最优化

1、系统分析法：

１〉系统：由相互联系的若干部分构成的具有一定功能的整体。

系统的基本特征：①系统由若干部分组成，每一部分具有其特定的功能； ②系统中的各个要素之间相互制约、联系和作用； ③系统是具有一定功能的整体，系统的总功能不等于各个部分功能的简单迭加，系统的整体功能＞各部分的功能之和；④系统存在于一定的环境(environment)之中，系统与环境之间存在相互作用，系统与环境的划分是相对的，对于一个系统来说是环境，而对于另一个系统而言可能是其中的一部分。

系统分析法包括以下内容： ① 确定所研究系统的范围及其所处的环境 ② 确定系统的组成部分、结构、功能、目的、各部分的功能和内部规律③ 明确系统各个部分之间的联系，及整个系统与环境之间的联系。④ 在上述分析的基础上，确定问题的决策变量及评价方案优劣的指标(即目标函数)。决策变量就是决定方案优劣的变量。

２〉数学模型：用字母、数字、各种符号、图象、逻辑框图描述实际系统的特征和内在联系的模型称为数学模型。 数学模型由四个要素组成： ①常数(constant)：在所研究的问题中保持相对固定或变化不大的量。 ②参数(parameter)：由具体系统的内、外部条件确定的量。③变量(variable)：指在模型中待确定的量，在最优化中叫决策变量。④ 函数关系(functional relationship)：描述模型中常数、参数和变量之间相互关系的方程式或不等式。在最优化问题的数学模型中，最优准则(目标函数)和约束条件都是用函数关系描述的。

2、最优化问题的分类

1〉按最优化问题的最优解是一组数还是函数分为静态和动态最优化问题。

静态最优化问题：最优解为空间一个点。

动态最优化问题：最优解为一曲线或函数（约束条件包含微分方程）。动态最优化问题求解时，常把问题分解成若干个相互关联的连续阶段或若干个子系统处理。

2〉按最优准则的数目分为单目标和多目标最优化问题。

3〉根据问题本身提供信息的准确程度分为确定性和非确定性最优化（随机性）问题。

4〉从工程应用的角度又可分为最优设计和最优运行问题。

5〉根据有无约束可分为有约束和无约束最优化问题。

6〉按照决策变量是连续的还是离散的，最优化问题可分为连续型和离散型最优化问题。

7〉按照约束条件和目标函数是线性的还是非线性的分为线性最优化问题和非线性最优化问题。

8〉按决策过程的结构分为单阶段和多阶段决策问题：

9〉网络优化问题：

3、油气储运中的最优化问题类型

①成品油最优调和方案的制定（线性规划）

②商品油库的最优进货计划的制定

③商品油库最优规划与最优布局问题

④长输管道的最优设计

⑤长输管道的优化运行

⑥输油管道最佳月输油计划确定

⑦矿场油气集输系统的最优化问题

⑧全国油气产品的合理分配与运输

4、线性规划

线性规划问题是一类特殊的数学规划问题，其目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是关于决策变量的线性等式或不等式。线性规划问题的一般形式为：

∑==n j j

j x c S 1 max (min) 简写为：

?????=≥=≥∑=n j x m i b x a t s j

i j ij ~1 0~1 ..n

1

j

标准形式：

∑==n j j

j x c S 1 max

?????=≥==∑=n j x m i b x a t s j i j ij ~1 0~1 ..n

1

j

标准型的向量形式：CX S = max

??

???≥=∑= 0 ..1 X b x P t s n j j j 其中 ：C=(c1,c2, …, cn) 称为目标系数行向量。

5、线性规划的图解法（理解）

6、线性规划解的概念和基本定理

线性规划问题的标准型为：CX S = max ?????≥= 0.. X b AX t s

0 ≥?b n m A 矩阵，为

A 非奇异矩阵，即A 的秩等于m 。根据该标准型，我们引入以下几个解的概念：

（1）基(基矩阵)：从约束系数矩阵A 中选出的m 个线性无关的列向量构成的m ×m 阶矩阵称为线性规划问题的一个基（或基矩阵），通常用B 表示。

（2）基向量：构成基的每一个列向量称为基向量。设基矩阵为B=(P1,P2,....,Pm)，则P1,P2,.....,Pm 都是基向量。

（3）基变量与非基变量：与基向量Pj 对应的变量xj 称为基变量，除基变量以外的其他变量称为非基变量。 线性规划问题中有n 个决策变量，m 个约束等式，则有m 个基变量，n-m 个非基变量。

（4）基本解：对应于某一个给定的基，在约束方程组中令所有n-m 个非基变量的值等于0，则由此方程组可唯一地解得m 个基变量的值，把这m 个基变量的值与n-m 个非基变量的值(等于0)合在一起就得到约束方程组的一个完整解，称这个解为对应于给定基的基本解。

（5）基本可行解：满足变量非负条件的基本解称为基本可行解。基本可行解显然是可行解，若最优解存在，则一定有一个基本可行解是最优解。

（6）可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。

（7）最优基：对应于最优基本可行解的基称为最优基。

线性规划的基本定理：

定理1：LP 问题的可行域一定是一个凸集。

凸集：如果一个集合内部任意两点之间的连线仍在这个集合内部，则该集合为凸集。

定理2：LP 问题的基本可行解与可行域的顶点一一对应。

定理3：LP 问题如果有最优解，则最优解一定在可行域的一个顶点上达到。

7、 线性规划在储运中的应用(数学模型的建立)

（1）油品调和问题 调和比已知的情况 、调和比未知的情况

（2）月输油计划问题（3）商品油库的最优进货计划问（4）自流装船系统管道设计的最优化问题

8、线性规划的隐枚举法:

隐枚举法是组合最优化中一大类方法的总称，它是相对于穷举法(完全枚举法)而言的，其基本特征是只需要考察问题中自变量的一部分组合就可以得到最优解，因而这种方法又称为部分枚举法。隐枚举法的基本概念：

a 、枚举：即检查问题中自变量值组合是否满足可行性条件和最优性条件。

b 、明显枚举和隐枚举：如果直接检查问题中的某一变量值组合，则称该组合被明显枚举；如果只需利用问题本身提供的或在求解过程中获得的信息就可以间接判断某一变量值组合的可行性和最优性，则称该组合被隐含地枚举或隐枚举。 9、0-1线性规划的标准型

()?????===≥+-==∑∑==n j x m i x a b X Q t s x c S j n j j ij i i n j j

j ~1 1,0~1 0.. min 1

1

)~1(0n j c j =≥其中

10、0－1线性规划的求解：0-1规划隐枚举法的基本思路是：寻找启发性信息、最优性和可行性判别条件，沿二元搜索树“前进”和“后退”搜索，逐渐向最优解靠近，直到满足枚举终止准则，求解过程结束。

11、非线性规划：只要目标函数或约束条件中含有一个非线性函数，则称这种规划为非线性规划问题。

非线性规划问题的一般形式为：m i X g t s X f S i ~1 0)( ..)

( min =≥=

13、单纯形法的一般步骤(max 问题)

a 、将LP 问题化为标准型(n 个变量，m 个约束方程)

b 、从约束方程组的系数增广矩阵中选出m 个不同的单位列向量构成初始基，列出初始单纯形表T(0)，并由T(0)确定X(0)。如果不能直接找到m 个不同的单位列向量，可用“人工变量法”构造初始基。

c 、最优性检验。判别已得到的基本可行解X(k)是否最优解。

①所有非基变量的检验数σj ≤0，则X(k)是最优解(对于min 问题，应当是σj ≥0)。②如果存在一个检验数σj0>0，且相应的系数列向量的各元素aij0≤0(i=1～m)，则问题无有界最优解，即S →+∞。 ③ σk =max{σj|σj>0 }，选xk 为换入变量，转下一步。

d 、确定换出变量

，。设，令lk l a ik i

a b m i a b ik ''==??????????''=>'θθ~1min 0则第l 行对应的变量xl'作为换出变量。

e 、将xk 与变量xl'对换，将xk 的系数列向量化为单位列向量，

从而得，令，，,1)~101(+==='='k k m i a a ik lk 到一个新的单纯形表T(k)。

f 、计算T(k)的检验数行，转第3步。