2020年重庆第二外国语学校中考数学模拟试卷
中考数学模拟试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题(本大题共12小题,共48.0分)
1.2019的倒数是()
A. 2019
B. -2019
C.
D. -
2.下列航空公司的标志中,是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第10
个图形共有()个“o”
A. 28
B. 30
C. 31
D. 34
4.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两
部分,则的值为()
A. 1
B.
C.
D.
5.下列命题是真命题的是( )
A. 四边都相等的四边形是矩形
B. 菱形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形
6.估计-的值在()
A. 0到1之间
B. 1到2之间
C. 2到3之间
D. 3到4之间
7.按如图所示的运算程序运算,能使输出的结果为7的一组x,y的值是()
A. x=1,y=2
B. x=-2,y=1
C. x=2,y=1
D. x=-3,y=1
8.如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,
则∠C的度数是()
A. 25°
B. 27.5°
C. 30°
D. 35°
9.某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两
条斜坡轨道以满足不同的难度需求,游客可以乘坐垂直
升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC
的坡度(或坡比)为i=1:2,BC=12米,CD=8米,
∠D=36°,(其中点A、B、C、D均在同一平面内)则垂
直升降电梯AB的高度约为()米.(精确到0.1米,
参考数据:tan36°≈0.73,cos36°≈0.81,sin36°≈0.59)
A. 5.6
B. 6.9
C. 11.4
D. 13.9
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列4个
结论:①abc<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0;
其中正确的结论的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.如图,菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的
图象上,对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O,已
知点A(1,1),∠ABC=60°,则k的值是()
A. ﹣5
B. ﹣4
C. ﹣3
D. ﹣2
12.若关于x的不等式组无解,且关于y的分式方程有非正整
数解,则符合条件的所有整数k的值之和为()
A. -7
B. -12
C. -20
D. -34
二、填空题(本大题共6小题,共24.0分)
13.计算:-12020+(π-3)0+(-)-2=______.
14.如图,在正方形ABCD中,边长AD=2,分别以顶点A、
D为圆心,线段AD的长为半径画弧交于点E,则图
中阴影部分的面积是______.
15.已知直线的解析式为y=ax+b,现从-1,-2,-3,4四个数中任选两个不同的数分别
作为a、b的值,则直线y=ax+b同时经过第一象限和第二象限的概率是______.16.如图,在正方形ABCD中,点E是BC上一点,BF⊥AE交
DC于点F,若AB=5,BE=2,则AF=______.
17.小雪和小松分别从家和图书馆出发,沿同一条笔直的马路相向而行.小雪开始跑步,
中途在某地改为步行,且步行的速度为跑步速度的一半,小雪先出发5分钟后,小松才骑自行车匀速回家.小雪到达图书馆恰好用了35分钟.两人之间的距离y(m)与小雪离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示,则当小松刚到家时,小雪离图书馆的距离为______米.
18.一驴友分三次从M地出发沿着不同线路(A线、B线、C线)去N地,在每条线路
上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种,他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等;B线、C线路程相等,都比A线路程多32%;A线总时间等于C线总时间的一半;他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完A线;在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升了20%、50%、50%.若他用了x小时穿越丛林、y小时涉水行走和z小时攀登走完C线,且
三、计算题(本大题共1小题,共10.0分)
19.化简下列各式:
(1)(2a-1)2-4(a+1)(a-1)
(2)
四、解答题(本大题共7小题,共68.0分)
20.(1)计算:(3-π)0+4sin45°-+|1-|
(2)解方程:x2-2x-2=0.
21.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上
一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线
于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,
22.在6.26国际禁毒日到来之际,重庆市教委为了普及禁毒知识,提高禁毒意识,举
办了“关爱生命,拒绝毒品”的知识竞赛,某校初一、初二年级分别有300人,现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析,成绩如下:
1009098977794961009267
初二69979169981009910090100 998997100999479999879
分数段60≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100
初一人数2______ ______ 12
初二人数22115
年级平均数中位数满分数
初一90.193______
初二92.8______ 20%【得出结论】:
(2)估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共______人.
(3)你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好,说明从两个方面说明你的理由.
23.数学综合实践课上,老师提出问题:如图1,有一张长为4dm,宽为3dm的长方形
纸板,在纸板四个角剪去四个相同的小正方形,然后把四边折起来(实线为剪裁线,虚线为折叠线),做成一个无盖的长方体盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子的体积最大?为了解决这个问题,小明同学根据学习函数的经验,进行了如下的探究:
(1)设小正方形的边长为xdm,长方体体积为ydm3,根据长方体的体积公式,可
以得到y与x的函数关系式是______,其中自变量x的取值范围是______.
(2)列出y与x的几组对应值如下表:
x/dm…1…
y/dm3… 1.3 2.2 2.7______ 3.0 2.8 2.5______ 1.50.9…
(注:补全表格,保留位小数点)
(3)如图2,请在平面直角坐标系中描出以补全后表格中各对对应值为坐标的点,画出该函数图象;
(4)结合函数图象回答:当小正方形的边长约为______dm时,无盖长方体盒子的体积最大,最大值约为______.
24.春节期间,根据习俗每家每户都会在门口挂灯笼和对联,某商店看准了商机,购进
了一批红灯笼和对联进行销售,已知每幅对联的进价比每个红灯笼的进价少10元,且用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍.
(1)求每幅对联和每个红灯笼的进价分别是多少?
(2)由于销售火爆,第一批销售完了以后,该商店用相同的价格再购进300幅对联和200个红灯笼,已知对联售价为6元一幅,红灯笼售价为24元一个,销售一
段时间后,对联卖出了总数的,红灯笼售出了总数的,为了清仓,该店老板对剩
下的对联和红灯笼以相同的折扣数进行打折销售,并很快全部售出,求商店最低打几折可以使得这批货的总利润率不低于90%?
25.如图,在平行四边形ABCD中,CE⊥BC交AD于点E,连接BE,点F是BE上一
点,连接CF.
(1)如图1,若∠ECD=30°,BC=BF=4,DC=2,求EF的长;
(2)如图2,若BC=EC,过点E作EM⊥CF,交CF延长线于点M,延长ME、CD 相交于点G,连接BG交CM于点N,若CM=MG,求证:EG=2MN.
26.如图1,直角三角形△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,∠A=60°,O为BC中点,将△ABC
绕O点旋转180°得到△DCB.一动点P从A出发,以每秒1的速度沿A→B→D的路线匀速运动,过点P作直线PM⊥AC交折线段A-C-D于M.
(1)如图2,当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→D的路线运动,且在AB上以每秒1的速度匀速运动,在BD上以每秒2的速度匀速运动,过Q作直线QN∥PM交折线段A-C-D于N,设点Q的运动时间为t秒,(0<t<10)直线PM与QN截四边形ABDC所得图形的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出S的最大值.
(2)如图3,当点P开始运动的同时,另一动点R从B处出发沿B→C→D的路线
运动,且在BC上以每秒的速度匀速运动,在CD上以每秒2的速度匀速运动,
是否存在这样的P、R.使△BPR为等腰三角形?若存在,直接写出点P运动的时间m的值,若不存在请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:2019的倒数是:.
故选:C.
直接利用倒数的定义:乘积是1的两数互为倒数,进而得出答案.
此题主要考查了倒数,正确把握相关定义是解题关键.
2.【答案】C
【解析】解:A、不是轴对称图形,不合题意;
B、不是轴对称图形,不合题意;
C、是轴对称图形,符合题意;
D、不是轴对称图形,不合题意;
故选:C.
根据轴对称图形的概念判断即可.
本题考查的是轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
3.【答案】C
【解析】解:设第n个图形共有a n个“o”(n为正整数),
观察图形,可知:a1=4=1+3,a2=7=1+2×3,a3=10=1+3×3,a4=13=1+4×3,…,
∴a n=3n+1(n为正整数),
∴a10=31.
故选:C.
设第n个图形共有a n个“o”(n为正整数),观察图形,根据各图形中“o”个数的变化可得出变化规律“a n=3n+1(n为正整数)”,再代入n=10即可求出结论.
本题考查了规律型:图形的变化类,根据各图形中“o”个数的变化找出变化规律
“a n=3n+1(n为正整数)”是解题的关键.
4.【答案】C
【解析】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分,
∴S△ADE=S四边形DBCE,
∴=,
∴==,
故选:C.
由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,可知△ADE与△ABC相似,且面积比为,则相似比为,的值为.
本题考查了相似三角形的判定,相似三角形的性质,面积比等于相似比的平方的逆用等.5.【答案】D
【解析】解:A、四边都相等的四边形是菱形,故错误;
B、矩形的对角线相等,故错误;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故错误;
D、对角线相等的平行四边形是矩形,正确,
故选:D.
根据矩形的判定定理,菱形的性质,正方形的判定判断即可得到结论.
此题考查了命题与定理,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
6.【答案】B
【解析】解:-=-2.
因为9<11<16,
所以3<<4.
所以1<-2<2.
所以估计-的值在1到2之间.
故选:B.
利用“夹逼法”估算无理数的大小.
考查了估算无理数的大小.估算无理数大小要用逼近法.
7.【答案】C
【解析】解:A、当x=1,y=2时,原式=2-2=0,不符合题意;
B、当x=-2,y=1时,原式=8+1=9,不符合题意;
C、当x=2,y=1时,原式=8-1=7,符合题意;
D、当x=-3,y=1时,原式=18+1=19,不符合题意,
故选:C.
将各项中的x与y代入程序计算,即可得到结果.
此题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,
∴∠AOC=2∠B=50°,
∴∠C=180°-95°-50°=35°.
故选:D.
直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC度数是解题关键.
9.【答案】C
【解析】解:如图
,
BE:CE=1:2.
设BE=xm,CE=2xm.
在Rt△BCE中,由勾股定理,得
BE2+CE2=BC2,
即x2+(2x)2=(12)2,
解得x=12,
BE=12m,CE=24m,
DE=DC+CE=8+24=32m,
由tan36°≈0.73,得
=0.73,
解得AB=0.73×32=23.36m.
由线段的和差,得
AB=AE-BE=23.36-12=11.36≈11.4m,
故选:C.
根据勾股定理,可得CE,BE的长,根据正切函数,可得AE的长,再根据线段的和差,可得答案.
本题考查了解直角三角形的应用,利用勾股定理得出CE,BE的长是解题关键,又利用了正切函数,线段的和差.
10.【答案】D
【解析】解:①由抛物线的对称轴可知:->0,
∴ab<0,
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上,
∴c>0,
∴abc<0,故①正确;
②∵-=1,
∴b=-2a,
∴2a+b=0,故②正确.
③∵(0,c)关于直线x=1的对称点为(2,c),
而x=0时,y=c>0,
∴x=2时,y=c>0,
∴y=4a+2b+c>0,故③正确;
④由图象可知:△>0,
∴b2-4ac>0,故②正确;
故选:D.
根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答.
本题考查二次函数的图象与系数的关系,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,属于中考常考题型.
11.【答案】C
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BA=BC,AC⊥BD,
∵∠ABC=60°,
∵点A(1,1),
∴OA=,
∴,则OB=,
∵直线AC的解析式为y=x,
∴直线BD的解析式为y=-x,
∵OB=,
∴点B的坐标为(,),
∵点B在反比例函数y=的图象上,
∴,
解得,k=-3.
故选:C.
根据题意可以求得点B的坐标,从而可以求得k的值.
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.
12.【答案】B
【解析】解:∵不等式组无解,
∴10+2k>2+k,解得k>-8.
解分式方程,两边同时乘(y+3),得
ky-6=2(y+3)-4y,
解得y=.
因为分式方程有解,∴≠-3,即k+2≠-4,解得k≠-6.
又∵分式方程的解是非正整数解,∴k+2=-1,-2,-3,-6,-12.
解得k=-3,-4,-5,-8,-14.
又∵k>-8,
∴k=-3,-4,-5.
则-3-4-5=-12.
故选:B.
先根据不等式组无解解出k的取值范围,再解分式方程得y=,根据方程有解和非正
整数解进行综合考虑k的取值,最后把这几个数相加即可.
本题主要考查解不等式组、解分式方程的方法,解决此题的关键是理解不等式组无解的意义,以及分式方程有解的情况.
13.【答案】9
【解析】解:-12020+(π-3)0+(-)-2
=-1+1+9
=9
故答案为:9.
此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
14.【答案】-
【解析】解:如右图所示,连接AE、DE,
∵AE=DE=AD,
∴△AED是等边三角形,
∴∠ADE=60°,
∴图中阴影部分的面积是:+(-×sin60°)=-,
故答案为-.
连接AE、DE,可以阴影部分的面积是扇形ADE的面积与弓形DE的面积之和,由题目中的数据可以用代数式表示出阴影部分的面积,本题得以解决.
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答,注意:圆心角是n°,半径为r的扇形的面积S=.
15.【答案】
【解析】解:画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中直线y=ax+b同时经过第一象限和第二象限的结果数为3,
所以直线y=ax+b同时经过第一象限和第二象限的概率==.
故答案为.
画树状图展示所有12种等可能的结果数,利用一次函数的性质a>0,b>0或a<0,b >0可得到直线y=ax+b同时经过第一象限和第二象限的结果数,然后根据概率公式求解.
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概
16.【答案】
【解析】解:如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵BH⊥AE,
∴∠BHE=90°,
∴∠AEB+∠EBH=90°,
∴∠BAE=∠EBH,
在△ABE和△BCF中,,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴CF=BE=2,
∴DF=5-2=3,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=5,∠ADF=90°,
由勾股定理得:AF===.
故答案为:.
根据正方形的性质得到AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,推出∠BAE=∠EBH,根据全等三角形的性质得到CF=BE=2,求得DF=5-2=3,根据勾股定理即可得到结论.
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,本题证明△ABE≌△BCF 是解本题的关键.
17.【答案】1500
【解析】
解:由图象可得:家和图书馆相距4500米,小雪的跑步速度为:(4500-3500)÷5=200(米/分钟),
∴小雪步行的速度为:200×=100(米/分钟),
200a+100(35-a)=4500
解得:a=10
∴小松骑车速度为:(4500-200×10-1000)÷(10-5)=300(米/分钟)
∴小松到家时的时间为第:4500÷300+5=20(分钟)
此时小雪离图书馆还有15分钟路程,100×15=1500(米)
故答案为:1500
分析图象:点A表示出发前两人相距4500米,即家和图书馆相距4500米;线段AB表示小雪已跑步出发,两人相距距离逐渐减小,到5分钟时相距3500米,即小雪5分钟走了1000米,可求小雪跑步的速度;线段BC表示小松5分钟后开始出发;点C表示两人相距1000米时,小雪改为步行,可设小雪跑步a分钟,则后面(35-a)分钟步行,列方程可求出a,然后用4500减1000再减去小雪走的路程可求出此时小松骑车走的路程,即求出小松的速度;点D表示两人相遇;线段DE表示两人相遇后继续往前走,点E表示小松到达家,可用路程除以小松的速度得到此时为第几分钟;线段EF表示小雪继续往图书馆走;点F表示35分钟时小雪到达图书馆.
本题考查了函数及其图象,关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚,再找出对应x和y表示的数量关系,进而求出有用的数据.
18.【答案】6
【解析】解:∵他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等,
∴可以假设涉水行走的速度为3nkm/h与攀登的速度为2nkm/h,穿越丛林的速度为mkm/h.
由题意:,
可得m=5n,5x+3y+2z=33 ①
∵x+y+z=14 ②,
由①②消去z得到:3x+y=5,
∵x,y是正整数,
∴x=1,y=2,z=11,
∴
故答案为:6.
因为他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等,所以可以假设涉水行走的速度为3nkm/h与攀登的速度为2nkm/h,穿越丛林的速度为mkm/h.由题意:
,可得m=5n,5x+3y+2z=33 ①,x+y+z=14 ②,
由①②消去z得到:3x+y=5,求出整数解即可解决问题.
本题考查三元一次方程组的应用,解题的关键是理解题意,学会利用参数方程解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
19.【答案】解:(1)原式=(4a2-4a+1)-4(a2-1)
=4a2-4a+1-4a2+4
=-4a+5;
(2)原式=÷
=?
=x2-2x.
【解析】(1)根据整式的运算法则即可求出答案;
本题考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.20.【答案】解:(1)原式=1+4×-2+-1
=;
(2)x2-2x-2=0,
x2-2x=2,
x2-2x+1=2+1,
(x-1)2=3,
x-1=,
x1=1+,x2=1-.
【解析】(1)先根据零指数幂,特殊角的三角函数值,算术平方根,绝对值进行计算,再算加减即可;
(2)移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
本题考查了零指数幂,特殊角的三角函数值,算术平方根,绝对值,解一元二次方程等知识点,能求出每一部分的值是解(1)的关键,能正确配方是解(2)的关键.
21.【答案】解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵FE⊥BC,
∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,
∴∠F=∠BDE,
而∠BDE=∠FDA,
∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形;
(2)∵DE⊥BC,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=60°,BD=4,
∴∠BDE=30°
∴BE=BD=2,
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=AD+BD=6,
∴EC=BC-BE=6-2=4.
【解析】(1)由AB=AC,可知∠B=∠C,再由DE⊥BC,可知∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90,然后余角的性质可推出∠F=∠BDE,再根据对顶角相等进行等量代换即可推出
∠F=∠FDA,于是得到结论;
(2)根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论.
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点,关键根据相关的性质定理,通过等量代换推出∠F=∠FDA,即可推出结论.
22.【答案】(1)2,4,20%,97.5;
(2)120 ;
(3)初二学生掌握禁毒知识的水平比较好.
从平均分来看,初二的学生掌握禁毒知识的水平比较好;
从中位数来看,初二的学生掌握禁毒知识的水平比较好.
【解析】解:(1)根据题意,得:初一人数:70≤x≤79的有2人,
80≤x≤89的有4人,
初一满分数:4÷20=20%,
初二中位数:(97+98)÷2=97.5,
故答案为:2,4,20%,97.5;
(2)初一满分的人数约为:300×20%=60(人),
初二满分的人数约为:300×20%=60(人),
∴共有60+60=120(人),
故答案为:120;
(3)见答案.
【分析】
(1)根据题意中给出的数据,直接找出答案即可;
(2)分别求出各年级满分的人数,再相加即可;
(3)可以从平均数和中位数两方面分析.
本题主要考查中位数、用样本估计总体等,解决此类问题的关键是要细心处理相关数据,同时要注意,求偶数个数据的中位数,是求第个数和第+1个数的平均数.
23.【答案】(1)y=4x3-14x2+12x0<x<(2)3 2
(3)根据(1)画出函数图象如图;
(4)0.55 3.03
【解析】解:(1)由已知,y=x(4-2x)(3-2x)=4x3-14x2+12x
故答案为:y=4x3-14x2+12x
由已知
解得:0<x<;
∴自变量x的取值范围是0<x<;
故答案为:0<x<;
(2)根据函数关系式,当x=时,y=3;x=1时,y=2;
故答案为:3,2;
(3)见答案
(4)根据图象,当x=0.55dm时,盒子的体积最大,最大值约为3.03dm3
故答案为:0.55,3.03.
【分析】
根据题意,列出y与x的函数关系式,根据盒子长宽高值为正数,求出自变量取值范围;利用图象求出盒子最大体积.
本题是动点问题的函数图象探究题,考查列函数关系式以及画函数图象.解答关键是数形结合.
24.【答案】解:(1)设每幅对联的进价为x元,则每个红灯笼的进价为(x+10)元,依题意,得:=6×,
解得:x=2,
经检验,x=2是原分式方程的解,且符合题意,
∴x+10=12.
答:每幅对联的进价为2元,每个红灯笼的进价为12元.
(2)设剩下的对联和红灯笼打y折销售,
依题意,得:300××6+200××24+300×(1-)×6×+200×(1-)×24×-300×2-200×12≥
(300×2+200×12)×90%,
解得:y≥5.
答:商店最低打5折可以使得这批货的总利润率不低于90%.
【解析】(1)设每幅对联的进价为x元,则每个红灯笼的进价为(x+10)元,根据数量=总价÷单价结合用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设剩下的对联和红灯笼打y折销售,根据总利润=销售收入-成本结合总利润率不低于90%,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其最小值即可得出结论.
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.25.【答案】(1)解:如图1中,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵EC⊥BC,
∴AD⊥EC,
∴∠BCE=∠CED=90°,
∴CE=CD?cos30°=,
在Rt△BCE中,BE==,
∵BC=CF=4,
∴EF=BE-BF=-4.
(2)证明:如图2中,延长GM到H,使得MH=MG,连接CH,BH.
∵CM=MG=MH,CM⊥GH,
∴∠HCG=90°,CH=CG,
∴∠HCG=∠BCE,
∴∠BCH=∠ECG,
∵CB=CE,
∴△BCH≌△ECG(SAS),
∴BH=EG,∠CHB=∠CGE=45°,
∵∠CHG=45°,
∴∠BHG=90°,
∴∠BHG=∠CMG=90°,
∴MN∥BH,∵HM=HG,
∴BN=NG,
∴BH=2MN,
∴EG=2MN.
【解析】(1)利用勾股定理求出EC,BE即可解决问题.
(2)如图2中,延长GM到H,使得MH=MG,连接CH,BH.想办法证明EG=BH,BH=2MN即可解决问题.
本题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
26.【答案】解:(1)如图2-1中,当0≤t≤6时,点P与点Q都在AB上运动,
∵PM⊥AC,NQ∥PM,
∵AQ=t,AP=2+t,∠A=60°,
∴AN=AQ=t,QN=AN=t,AM=1+t,PM=+t.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+.
如图2-2中,当6≤t≤8时,点P在BD上运动,点Q仍在AB上运动.
则AQ=t,AN=t,CN=4-t,QN=t,BP=t-6,DP=10-t,PM=(10-t),
而BC=4,
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=S四边形BCNQ+S四边形BCMP=(t+4)?(4-t)+[4+(10-t)]?(t-6)=-t2+10t-34.
如图2-3中,当8≤t≤10时,点P和点Q都在BD上运动.
则DQ=20-2t,QN=(20-2t)?,DP=10-t,PM=(10-t)?.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t2-30t+150.
故S关于t的函数关系式为S=.
(2)如图3-1中,
由题意点P在AB上运动的时间与点R在BC上运动的时间相等t=8.
当RP=BR时,PB=BR,则有6-t=?t,解得t=,
当PB=BR时,则有6-t=t,解得t=24-12,
当PR=PB时,BR=PB,则有t=(6-t),解得t=4.
如图3-2中,作RH⊥BC于H.
在Rt△CHR中,∵CR=2(t-8),∠RCH=30°,
∴RH=CR=t-8,
∵BP=t-8,
∴RH=BP,
∵HR∥BP,
∴四边形RHBP是平行四边形,
∵∠RHB=90°,
∴四边形RHBP是矩形,
∴∠BPR=90°,
当BP=PR时,则有t-8=(12-t),解得t=14-2,
综上所述,满足条件的t的值为或24-12或4或14-2.
【解析】(1)分0≤t≤6、6≤t≤8和8≤t≤10三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可.
(2)分两种情形:①如图3-1中,由题意点P在AB上运动的时间与点R在BC上运动的时间相等t=8.当RP=BR时,当PB=BR时,当PR=PB时,分别构建方程求解即可.②如图3-2中,作RH⊥BC于H.首先证明∠BPR=90°,根据BP=PR构建方程即可解决问题.
本题属于四边形综合题,考查了平行四边形的性质,多边形的面积,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.