2016-2018年三年高考数学(文)真题分类专题06 导数的几何意义含解析

考纲解读明方向

能利用基本初等函数的导数公式和导数的

本部分主要是对导数概念及其运算的考查,

以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.

1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.

2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查

,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.

3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.

2018

年高考全景展示

1.【2018年新课标I 卷文】

处的切线方程为 A.

B.

C.

D.

【答案】D

.

点睛：在某个点在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得

.

2．【2018年天津卷文】已知函数f(x)=e x ln x f(x)__________．

【答案】e

【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

e.

点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．【2018年全国卷II__________．

【答案】y=2x–2

点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.

4．【2018.

（I

（II

（III与直线d的取值范围.

【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ)极大值为(Ⅲ)

【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得f(x)=x3?x x2?1，结合f(0)=0，可得切线方程为x+y=0.

（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3?3t2x2+(3t22?9)x? t23+9t2.x2?6t2x+3t22?9.，解得x= t2

x= t2据此可得函数f(x)的极大值为f(t2f(t2

（III）原问题等价于关于x的方程(x?t2+d) (x?t2) (x?t2?d)+ (x?t2)+ 6有三个互异的实数解，令u= x?t2，

可得u3+(1?d2)u设函数g(x)= x3+(1?d2)x则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得

详解：（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x?1)(x+1)=x3?x x2?1，因此f(0)=0，，又因为曲线y=f(x)

在点(0，f(0))处的切线方程为y?f x?0)，故所求切线方程为x+y=0．

（Ⅱ）由已知可得

f(x)=(x?t2+3)(x?t2)(x?t2?3)=(x?t2)3?9(x?t2)=x3?3t2x2+(3t22?9)x?t23+9t2．

x2?6t2x+3t22?9，解得x=t2x=t2

当x f(x)的变化如下表：

所以函数f(x)的极大值为f(t23)=6函数f(x)的极小值为f(t23?

从而由可知函数

内各有一个零点，符合题意．

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．

5.【2018

0，求a；

a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）

【解析】分析：（1）（2）

.

详解：

（1）当a=0x x的变化情况如下表：

x=1处取得极大值，不合题意.

（2）当a>0a=1

无极值，不合题意.

0

x=1处取得极大值，不合题意.

a>1x的变化情况如下表：

x =1处取得极小值，即a >1满足题意.

（3）当a <0x 的变化情况如下表：

x =1处取得极大值，不合题意.综上所述，a

点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.

解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.

2017年高考全景展示

1.【2017课标1，文14】曲线2

1

y x x

=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 【解析】

试题分析：设()y f x = 则21

()2f x x x

'=-

，所以(1)211f '=-= 所以在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=?-，即1y x =+ 【考点】导数几何意义

【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点),(00y x P 及斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：

))(('000x x x f y y -=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由

切线定义知，切线方程为0x x =．

2.【2017天津，文10】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1 【解析】

【考点】导数的几何意义

【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线的斜率．相应地，切线方程为()()000y y f x x x '-=-．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.

3.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数()32

11,32

f x x ax a =-∈R ., (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()

3,3f 处的切线方程；

(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【答案】(I)390x y --=,（2）(II)⑴0a =无极值；⑵0a <极大值为3

1sin 6

a a --,极小值为a -； ⑶0a >极大值为a -,极小值为3

1sin 6

a a --. 【解析】

试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由()()(sin )g x x a x x '=--,通过讨论确定

()g x 单调性,再由单调性确定极值.

试题解析：（I ）由题意'

2

()f x x ax =-，

所以，当2a =时，(3)0f =，'2

()2f x x x =-，

所以'

(3)3f =，

因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-，

即390x y --=.

（1）当0a <时，'()()(sin )g x x a x x =--，

当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，'()0g x >，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，'()0g x <，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，'()0g x >，()g x 单调递增. 所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是3

1()sin 6

g a a a =--， 当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，'()(sin )g x x x x =-，

当(,)x ∈-∞+∞时，'()0g x ≥，()g x 单调递增；

所以，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.

【考点】导数的几何意义及导数的应用

4.【2017北京，文20】已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2

上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2

π

-.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式()()()000y f f x '-=-；（Ⅱ）设

()()h x f x '=，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调减求函数的最大值()00h =，

可以知道()()0h x f x '=≤恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.

【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()y f x =的单调性，求得最值.

2016年高考全景展示

1.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,

ln ,1,

x x x x -<

>?图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与

l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】

试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x =

=-由已知得121221

1

1,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴

切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=

-，切线2l 的方程为()2221

ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ??-=-- ??

?.分别令0

x =得

()()110,1ln ,0,1ln .

A x

B x -++又

1

l 与

2

l

的交点为

22

11111122221

111

21121,ln .1,1,0111211PAB

A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ????-++>∴=-?=<=∴<< ?++++??，故选A. 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．

2.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1

()x f x e x --=-，

则曲线()y f x =在(1,2) 处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】

考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．

【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．

3.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(]

,2.-∞ 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)

()ln 1

-=-+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解.

（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ， 故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；

（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=--=-+x a x a

由21>x 和121=x x 得11

故当2(1,)∈x x 时，()0'

,2.-∞

考点： 导数的几何意义，函数的单调性. 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；

(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．