常微分方程的数值解法(欧拉法、改进欧拉法、泰勒方法和龙格库塔法)
[例1]用欧拉方法与改进的欧拉方法求初值问题
h 的数值解。
在区间[0,1]上取0.1
[解]欧拉方法的计算公式为
x0=0;
y0=1;
x(1)=0.1;
y(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);
for n=1:9
x(n+1)=0.1*(n+1);
y(n+1)=y(n)+0.1*2*x(n)/(3*y(n)^2);
end;
x
y
结果为
x =
Columns 1 through 8
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 10
0.9000 1.0000
y =
Columns 1 through 8
1.0000 1.0067 1.0198 1.0391 1.0638 1.0932 1.1267 1.1634 Columns 9 through 10
1.2028 1.2443
改进的欧拉方法其计算公式为
本题的精确解为()
y x=
x0=0;
y0=1;
初值问题
《计算机数学基础(2)》辅导六 第14章常微分方程的数值解法 一、重点内容 1.欧拉公式: (k=0,1,2,…,n-1) 局部截断误差是O(h2)。 2. 改进欧拉公式: 或表示成: 平均形式: 局部截断误差是O(h3)。 3. 四阶龙格――库塔法公式: 其中κ1=f(x k,y k);κ2=f(x k+ 0.5h,y k+ 0.5 hκ1);κ3=f(x k+ 0.5 h,y k+ 0.5 hκ2); κ4=f(x k+h,y k+hκ3) 局部截断误差是O(h5)。
二、实例 例1用欧拉法解初值问题 取步长h=0.2。计算过程保留4位小数。 解h=0.2,f(x,y)=-y-xy2。首先建立欧拉迭代格式 =0.2y k(4-x k y k) (k=0,1,2) 当k=0,x1=0.2时,已知x0=0,y0=1,有 y(0.2)≈y1=0.2×1(4-0×1)=0.8 当k=1,x2=0.4时,已知x1=0.2,y1=0.8,有 y(0.4)≈y2=0.2×0.8×(4-0.2×0.8)=0.6144 当k=2,x3=0.6时,已知x2=0.4,y2=0.6144,有 y(0.6)≈y3=0.2×0.6144×(4-0.4×0.6144)=0.4613 例2 用欧拉预报-校正公式求解初值问题 取步长h=0.2,计算y(1.2),y(1.4)的近似值,小数点后至少保留5位。 解步长h=0.2,此时f(x,y)=-y-y2sin x 欧拉预报-校正公式为: 有迭代格式:
当k=0,x0=1,y0=1时,x1=1.2,有 =y0(0.8-0.2y0sin x0)=1×(0.8-0.2×1sin1)=0.63171 y(1.2)≈y1 =1×(0.9-0.1×1×sin1)-0.1(0.63171+0.631712sin1.2)=0.71549 当k=1,x1=1.2,y1=0.71549时,x2=1.4,有 =y1(0.8-0.2y1sin x1)=0.71549×(0.8-0.2×0.71549sin1.2) =0.47697 y(1.4)≈y2 =0.71549×(0.9-0.1×0.71549×sin1.2) -0.1(0.47697+0.476972sin1.4) =0.52611 例3写出用四阶龙格――库塔法求解初值问题 的计算公式,取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。 解此处f(x,y)=8-3y,四阶龙格――库塔法公式为 其中κ1=f(x k,y k);κ2=f(x k+ 0.5h,y k+ 0.5 hκ1);κ3=f(x k+ 0.5 h,y k+ 0.5 hκ2);
微分方程数值解法
《微分方程数值解法》 【摘要】自然界与工程技术中的很多现象,可以归结为微分方程定解问题。其中,常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是,对于许多的微分方程,往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式,这时候,数值解提供了一个很好的解决思路。,针对于此,本文对常微分方程数值解法进行了简单研究,主要讨论了一些常用的数值解法,如欧拉法、改进的欧拉法、Runge —Kutta 方法、Adams 预估校正法以及勒让德谱方法等,通过具体的算例,结合MA TLAB 求解画图,初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时,通过对各种方法的误差分析,让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。 【关键词】 常微分方程 数值解法 MA TLAB 误差分析 引言 在我国高校,《微分方程数值解法》作为对数学基础知识要求较高且应用非常广泛的一门课程,不仅 在数学专业,其他的理工科专业的本科及研究生教育中开设这门课程.近四十年来,《微分方程数值解法》不论在理论上还是在方法上都获得了很大的发展.同时,由于微分方程是描述物理、化学和生物现象的数学模型基础,且它的一些最新应用已经扩展到经济、金融预测、图像处理及其他领域 在实际应用中,通过相应的微分方程模型解决具体问题,采用数值方法求得方程的近似解,使具体问题迎刃而解。 2 欧拉法和改进的欧拉法 2.1 欧拉法 2.1.1 欧拉法介绍 首先,我们考虑如下的一阶常微分方程初值问题 ???==0 0)() ,('y x y y x f y (2--1) 事实上,对于更复杂的常微分方程组或者高阶常微分方程,只需要将x 看做向量,(2--1)就成了一个一阶常微分方程组,而高阶常微分方程也可以通过降阶化成一个一阶常微分方程组。 欧拉方法是解常微分方程初值问题最简单最古老的一种数值方法,其基本思路就是把(2--1)中的导数项'y 用差商逼近,从而将一个微分方程转化为一个代数方程,以便求解。 设在[]b a ,中取等距节点h ,因为在节点n x 点上,由(2--1)可得:
常微分方程作业欧拉法与改进欧拉法
P77 31.利用改进欧拉方法计算下列初值问题,并画出近似解的草图:dy + =t = t y y ≤ ≤ ,2 ;5.0 0,3 )0( )1(= ,1 ? dt 代码: %改进欧拉法 function Euler(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y+1; 调用:Euler(0,3,[0,2],0.5) 得到解析解:hold on; y=dsolve('Dy=y+1','(y(0)=3)','t'); ezplot(y,[0,2]) 图像:
dy y =t - t y ;2.0 t = ≤ )0( 0,5.0 ,4 )2(2= ≤ ? ,2 dt 代码: function Euler1(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y^2-4*t; 调用: Euler1(0,0.5,[0,2],0.2) 图像:
微分方程常用的两种数值解法:欧拉方法与龙格—库塔法
四川师范大学本科毕业论文 微分方程常用的两种数值解法:欧拉方法与龙 格—库塔法 学生姓名XXX 院系名称数学与软件科学学院 专业名称信息与计算科学 班级2006级 4 班 学号20060640XX 指导教师Xxx 四川师范大学教务处 二○一○年五月
微分方程常用的两种数值解法:欧拉方法与龙格—库塔法 学生姓名:xxx 指导教师:xx 【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支,在自然科学的许多领域中,都 会遇到常微分方程的求解问题。当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具,利用计算机解微分方程主要使用数值方法,欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程,分析了它们的优缺点,以及它们的收敛性,相容性,及稳定性。讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格—库塔方法的差别。通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较,能更深切体会它们的功能,优缺点及适用场合,从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。 关键词:显式单步法欧拉(Euler)方法龙格—库塔(Runge—Kutta)方法截断误差收敛性 Two commonly used numerical solution of differential equations:Euler method and Runge - Kutta method Student Name: Xiong Shiying Tutor:Zhang Li 【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge—Kutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation. This article dissects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stability has made the proof. At the same time, the article discuss the length of stride to the numerical method changing influence and the difference of the coefficient different same step Runge—kutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and the
欧拉及改进的欧拉法求解常微分方程
生物信息技术0801 徐聪U200812594 #include
数值计算方法复习题9
习题九 1. 取步长h = 0.1,分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题 (1);(2) 准确解:(1);(2); 欧拉法:,,, 改进的欧拉法:,,, 2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题,比较各法解的精度。,,, 3. 用欧拉法计算下列积分在点处的近似值。 0.5000,1.1420,2.5011,7.2450 4. 求下列差分格式局部截断误差的首项,并指出其阶数。 (1),2 (2),3; (3),4 (4),4 5.用Euler法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.3(保留到小数点后4位).
解: 直接将Eulerr法应用于本题,得到 由于,直接代入计算,得到 6.用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长 h=0.1,计算到x=0.5,并与准确解相比较. 解:用改进Euler法求解公式,得 计算结果见下表 用梯形法求解公式,得 解得 精确解为 7.证明中点公式(7.3.9)是二阶的,并求其局部截断误差主项. 证明根据局部截断误差定义,得 将右端Taylor展开,得
故方法是二阶的,且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。 8.用四阶R-K方法求解初值问题取步长 h=0.2. 解直接用四阶R-K方法 其中 计算结果如表所示: 9.对于初值问题 解因f'(y)=-100,故由绝对稳定区间要求(1)用Euler法解时, (2)用梯形法解时,绝对稳定区间为,由因f 对y是线性的,故不用迭代,对h仍无限制。(3)用四阶R-K方法时, 10. (1) 用Euler法求解,步长h应取在什么范围内计算才稳定?(2) 若用梯形法求解,对步长h有无限制? (3) 若用四阶R-K方法求解,步长h如何选取?
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容: 1.欧拉法
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容: 1.欧拉法、改进欧拉法. 2.龙格-库塔法。 3.单步法的收敛性与稳定性。 重点、难点 一、微分方程的数值解法 在工程技术或自然科学中,我们会遇到的许多微分方程的问题,而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法,称为微分方程的数值解法。本章我们主要 讨论常微分方程初值问题?????==00 )() ,(y x y y x f dx dy 的数值解法。 数值解法的基本思想是:在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内,取n+1个节点a=x 0<x 1<…<x N =b (其中差h n = x n –x n-1称为步长,一般取h 为常数,即等步长),在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题,再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值(满足精度要求)。 二、欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。 将常微分方程),(y x f y ='变为() *+=?++1 1))(,()()(n x n x n n dt t y t f x y x y 1.欧拉法(欧拉折线法) 欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。 欧拉法的基本思想:用左矩阵公式计算(*)式右端积分,则得欧拉法的计算公式为:N a b h N n y x hf y y n n n n -= -=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差 11121 )(2 ++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O (h 2)。