第6章习题答案

第六章分子动理论

6-1一立方容器，每边长20cm其中贮有，的气体，当把气体加热到时，容器每个壁所受到的压力为多大？

解：根据理想气体状态方程pVNkT得

pV

1 N。所以

kT

1

p N kT

V

pV

kTT400

1101325135100N/m213.5N/cm

p

1

kTVT300

11

2

6-2一氧气瓶的容积是，其中氧气的压强是，规定瓶内氧气压强降到时就得充气，以免混入其他气体而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用氧气，问一瓶氧气能用几天。

解：一瓶氧的摩尔数为p V

RT

，用完后瓶中还剩氧气的摩尔数为

p

V

RT

，实际能

用

的摩尔数为数为

(pp)

-.每天所用氧气的摩尔数为

RT

p V

RT

。一瓶氧气能用的

天

n

(p

p

p

V

)V 132

1

10 32

400

9.6(d

)

6-3有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0×10

-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol

-1)?

解：当压强计顶部中混入氦气，其压强为pg(h1h2)，由理想气体状态方程得氦气

的质量为

M p V

RT

g(h

1

RT

h

2

)V

13.546(0.76 0.6)

(0.12

8.31

300

0.16) 2.010

4

0.41.9510

6

kg

6-4在常温下(例如27℃)，气体分子的平均平动能等于多少ev?在多高的温度下，气体分子的平均平动能等于1000ev?

解：

2

3.8810ev，301K

6-5计算下列一组粒子平均速率和方均根速率?

N214682

i

1

V(ms)10.020.030.040.050.0

i

2110.0420.0630.0840.0250.0

解：21.7m/s

41

22222

2110.0420.0630.0840.0250.02

656.1m/s25.6m/s

41

6-6下列系统各有多少个自由度：

(1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币；

(3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动．

解：（1）确定平面上运动的粒子需要2个独立坐标，所以自由度数为2；

（2）确定硬币的平动需要两个独立坐标，确定转动需要一个坐标，确定硬币位置共需3个坐标，所以自由度数为3；

（3）这是一个自由刚体，有6个自由度，其中3个平动自由度和3个转动自由度。

6-7某种理想气体，在P1atm，V44.8l时，内能E6807J，问它是单原子、双原子、多原子分子的哪一种？

解：由pV

E

i

2

RT

RT

2E26807

可得i3。

3

pV

10132544.810

自由度为3，所以是单原子分子。

6-8某刚性双原子理想气体，处于0℃。试求：

⑴分子平均平动动能；⑵分子平均转动动能；⑶分子平均动能；⑷分子平均能量；⑸1 2

摩尔的该气体内能。

332321

解：（1）kkT1.3810273.155.6510J

22

（2）rkT3.761021J

（3）9.411021J

kktkr

21

（4）9.4110J

k

53

（5）2.50.58.31273.152.8410J

ERT

2

6-9设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-9图所示．求

(1)分布函数f(v)的表达式；

(2)a与v之间的关系；

(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数．

(4)粒子的平均速率．

(5)0.5 v到1v

0区间内粒子平均速率．

题6-9图

av/ N v(0

0 v v)

解：(1) f(v)a/N( v

0 v2v

)

0(v 2v)

2

1aa

00

0 (2由归一化条件(2)1

f()da/Nda/Nd00得

2NN00

a

2N 3 0

（3） N

9.7 13.547 0 0 Nf

21 0 ()dada 0

0.7 0

2

N 3 2 a11 2

00

（4）0

f()ddad 0N9

00

（5）0.5 v 到1v 0区间内粒子数为

N 0 8.32 0

Nf ( )d

a 0 00 .5 0

d

3a 8 0 N 4

1.v 0到1v 0区间内粒子数平均速率为

2 2

11a17a70

00

Nf()dd

NNN839 2.10.50 00

6-10试计算理想气体分子热运动速率的大小介于

1

v p v100与

p

1

v p v100之间的分子数占总分子数的百分比．

p

解：把 2kT

p 代入麦克斯韦速率分布函数，有

m

2

dNN

4 π 1 3

p e 2 p 2 d 2

N421

1242

所以，0.0166

p

ee 3 N100

ππ

p

6-11三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度相同，而方均根速率

111 之比为 22 v: A 22 v: B 22 v=1:2:4，则其压强之比p A :p B :p C =？ C

解：由 1 2 pnm 得

3

p A :p:p BC 222 ：： ABC 1:4:16 6-121mol 氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?

35

RTERT 22

解：E kt3739.5J；E kr RT2493J；6232.5J

6-13一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比．

解：（1）由pnkT可得

pp

OH n:n:

OkT

H

kT

OH 1: 1

（2）由8kT

πm

得

O : H

m

H

m

O

2

32

1:4

6-14一真空管的真空度约为1.38×10

-3Pa(即1.0×10-5mmHg，)试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10

-10m)．

解：n

p

kT

0.5.3

8

3.8910

10

23

3

300

3.33

17

10m

3

1

7.5m

2n2d

π

6-15(1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33×10

-4Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10

-10m)?

解：（1）z 2d

π

2

n 4 pd

2 π

mkT

4101235

-

10

20

13.5481.38

π

0.8

-46

10

8.33

8

10 s

1

（2）z

2

2dn

π

4pd

2 π

mkT

41.33

-4

10

-20

10

2.1.38

π

2.215

-

10

46 0.6s

1

(1)

8-1

z5.4410s，(2) z

-

1

3.90s

6-161mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过

等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比；(2) 分子平均自由程之比．

解：（1）由23kT

m

得

2

2:

2

1

T

2

T

1

由理想状态方程可得T

2

T

1

1

2

。将此式代入上式得:21:2

2

2。

1

（2）由

kT

2

2d

π

p

得

T

2

2:: 1

p

末

T

1

p

1

由理想气体状态方程可以证明p末p1。所以2:1T2:T12:1

6-17飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0atm(1.013×10

5Pa)，温度为27℃；起飞后压力计指示为0.8atm(0.8104×10

5Pa)，温度仍为27℃，试计算飞机距地面的高度．RTp8.313001

03

解：zlnln1.9610m

3

gp0.8

28.9109.8

6-18上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)．

RTp8.31273.15

3

解：zlnln0.752.310m

3

gp

28.9109.80

6-19在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气(视为刚性双原子分子体)与氦气的内能之比为？各为单位质量的氢气和氦气的内能之比为？。

Mii

解：由ERTpV 22 E i

得ep

V2

.所以e H2：e He i H：i He5:3；

2

Mi

由ERT 2 E i

得eRT

M2

i

H

i53

He

.所以e210:3。

:e::.所以e210:3。

HHe

224

HHe

2

6-20（1)温度为27C时，1mol氧分子具有多少平动动能？多少转动动能。（2)温度为27C时，1mol氦气、氢气各有多少内能？1克氦气、氢气各有多少内能。

3

解：（1）1mol氧分子的平动动能：1.58.313003739.5J

RT；1mol氧分子的转动

2

动能：RT8.313002493J。

3

（2）1mol氦气的内能E1.58.313003739.5J；1mol氢气的内能

RT

2

5M33

ERT2.58.313006232.5J；1克氦气的内能：RT8.31300934.9J

E；1

228

M55

克氢气的内能：ERT8.313003116.2J。

24

6-21储有氧气的容器以速度v100m/s运动，假设该容器突然停止，全部定向运动的动能都变为气体分子热运动的动能，容器中氧气的温度将会上升多少？

解：由题可得

Mi1

2

ERTM，所以

22

1

2

2

M/

M i

2

R

iR

2

32 10

5

3

100

9.831

2 T7.7K

6-22质量6.210

-14g的粒子悬浮于27C的液体中，观察到它的方均根速率为1.40cm/s，（1)计算阿佛加德罗常数，（2)设粒子遵守麦克斯韦速率分布，求粒子的平均速率。

解：（1)由2 3kT

m

3RT

N m

A

得

N A

3RT

2

m

13.549

3

10

0.9

300

17 2

8.34

10

4 3.

2

3

10

mol

1

（2）由8kT

m

π

和

23kT

m

88

2

可得1.401.29cm/s

33

ππ

6-23(1)有一个具有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27C升到177C，体积减少一半，求气体压强变化的百分比是多少？

(2)这时气体分子的平均平动动能变化百分比是多少？分子的方均根速率变化百分比是多少？

解：（1）由pnkT得pnT

p1nT

11

nT

pp。于是

p1(1)p

，所以1

n T

11 pnT

p1nT

11

1

2 450

300

1200oo

3

（2）由kT 2

T17727150 得50oo

T300300

1

由23kT

m

可得

2

3kTT

2.所以25oo

m21

2TT

2m21