x2+22＝(5x)2，
∴CE＝x＝1，AC＝2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝2CD＝25，∴BC＝4，
∴BE＝BC－CE＝3.
21.已知：sinα，cosα（0°＜α＜90°）是关于x的一元二次方程
2x2－(3+1)x+m＝0的两个实数根，试求角α的度数.
解答：由根与系数的关系，得：sinα+cosα＝31+，sinαcosα＝
2
m，∵(sinα+cosα)2＝sin2α+cos2α+2 sinαcosα＝1+2 sinαcosα，
∴(31+)2＝1+2×
2
m，解得：m＝3，
把m＝3代入原方程得：2x2－(3+1)x+3＝0，
解这个方程得：x1＝1
2
，x2＝3，
∴sinα＝1
2或sinα＝3
2
，
∴α＝30°或60°.
22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道
路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB.CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.
解答：过点B作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G，
在Rt△ABE中，BE＝AB sin30°＝20×1
2
＝10km，
在Rt△BCF中，BF＝BC÷com30°＝10÷3＝
203km，
CF＝BF?sin30°＝203×1
2
＝103km，
DF＝CD－CF＝(30－103)km，
在Rt△DFG中，FG＝DF sin30°＝(30－103)×1
2
＝(15－53)km，EG＝BE+BF+FG＝(25－53)km，
答：两条高速公路间的距离为(25－53)km.
23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的
高AC为4m，B.C在同一水平地面上.
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.
（5≈2.236，结果精确到0.1m）
解答：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴i＝AC
BC ＝1
2
，
∴BC＝2AC＝4×2＝8m，
（2）作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H，∵∠DGH＝∠BSH＝90°，∠DHG＝∠BHS，
∴∠GDH＝∠SBH，
∴tan∠GDH＝tan∠SBH＝AC
BC ＝GH
GD
＝1
2
，
∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，
∴DH＝22
12
＝5m，BH＝BF+FH＝3.5+（2.5－1）＝5m，
设HS＝x m，则BS＝2x m，
由勾股定理，得：x2+(2x)2＝52，
解得：x＝5m，
∴DS＝DH+HS＝5+5＝25m，
答：点D离地面的高为25m.
九年级上学期数学课时练习题
（23.2 解直角三角形及其应用）
一.选择题
1.在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝3
5
，则斜边上的高等于（）
A.64
25 B.48
25
C.16
5
D.12
5
2.已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+3，则BC等于（）
A.3
B.3
C.23
D.3+1
3.在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cos B＝2
2
，则BC边长为（）
A.7
B.8
C.8或17
D.7或17
4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（）
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）
A.1
3 B.2－1 C.2－3 D.1
4
第5题图第6题图第7题图
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM ＝3
5
，则tan B的值为（）
A.3
2 B.2
3
C.5
6
D.4
3
7.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝1
2
BD，连接AC，
若tan B＝5
3
，则tan∠CAD的值为（）
A.3
3 B.3
5
C.1
3
D.1
5
8.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）
A.20海里
B.40海里3海里3
9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第
二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan ＝5
，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（）
2
A.144cm
B.180cm
C.240cm
D.360cm
第8题图第9题图第10题图10.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，
测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）
33+1 D.101
二.填空题
11. 在△ABC中，，∠C＝90°，tan a＝2
，AC＝6，则BC＝___________.
3
12.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图
象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO ＝3，那么点A的坐标是____________.
13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为
20°（不考虑身高因素），则此电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈
0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）
14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：
3，斜坡AB的水平宽度BE＝33m，那么斜坡AB的长为
_________m.
第14题图第15题图第16题图15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体
育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A.D.B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．
16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cos B＝4
，EC＝2，P
5是AB边上的一动点，则线段PE的长度的最小值是___________.
三.解答题
17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，
BC＝14，AD＝12，sin B＝4
，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC
5
的值.
18.如图，已知矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，过点O作OE⊥AC
交AD于E，若AB＝6，AD＝8，求sin∠OEA的值．
19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为
45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(3≈1.7)
20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，
暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°. （1）求调整后的滑梯AD的长度
（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝
高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求