动线与图形交点个数问题

动线与图形交点个数问题之直线与几何图形

例1：知识储备—动直线的讨论

1. y=-x+1由 平移得到的。

2. y=2x+b 由 平移得到的。

3. y=kx+b 由 平移得到的。

例2：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC

(1)直线y=2x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围

（2）直线y=x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围

（3）直线y=-3x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围

练习：（2+2011-25）

1.如图，在平面直角坐标系中，直线1

(0)2

y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ，

、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF 与ABO △重

叠部分的面积为S ． （1）求点E 、F 的坐标；

（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；

（3）若在直线1

(0)2

y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于

90，请直接．．

写出b 的取值范围．

2.已知:关于x 的一元二次方程01-m x 2m 2-mx 2

=++）（

(1)若此方程有实根,求m 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,且m 取最小的整数,求此时方程的两个根;

(3)在(2)的前提下,二次函数1-m x 2m 2-mx y 2++=）（与x 轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x 轴的上方作半圆P,设直线l 的解析式为y=x+b,若直线l 与半圆P 只有两个交点时,求出b 的取值范围.

动线与图形交点个数问题之抛物线与几何图形

例1：知识储备—动抛物线的讨论

1.y=x 2

-1由 平移得到的。 2. y=(x-2)2

-1由 平移得到的。 3. y=(x-m)2-1由 平移得到的。 4. y=x 2

-2bx+b 2-1由 平移得到的。

例2：已知点A （1,1）B （3,1）C （3，2）D(1,2)围成四边形ABCD

（1）抛物线y=1/2(x-m)2

与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围

(2) 抛物线y=2(x-m)2

与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围

（3）抛物线y=(x-m)2与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围

例3：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC ，抛物线y=(x-m)2与之交点

个数的讨论，求相应m 取值范围

练习：

1.（抛与直角梯形）已知抛物线y=x 2

-4x+3和直角梯形OBPC ，其中B(3,0) P(2,3) C(0,3)。若将抛物线沿水平方向平移，设顶点D （m,n ），当抛物线与直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，

求出m 的取值范围。

2.（抛与菱形）

已知：将函数y 的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．

(1)求这个新的函数的解析式；

(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A

两点，与直线x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由；

(3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数2

1

22

2

++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．

3. （抛与菱形） 定义{},,a b c 为函数2

y ax bx c =++的 “特征数”．如：函数2

23y x x =-+的“特

征数”是{}1,2,3-，函数23y x =+的“特征数”是{}0,2,3,函数y x =-的“特征数”是{}0,1,0-

（1）将“特征数”是??

?

?????1,33,0的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式

是 .

（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3=

x 分别交于D 、C 两点，

判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状,请说明理由并计算其周长．

（3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2,2b b ?

?-+????

的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的

取值范围？

4.（抛与三角形） 已知：关于x 的一元二次方程02)21(22=-++-k x k x 有两个实数根. （1）求k 的取值范围；

（2）当k 为负整数时，抛物线2)21(22-++-=k x k x y 与x 轴的交点是整数点，求抛物线的解析式； （3）若（2）中的抛物线与y 轴交于点A ，过A 作x

上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB 的内部围.

5. （抛沿一条直线的平移） 图中的抛物线是函数y=x 2

+1沿射线y ＝x （x ≤0）的方向平移2个单位，其函数 解析式变为______ ___；

若把抛物线y=x 2

+1沿射线 y =2

1

x-1（ x ≥0）方向

平移5个单位，其函数解析式则变为_________.

6. （抛沿一条直线的平移） 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ．

（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;

（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值; （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的

顶点横坐标的值或取值范围.

动线与图形交点个数问题之直线与抛物线

例1：m x y +-=与322+--=x x y 交点个数的讨论，求相应m 取值范围。

变式一：新图像的组合方式

1. 翻折：沿x 轴翻折（保留部分）

2. 平移：向左平移2个单位长度，与原图像组合成新图像。

3. 旋转：绕点O 旋转180度，与原图像组合成新图像。

变式二：常用动线的选择 1.动常数函数：y=m （m 是常数） 2.动抛物线：

变式三：交点个数的选择

0、1、2、3…… 练习 翻折

1.抛物线c bx x y ++-=2的部分图像如图所示， （1）求出二次函数的解析式；

（2）将二次函数的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分 保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线

m x y +-=与此图象有两个公共点时，求m 的取值范围．

2. 已知抛物线C 1：22y x x =-的图象如图所示，把C 1的图象沿y 轴翻折，得到抛物线C 2的图象，抛物

线C 1与抛物线C 2的图象合称图象C 3．

（1）求抛物线C 1的顶点A 坐标，并画出抛物线C 2的图象；

（2）若直线y kx b =+与抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值；（3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b

围．

3.已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；

（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；

（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线

l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线1

3

y x b =+与新图

象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.

4. 已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=.

（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1

向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.

5.（09中考23） 已知关于的一元二次方程

有实数根，为正整数.

（1）求的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单

位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保

持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个

公共点时，的取值范围.

平移（3+2012-23）

1. 已知：关于x 的一元二次方程063)2(22=-+-+m x m x .

（1）求证：m 无论为任何实数，方程总有实数根；

（2）抛物线m x m x y 63)2(22-+-+=与x 轴交于A 、B 两点，A 在原点左侧，B 在原点右侧，且OA=3OB ，

请确定抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线沿x 轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新的抛物线，请结合函数图象回答：

当直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围.

2. 已知抛物线y ＝x 2—4x +1．将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线． （1）求平移后的抛物线解析式；

（2）由抛物线对称轴知识我们已经知道：直线x m =，即为过点（m ，0）平行于y 轴的直线，类似地，

直线y m =，即为过点（0，m ）平行于x 轴的直线．请结合图象回答：当直线y ＝m 与这两条抛物线有且只有四个交点，实数m 的取值范围；

（3）若将已知的抛物线解析式改为y ＝x 2+bx +c (b ＜0)，并将此抛物线沿x 轴向左平移 －b 个单位长度，

试回答（2）中的问题．

3.已知：关于x 的一元二次方程0)1(22

2

=++-m x m x 有两个整数根，m <5且m 为整数．

（1）求m 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2

2

)1(2m x m x y ++-=的图象沿x 轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；

（3）当直线y =x +b 与（2）中的两条抛物线有且只有三个．．

交点时，求b 的值． 4.（12中考23题） 已知二次函数23

(1)2(2)2

y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点

(3)A m -，，求m 和k 的值；

（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），

将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2

）中

得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。

（双动平移） 旋转（直线旋转）

1.已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=． （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2

(1)(4)3y mx mx =-+-+

的图象与x 轴交于A B

、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．