黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1引言..................................................... 错误!未定义书签。２积分理论的发展....................................... 错误!未定义书签。3黎曼积分和勒贝格积分定义的比较?错误!未定义书签。

3.1黎曼积分?错误!未定义书签。

３.2 勒贝格积分?错误!未定义书签。

4黎曼积分与勒贝格积分的关系?错误!未定义书签。

５黎曼积分和勒贝格积分性质的比较?4

5.１被积函数绝对可积性的比较............................ 错误!未定义书签。

5.２被积函数的有界性的比较?错误!未定义书签。

5.3中值定理............................................. 错误!未定义书签。

５.４被积函数连续性的比较?错误!未定义书签。

5．５收敛条件............................................ 错误!未定义书签。6黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系 ........ 错误!未定义书签。７勒贝格积分的某些推广................................ 错误!未定义书签。8结束语.................................................... 错误!未定义书签。参考文献?错误!未定义书签。

致谢?错误!未定义书签。

黎曼积分和勒贝格积分的比较

数学系本1０01班王海荣

指导老师：张炎彪

摘要:本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系,通过两者的定义、被积函数的连续性,有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较上，从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题上时比较的具有优势,同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广,但是却不是黎曼反常积分的推广。

关键词:黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。

Ｒｉｅmaｎn iｎｔｅgrａl ａnｄ the Lebesgue intｅgｒaｌ

Wang Hａiroｎｇ

Clａss1001，Ｍaｔhematｉcs Dｅｐartmｅnｔ

Tuｔoｒ:Zhang Yanｂiao

Ａbstｒact ：Iｎ my ｔhesis, basｅd on ｔhe ｋnoｗlｅdgｅｏf the Rｉemａｎn iｎtegrａｌanｄ tｈe Lebesｇｕe inｔegｒal, ｗe want t ｏｅxplore anｄsｕmmａrｉｚe the ｄiｆｆerence and conneｃtｉon b ｅｔｗeen the Ｒiemanｎｉntegｒaｌaｎd the Ｌｅbesｇｕｅｉｎtegra ｌ． Through the dｅfiｎｉtion of both itemｓ, the coｎtiｎuity and bouｎdedness ｏｆ the iｎtｅgｒanｄ, the conveｒgｅnce ｃｏndiｔion, the iｎｔermeｄiate vａlue theorem, ａbsoｌｕte Inteｇrability aｎd the cｏｍpａrｉson oｆ the ｂroaｄseｎｓｅｏf Rｉｅmann inｔeｇｒal and tｈｅＬｅbesgｕe inteｇｒal, It ｓhoｗs Lebesgue intｅgｒａl has some advantages iｎ the ｔreaｔment of sｏme dｉffiｃult pｒoｂl ｅｍs on Riｅｍａｎn inｔｅｇraｌ, and also pｏintes ｏut ｔhaｔｔh ｅLeｂｅsｇuｅｉntｅgrａl ｉs an ｉｍpoｒtant generalizaｔion o ｆ Rｉemann ｉntegral, ａnd it is noｔthe pｒomotioｎ of Riemann ａnomalouｓ iｎtegraｌ．

Keｙｗorｄs: Rｉemann ｉnteｇral, Ｌebｅｓgue inｔegral， contiｎuity, boundedness.

1引言

黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析和实变函数的主要核心内容。虽然莱布尼茨和牛顿两人发现了微积分,而且还给出了定积分的相关论述,但是现在我们所学习的教科书中有关定积分的现代化定义是黎曼积分给出来的。勒贝格积分是黎曼积分非常重要的推广,勒贝格积分与黎曼积分的最主要不同在于前者是对函数的函数值的区域进行定义区分,而后者是对函数定义域进行定义划分。这两种积分既有联系又有区别，通过对这两种积分的对比研究,可以让我们加深对积分理论及应用的更多理解。

研究清楚这些问题对我们学习数学非常重要，所以以下我们将对这些问题进行一一深入探讨与研究。

2积分理论的发展

在很早的时候柯西对连续函数做出了积分的定义。黎曼在柯西的基础上对“基本上”连续的函数积分进一步给出了相关定义。很早之前人们运用黎曼积分来进行计算曲边形的面积、物体的重心以及物理学上的功和能等方面都是很方便的。但是随着深入的认识，人们便开始经常地去处理解决一些复杂的函数。例如由一列性质优良的函数组成的级数所定义出来的函数，和两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在谈论它们的可积性、可微性、连续性时,经常遇到极限与积分能否交换顺序的相似问题，通常只有在很强的假定下（一致收敛)才能对这种问题作出确定性的回答。所以，人们在理论和使用上都急切的想要建立一种新的积分,它既能够维持黎曼积分在计算和几何直观上具有有效性,又能够确保极限与积分交换顺序等条件上有很大的改良与突破。这就需要对黎曼积分概念进行改良。把积分学推向进步的是勒贝格，他在1９0２年成功引进一种新的积分——勒贝格积分,同时还引入了一门新的数学分支学科——实变函数论。

勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数,１８72年,康托提出集合论,引进了点集的概念,间断点可以看做一个整体进行考察,这样子就为间断点与可积性关系的探究提供了办法,勒贝格在原来的基础上推广了长度,建立点集测度的概念，与此同时，定义了内测度)

m*和外测度)

m*，如果

*时,我们称E为可测集，并称内测度和外测度的公共值I为点集E m*

(

)

的测度。勒贝格的测度概念把黎曼可积函数类变得非常的了然。勒贝格又把可测集上的函数定义为可测函数,那么E 是一有界可测集,)(x f 是定义在E 上的实函数，如果对任一实数a ,点集})(:{a x f x E >=还是勒贝格可测集，则)(x f 是E 上的可测函数。容易知道，可测函数不是连续函数的简单推广,它是在测度论基础上构造出来的，但它能把连续函数、可导函数、单调函数作为特例加以概括。能够证明,区间上的任意连续函数都是可测函数，狄利克雷函数则是不连续的可测函数。利用可测函数,在研究黎曼积分的定义方式后，考虑到由于间断点所造成的振幅过大的困难，勒贝格大胆地改变了对黎曼积分作函数定义域分割的方法，而采用对函数值域分割的方法，从而寻求到“缩小”振幅,消除间断点困难的简单、巧妙而富有哲理性的逆向思维方式。并在点集论、测度论、可测函数等已有基本概念上创建一种新的积分类型——勒贝格积分。彻底解决了黎曼积分自身局限性所造成的各种困难问题，定义了他自己的积分概念。这两种积分既有区别又有联系,通过对这两种积分的对比研究,能让我们加深对积分理论及应用的理解。

3黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

3.1 黎曼积分

黎曼积分是为了处理计算平面上封闭曲线围成图形的面积问题而产生的，它是从划分闭区间[]b a ,上着手，利用极限想法来进行定义的。

定义1 设函数)(x f 在[]b a ,上有以下定义。随意给[]b a ,一个划分T :

a =n x x x <<< 10=

b ,然后在所有小区间[]k k x x ,1-上任意取一点k ξ，

n k ,,2,1 =。记区间[]k k x x ,1-的长为k ?=1--k k x x ,令=)(T l max },,2,1:{n k k =?。作积分和为k k n

k f ?∑==)(1n ξσ。假设当0)(→T l 时，那么积分和n σ的极限是I ，即 I f k k k T l n T l =?=∑=)(lim lim 1

0)(0)(ξσ，且数I 与划分T 无关,也与k ξ的取值无关，则称函数)(x f 在[]b a ,黎曼可积,I 是在[]b a ,上的黎曼积分，表示为

?=b

)()(a dx x f R I 。假设当0)(→T l 时,积分和n σ极限不存在,称函数)(x f 在[]b a , 上是不可积。黎曼积分的定义知道:若函数)(x f 在[]b a ,上黎曼可积，那么)(x f 在[]b a ,上必定有界。换句话说,若函数)(x f 在[]b a ,上无界，则)(x f 在[]b a ,上必定

不是黎曼可积。

3.2 勒贝格积分

利用与黎曼积分类似的思想,从划分函数值域着手利用极限思想来定义勒贝格积分。

定义2 设函数)(x f 是[]b a ,上的有界可测函数，M x f m <<)(。任意给[]M m ,

一个划分M y y y m T n =<<<= 10：。然后考虑集合})(:{1k k k y x f y x E <≤=-, 当n k ,2,1 =,给勒贝格定义小和s 及大和S ,k n k k mE y s ∑=-=11,∑==n k k k mE y S 1

则会有s S sup inf =和)(s -0a b t S -<≤,其中},,2,1:m ax {1n k y y t k k =-=-。所以定义函数)(x f 在[]b a ,上的勒贝格积分为?==b

a dx x f L s S )()(sup inf 。由定义可以知道在有界区间上的有界可测函数勒贝格积分总是存在的。比较黎曼积分的定义1和勒贝格积分的定义２，会使人们觉得,黎曼积分是对区间[]

b a ,进行划分来思索的,然而勒贝格积分是从对函数值域进行划分来思索的。但这并不是它们真正区分的实质。因为我们也可以不需要划分函数值域的方法去定义L 黎曼积分,以下称为3定义。

定义3 设)(x f 是n R 上的非负可测的简易函数,它在点集),,2,1(p i A i =上取值)(,,)(:11j i A A R A xA c x f c j i n p

i i p i i i i ≠?=====∑ 。假如E 是可测集，那么定义

非负可测简易函数)(x f 在E 上的勒贝格积分为)()(1i E p

i i A E x c dx x f L ?∑==）（。设)(x f 是n R E ?上的非负可测函数，我们定义)(x f 是E 上的勒贝格积分，为 ??∈≤=E E x x f x h E

x h dx x h dx x f L )(:)({sup )()()(）（是n R 上的非负可测简易函数}。若 ∞

设)(x f 是n R E ?上的可测函数，}0),(max {)(x f x f =+,

}0),(max {)(x f x f -=-,如果积分dx x f L E

)()(?±中最起码有一个是有限的，则称 dx x f L dx x f L dx x f L E

E E )()()()()(???-+-=）（为)(x f 在E 上的勒贝格积分；如果上面式子右边两个积分都有限时，则称)(x f 在E 上是勒贝格可积的。

从勒贝格积分的定义3可以知道,在这没有对函数值域作出任何的划分,而

是从非负可测简单函数角度来定义可测函数的勒贝格积分，固然勒贝格积分的这两个定义是相等的。虽然在[]b a ,上黎曼可积的函数是勒贝格可积的，但反过来说明就不一定是成立的。所以对区间作划分上的区别只是表面现象，并不是勒贝格积分定义的本义性质。

4黎曼积分与勒贝格积分的关系

我们已经差不多建立好了勒贝格积分理论，在进一步说明这一理论的其他内容之前,我们可以先揭示它与黎曼积分的关系。它们的关系能用一个公式来表示,它不但阐明勒贝格积分是黎曼积分的一种推广,而且为一般有界函数的黎曼可积性提供了一个简单的判别准则。本文将从一维的情形进行探讨，在这里要用到黎曼积分理论的下述结果：

设)(x f 是定义在[]b a I ,=上的有界函数，()}{n ?是对[]b a ,所做的分划序列: ()()()()b x x x a n k n n n n =<<<=? 10

:() ,2,1=n ，()()()}1:max{1n n i n i n k i x x ≤≤-=?-， ()0lim =?∞→n n ,若令(对每个i 以及n )()()()}:)(sup{1n i n i n i x x x x f M ≤≤=-， ()()()}:)(inf{1n i n i n i x x x x f m ≤≤=-,则关于)(x f 的Darbo ｕx 上,下积分下述等式成

立:()()()()11-lim )(-=∞→-=∑?i n n i k i n i n b a x x M dx x f n ，()()()()()∑?=-∞→-=n k i i n n i n i n b a x x m dx x f 11

-lim 。引理1 设)(x f 是定义在[]b a I ,=上的有界函数,记)(x ω是)(x f 在[]b a ,上的振幅（函数），我们有()dx x f dx x f dx x b

a a

b I )()(-???--=ω。左端是)(x ω在I 上的勒贝格积分。

证明因为)(x f 在[]b a ,上是有界的,所以)(x ω是[]b a ,上的有界函数,所以 []()b a L ,∈ω。对于之前所述说的分划序列()}{n ?，作下列函数列有

()()()()()()

()????∈=-?的分点，

是n n i i n n i x x x x M x n ,0,,1ω,() ,2,1,,,2,1==n k i n , []()()},2,1:,{的分点是 =?∈=n x b a x E n , 显然()0=E m 且有()[]E b a x x x n n \,),()(lim ∈=?∞

→ωω。我们记B A ,各是[]b a x f ,)(在上的上确界、下确界，存在一切x ,有()B A x n -≤?)(ω,所以根据控制收敛定理(控

制函数是常数函数）可以得到()()dx x dx x I I

n n ??=?∞→ωω)(lim 。从另一方面看，因为 ()()()()()()()(

)11-=?--=∑?i n n i k i n i n i I x x m M dx x n n ω()()()()()()()()1111-=-=---=∑∑i n n i k i n i i n n i k i n i

x x m x x M n

n 得到()()()==???∞→dx x dx x I n I n ωωlim ()()dx x f dx x f b

a b a ??---。定理 1 函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的一切要成一零测集。

５黎曼积分和勒贝格积分性质的比较

5.１被积函数绝对可积性的比较

我们都知道如果f 在[]b a ,上是可积的,那么f 在[]b a ,上也是可积的，这就说明了对于勒贝格积分来说，f 在[]b a ,上可积与f 在[]b a ,上可积是相互等的，但是对于黎曼积分来说,这个性质反而不成立。

例１ ()???=是无理数

，是有理数；，x x x f 1-1 ,显然,)(x f 在[]1,0上不是黎曼可积；但是

1)(≡x f ,)(x f 在[]1,0上黎曼可积。

５．2 被积函数的有界性的比较

由定理１我们知道函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的全体要成一零测集,函数连续点的全体所构成的集合也一定是稠密集,简略说明，黎曼积分理论是针对连续函数或“基本上”连续的函数而建立，同时说明可积函数必定是有界的。

定理２如果函数f 黎曼可积,那么f 必定有界。

设0)(≥x f 在可测集q R E ?上是可测的,这时我们可定义

[]dx x f dx x f En E n ??=)(lim )(，称)(x f 在E 上的勒贝格积分。其中

}:),,({,21n x x x x x K EnK E q n n n ≤=== 。

令}0),(m ax {)(},0),(m ax {)(x f x f x f x f -==-+，则)()()(x f x f x f -+-=,容易得出,如果)(x f 在E 上是可测的,那么)(x f +与)(x f -在上也是可测,反之亦然。

而且对于测度有限的可测集上的可积函数)(x f 来说,总是有

dx x f dx x f dx x f E E E )()()(??

?-+-=。定义4 设)(x f 在可测集q R E ?上是可测的,假如在上述定义下的 dx x f E )(?+和dx x f E

)(?-不同时为∞+时，那么我们称)(x f 在E 上积分是确定的，并且定义dx x f dx x f dx x f E E E

)()()(???-+-=是)(x f 在E 上的勒贝格积分，要是此积分有限，我们称)(x f 在E 上勒贝格可积。

定理３设)(x f 为可测集q R E ?)(∞

由此我们知道勒贝格积分与黎曼积分相比较下有着明显的优点,它将可积函数类扩大成一般可测函数，而不仅仅是限于有界函数。

５.3中值定理

在黎曼积分中,有以下中值定理:

定理4(第一中值定理）设f 在[]b a ,上连续，则存在[]b a ,∈ξ,使得

?-=b

a a

b f dx x f ))(()(ξ。

定理５(第二中值定理)设f 在[]b a ,上可积，

(i)如果函数g 在[]b a ,上递减,且0)(≥x g ,则存在[]b a ,∈ξ，使得

??=b

a a dx x f a g dx x g x f ξ

)()()()(。（ii)如果函数g 在[]b a ,上递增，且0)(≥x g ,则存在[]b a ,∈η,使得

?=b a b dx x f b g dx x g x f η)()()()(。推论2 设函数f 在[]b a ,上可积，如果g 为单调函数,则存在[]b a ,∈ξ，使得

???+=b a a b dx x f b g dx x f a g dx x g x f ξη

)()()()()()(。在勒贝格积分中,我们知道了从非负可测函数积分的几何意义到一般可测函数积分的几何意义。

定理6 （非负可测函数积分的几何意义）设)(x f 是可测集n R E ?上的非负函数,那么当)(x f 在E 上可测时,有?=E

f E mG dx x f ),()(。

推论3 设)(x f 是n R E ?上可积函数,则),(),()(-+-=?f E mG f E mG dx x f E

。５.4 被积函数连续性的比较

如果)(x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,那么)(x f 在[]b a ,上是黎曼可积的充分条件是)(x f 在[]b a ,上的不连续点集是零测度集。

定理7 定义在有限区间[]b a ,上的函数若是黎曼可积,那么勒贝格可积,并且积分值是相等的，即??=b a b

a dx x f L dx x f R )()()()(。这表明了)(x f 在[]

b a ,上黎曼可积与勒贝格积分是相等的，反过来证明勒贝格可积的函数未必黎曼可积。

例2()[][]???∈∈=IQ x IQ x x x f 101103，

，；，，在[]1,0上的函数,不是黎曼可积的，却是勒贝格可积的。那是因为除了点1=x 外，闭区间[]1,0上的其余点都是属于间断点，那么它在一正测度集上是间断的，所以它不是黎曼可积的,但是因为)(x f 是有界可测，所以说这个函数是勒贝格可积的。

5.5收敛条件

在黎曼积分的意义下，函数列只有满足一致收敛的条件,才能够保证极限与积分的交换顺序，但是这一条件过分强了。如)10()(≤≤=x x x f n n ， ,2,1=n , 当∞→n 时,)(x f n 收敛但是非一致收敛于；10,01

,1{)(<≤==x x x f ,然而此时仍然有 dx x f R dx x f R n n n n )(lim )(0)()(lim 1

010??∞→∞→==。

这就说明,黎曼积分收敛定理中的一致收敛只是积分运算与极限运算交换的充分条件，而不是必要条件。

在勒贝格意义下，不是一致收敛也能保证积分与极限运算的交换的。定理８（勒贝格控制收敛定理）设

（1）)}({x f n 是可测集E 上的可测函数列;

（2）e a x F x f n ?≤)()(∈x E , ,2,1=n ，并且)(x F 在E 上L 可积;

（3）)()(x f x f n ?（依测度收敛）

则)(x F 在E 上L 可积,并且??=∞→E

E n n dx x f dx x f )()(lim 。

通过定理６，7,8能对黎曼积分收敛定理作出了一些适当的改进,改进后的定理是：

定理9 设)(),2,1)((x f n x f n 、 =和)(x F 在[]b a ,上R 可积且

（1）)(x f n 处处收敛于)(x f ；

（2）)()(x F x f n ≤

那么有??=∞→b

a b a n n dx x f R dx x f R )()()()(lim 。下面我们重新来考察前面所提到的函数列 ,2,1),10()(=≤≤=n x x x f n n ,和

极限函数；10,01

,1{)(<≤==x x x f ,显然)}({x f n 和)(x f 满足定理9的条件，因此，虽然 )}({x f n 不一致收敛于)(x f ,但是由定理9可知必定有

???==∞→∞→1

01010)()()(lim )()()(lim dx x f R dx x f R dx x f R n n n n 。由此得知,定理9的确比原来的黎曼积分收敛定理要优越,但是还要注意,定理９要求)(x f n 在[]b a ,上必定要一致有界的(因)(x F 可积必有界),这显然使得积分号下取极限这一重要运算手段受到了非常大的限制与影响,不仅仅如此,定理9中关于极限函数)(x f 可积性的假设也是不能丢掉的。

例３将[]1,0中全体有理数列出: 21,r r 作函数列

()()?

??===，其他；，，，，，02,1121 n r r r x x f n n 。显然对每个自然数)(,x f n n 是[]1,0上黎曼可积的函数,并且积分值都是零,所

以()()[][]?

??==∞→中的无理数为，中的有理数；为，1,001,01lim x x x f x f n n 。容易知道极限函数)(x F 是狄利克雷函数,它不是黎曼可积的，那就没有办法去讨论积分号下取极限的问题。

另一方面,从定理８得出,在勒贝格积分理论中,没有要求函数列一定要一致有界，只要有一个控制函数就行;也没有要求)(x f n 必须处处收敛于)(x F ，只要)(x f n 能够依测度收敛)(x F 就行,也不用假设极限函数的可积性，这是因为定理8本身就可以保证极限函数一定是可积的。例如,对定理9中的)}({x f n 和)(x f ，必定有[][]??=∞→1,01,0)()()()(lim dx x f L dx x f L n n 。