正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

200

1.若 x ?N (0,1),

求(I) P (-2.32< X <1.2) ; (2) P (x >2).

解： ⑴ P (-2.32< x <1.2)=

(1.2)-

(-2.32)

=(1.2)-[1-

(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.

(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1-

(2)=1-0.9772=0.0228.

:

2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在 N(1,4)下，求 F(3).

2 ,

(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6)

;

3 1 解: (1) F (3) =

( ) =0( 1)= 0.8413 2

a

( )0.975 ■ 200

(2)F(y+b)= ( -------------- )=0( 1)= 0.8413

F(y —b)

)=0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587

F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)

0.8413 — 0.1587 = 0.6826

3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1

=，求总体落入区

间(一1.2 , 0.2 )之间的概率.[0 ( 0.2 ) =0.5793,

0 ( 1.2 ) (x )2

2~

=0.8848]

解：正态分布的概率密度函数是

f(x)

,x (

)，它是偶函数,

1

说明” 0,

f(x)的最大值为f()

=亍，所以"

1,这个正态分布就是标准正态分

P( 1.2 x 0.2)

(0.2)

( 1.2) (0.2) [1 (1.2)] (0.2) (1.2) 1

0.5793 0.8848 1

0.4642

4.某县农民年平均收入服从 =500元,

在500 : 520元间人数的百分比；(2) 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？ =200元的正态分布 (1)求此县农民年平均收入 如

果要使此县农民年平均收入在( [0 ( 0.1 ) =0.5398,

0 ( 1.96 ) a, a )内

=0.975]

解：设 表示此县农民年平均收入,

~ N(500,2002).

P(500

520 500

(500 500.

200 '

)(0.1) (0) 0.5398 0.5

0.0398 ( 2 )

a)

(盘

—)2 200

(旦)1

0.95,

200

查表知：—1.96

1设随机变量

X ? N (3,1), 若P(X

4) p ,,则 J P(2

—、1

1

(A) p

(B)l 一

P C .

l -2p D . - p

2

2 【答 案】

C

因为

P(X 4) P(X 2)

p ,所以 P(2

1 P(X 4) P(X

2) 1 2p ,选

C .

2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发 芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为

X ，则X 的数学期望为（

）

A . 100

B . 200

C . 300

D . 400［答案］B

［解析］记“不发芽的种子数为

了，贝U 汁B(1 000,0.1)，所以E(8= 1 000 X 0.1= 100,

而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.

3.设随机变量3的分布列如下:

3

—1

0 1 P

a

b

c

其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )

［答案］A

［解析］设白球x 个，则黑球7— x 个，取出的2个球中所含白球个数为

C 7-x 2 7 — x 6 — x

P( 3= 0)= C 72 =

42

,

x - 7 — x x 7 — x P( 3=1)= C 72 =21 ,

C x 2 x x — 1

P( 3= 2)= C 72 = 42 ,

.x = 3.

4

A.

9 B .

1 2 9 C.3

［答案］D

［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c ,

由分布列的性质知 a + b + c = 1,又

1 111 1

E( 3 = — a + c = 3 解得 a

= 6’ b

= 3 c = 2，二 D(3

= 6

X

2

+21-「=舟.

4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到 白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（

)A . 3 B . 4

C . 5

D . 2

3贝U 3取值0,1,2,

0X

7— x 6— x 42

x 7 — x 21 + 2X X X —

1 4

2 5

5.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命

中次数E 的期望值为4,方差为2，则p( &1)=(

)

A 255

B 9

C 247

D 7 A 256 B.256 C.256 D .64 ［答案］C

［解析］由条件知 旷B(n , P),

E E = 4, np = 4 D E = 2

n p 1 — p = 2 '

1

解之得，p = , n = 8, ??? P( = 0)= C 8°x 2

18

= 2 8,

1 1 1

P( E= 1) = C 81x 2 1x

2 7= 2 5，

? P(E 1) = 1 — P( = 0) — P(E= 1)

A . 2< 俘=淨，01=d2> d3

B .皿> 俘=淨，d=d < d

C . (J1= (J2

D .小< p2= 3, d 1 = d < d 3 ［答案］D

(^2(X)和g(X )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均

数相同，故3= 3，又屉(X)的对称轴的横坐标值比

也(X)的对称轴的横坐标值大，故有 3<比 =3.

又d 越大，曲线越“矮胖”，d 越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函 数咖(X)和侯(X )的图象一样“瘦高”，松(X )明显“矮胖”，从而可知d= d < d .

6①命题"X R,cosx 0 ”的否定是：“ X R,cosx 0 ”； ②若lg a lg b lg( a b),则a b 的最大值为4； ③定义在R 上的奇函数f(X)满足f (X 2)

f(X),则f(6)的值为0;

=1— 18— 1 5= 24Z

2 2 256. 5已知三个正态分布密度函数 则()

1

XX )= 2 nd e —

.2

X —d^(x € R , 2 d

i = 1,2,3)的图象如图所示,

［解析］正态分布密度函数

<>

④已知随机变量 服从正态分布 N(1, 2),P( 5) 0.81,则P( 3) 0.19 ;其

中真命题的序号是 ________ (请把所有真命题的序号都填上 ).

【答案】①③④ ①命题“ x R,cosx 0”的否定是：“ x R,cosx 0 ”；所以① 正确.

②若 lg a lg b lg( a b),则 Ig ab lg( a b),即 ab a b,a 0,b 0 .所以

a b 2

2

ab a b

(/,即

(a b) 4(a b)

,解得a b 4,则a b 的最小值为4;所

以②错误.③定义在R 上的奇函数f( x)满足f ( x 2) f ( x),则f (x 4) f(x),

且 f (0) 0,即函数的周期是 4.所以 f (6) f(2) f (0)

0;所以③正确

④已知

随机变量

服从 正态分布

2

N(1, ),P(

5) 0.81 ,则

P( 5) 1 P(

5) 1 0.81 0.19 ,所以 P(

3) P( 5)

0.19 ;所以

④正确，所以真命题的序号是①③④.

7、在区间［1,1］上任取两数 m 和n ,则关于x 的方程x 2 mx n 2 0有两不相等实根的概

率为 ____________ .

1

【答案】—

由题意知

1 m 1, 1 n 1.要使方程x

2 mx n 2 0有两不相等实

4

根

，

则 2

=m 4n 2 0 , 即(m 2n )(m 2n) 0 . .作出对应的可行域，如图直线

m 2n 0

,m

2n

0 , 当 m

1 时 1 1

, n C

—, n B

—,所 以

S

O

1

1

1 1

所以方程

2

2 2

BC 一 1 [( )

x

mx n 0有两不相等实根的概率为

2 2

2

2

2S OBC

2 1 2 1

2 2

4 4'

⑶ 随机变量X 服从正态分布 N(1,2),则P(X 0) P(X 2)；

2 1

⑷ 已知a,b R ,2a b 1,则一 一 &其中正确命题的序号为 ________________________ .

a b

【答案】⑵(3)

(1)

2

G lnx 〔2 ln2 ,所以⑴错误.(2)不等式

1

x

|x 1| |x 3|的最小值为4,所以要使不等式|x 1|

2 1

⑵正确.(3)正确.(4)--

a b

所以⑷错误，所以正确的为 ⑵(3).

场中的得分如图所示，则该样本的方差为

7 2 3

频数为

A . 26

B . 25

C . 23

D . 18

【答

案】

D 样本

的 平 均数 为

23,

所以 样本方差为

1 [(19 5

23)2 (20 23)2 (22 23)2 (23 23)2

(31 2 23)] 18,选 D

3有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示 ,据图估计，样本数据在8,10内的

2

1

dx 1 x

3.

，

⑵不等式|x 1|

| x 3| a 恒成立,则a 4;

| x 3| a 成立,则a 4,所以

2已知某篮球运动员 2012年度参加了 40场比赛,现从中抽取 5场,用茎叶图统计该运动员

2 1

(

a 严 b) 4 1

9,

【答案】C

样本数据在 8,10之外的频率为（0.02 0.05 0.09 0.15） 2 0.62,

0.38 200 76,选 C .

1

的概率为,选 B .

4

5从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为

2

【答案】

2

5

_

3

从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C 5 10种.则3个数能构成等差数列的

4

2

所以样本数据在

8,10内的频率为1 0.62 0.38,所以样本数据在 8,10的频数为

4. （ 2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）

的正方形OABC 中

任取一点P,则点 1 A .

3

【答案】

（x x 3

）dx

P 恰好取自阴影部分的概率为

B .

1

4

【答案】B

1

2

1

4

1

（c X

X ） C

.

D.-

5 6

根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为

1

1

,所以由几何概型公式可得点

P 恰好取自阴影部分

4

如图所示，在边长为I 第孕期图