辽宁卷高考数学试卷理科

2010年普通高等学校招生全国统一考试·理

科数学(辽宁卷)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2010辽宁,理1)已知A ,B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集,且A ∩B ={3},(U B )∩A ={9},

则A =

A.{1,3}

B.{3,7,9}

C.{3,5,9}

D.{3,9}

答案:D

2.(2010辽宁,理2)设a ,b 为实数,若复数i

i

21b a ++=1+i,则 A.a =

23,b =2

1 B.a =3,b =1

C.a =21,b =2

3

D.a =1,b =3

答案:A

3.(2010辽宁,理3)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为32和4

3

,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

A.

2

1 B.

12

5 C.

4

1 D.

6

1 答案:B

4.(2010辽宁,理4)如果执行下面的程序框图,输入正整数n ,m ,满足n ≥m ,那么输出的p 等于

A.1

C -m n

B.1

A -m n

C.m

n C

D.m

n A

答案:D

5.(2010辽宁,理5)设ω>0,函数y =sin(ωx +3π)+2的图像向右平移3

π4个单位后与原图像重合,则ω的最小值是

A.

3

2

B.

3

4

C.

2

3 D.3

答案:C

6.(2010辽宁,理6)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=

A.

2

15 B.

4

31 C.

4

33 D.

2

17 答案:B

7.(2010辽宁,理7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,P A ⊥l ,A 为垂足.

如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |=

A.43

B.8

C.83

D.16

答案:B

8.(2010辽宁,理8)平面上O ,A ,B 三点不共线,设OA =a ,OB =b ,则△OAB 的面积等于 A.222)(||||b a b a ?-

B. 222)(||||b a b a ?+

C.

2

1222)(||||b a b a ?-

D.

2

1222)(||||b a b a ?+

答案:C

9.(2010辽宁,理9)设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为

A.2

B.3

C.

2

1

3+ D.

2

1

5+ 答案:D

10.(2010辽宁,理10)已知点P 在曲线y =1

e 4

+x 上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是

A.［0,

4

π) B.［

2,

4ππ)

C.(

43,

2π

π］ D.［

4

3π,π) 答案:D

11.(2010辽宁,理11)已知a >0,则x 0满足关于x 的方程ax =b 的充要条件是

A.∈R ,

21ax 2-bx ≥21

ax 02-bx 0

B.∈R ,

21ax 2-bx ≤21

ax 02-bx 0 C.∈R ,21ax 2-bx ≥2

1

ax 02-bx 0

D.∈R ,21ax 2-bx ≤2

1

ax 02-bx 0

答案:C

12.(2010辽宁,理12)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是

A.(0,6+2)

B.(1,22)

C.(2626+-，)

D.(0,22)

答案:A

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(2010辽宁,理13)(1+x +x 2)(x -

x

1)6

的展开式中的常数项为_______. 答案:-5

14.(2010辽宁,理14)已知-1

区间表示)

答案:(3,8)

15.(2010辽宁,理15)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为_______.

答案:23

16.(2010辽宁,理16)已知数列{a n }满足a 1=33,a n +1-a n =2n ,则n

a n

的最小值为_______. 答案:

2

21 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2010辽宁,理17)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sinC.

(1)求A 的大小;

(2)求sin B +sin C 的最大值.

解:(1)由已知,根据正弦定理得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc .

由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故cos A =-

2

1

,A =120°. (2)由(1)得sin B +sin C =sin B +sin(60°-B )=

23cos B +2

1

sin B =sin(60°+B ). 故当B =30°时,sin B +sin C 取得最大值1.

18.(2010辽宁,理18)为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A ,另一组注射药物B .

(1)甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同组的概率;

(2)下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm 2)表1:注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表

表2:注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表

图1 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

②完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.

附:K 2

=)

)()()(()(2

d b c a d c b a bc ad n ++++-

解:(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为P =10020099100C C 2=199

100

.

(2)①

图1 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.

K 2=

95

105100100)30356570(2002

????-??≈24.56.

由于K 2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.

19.(2010辽宁,理19)已知三棱锥P —ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,P A =AC =

2

1

AB ,N 为AB 上一点,AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点.

(1)证明CM ⊥SN ;

(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小.

解:设P A =1,以A 为原点,射线AB ,AC ,AP 分别为x ,y ,z 轴正向建立空间直角坐标系如图.

则P (0,0,1),C (0,1,0),B (2,0,0),M (1,0,

21),N (21,0,0),S (1,2

1,0). (1)证明:CM =(1,-1,21),SN =(-21,-21

,0),

因为CM ·=-21+2

1

+0=0,所以CM ⊥SN .

(2)=(-2

1

,1,0),设a =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量,

则???????

=+-=+-,02

1,021y x z y x 令x =2,得a =(2,1,-2).

因为|cos 〈a , 〉|=|

2

2

321

1?

-

-|=22 所以SN 与平面CMN 所成角为45°.

20.(2010辽宁,理20)设椭圆C :22

22b

y a x +=1(a >b >0)的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C

相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,=2.

(1)求椭圆C 的离心率; (2)如果|AB |=

4

15

,求椭圆C 的方程. 解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知y 1<0,y 2>0. (1)直线l 的方程为y =3(x -c ),其中c =22b a -.

联立?????=+-=1

),(322

22b y a x c x y 得(3a 2+b 2)y 2+23b 2cy -3b 4=0. 解得y 1=2223)2(3b a a c b ++-,y 2=2

223)

2(3b

a a c

b +--. 因为=2,所以-y 1=2y 2,

即2

222223)2(323)2(3b a a c b b a a c b +--?=++.得离心率e =3

2

=a c . (2)因为|AB |=3

1

1+

|y 2-y 1|, 所以32·4153342

22=+b

a a

b .由32

=a c 得b =a 35. 所以

4

15

45=a ,得a =3,b =5. 椭圆C 的方程为15

92

2=+y x . 21.(2010辽宁,理21)已知函数f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1.

(1)讨论函数f (x )的单调性;

(2)设a <-1,如果对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)-f (x 2)|≥4|x 1-x 2|,求a 的取值范围.

解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=x

a 1

++2ax =x a ax 122++.

当a ≥0时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调增加; 当a ≤-1时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,+∞)上单调减少; 当-1

a 21

+-

. 则当x ∈(0,a a 21+-

)时,f ′(x )>0;当x ∈(a a 21

+-,+∞)时,f ′(x )<0. 故f (x )在(0,

a a 21+-

)上单调增加,在(a

a 21

+-,+∞)上单调减少. (2)不妨假设x 1≥x 2,而a <-1,由(1)知f (x )在(0,+∞)上单调减少,从而 x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)-f (x 2)|≥4|x 1-x 2|, 等价于

x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 2)+4x 2≥f (x 1)+4x 1.

①

令g (x )=f (x )+4x ,则g ′(x )=

x

a 1

++2ax +4. ①等价于g (x )在(0,+∞)上单调减少, 即

x

a 1

++2ax +4≤0, 从而a ≤1

2142+--x x =

212)12(1224)12(22

222-+-=+---x x x x x , 故a 的取值范围为(-∞,-2］.

22.(2010辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲

如图,△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . (1)证明△ABE ∽△ADC ; (2)若△ABC 的面积S =

2

1

AD ·AE ,求∠BAC 的大小. (1)证明:由已知条件,可得∠BAE =∠CA D.

因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以∠AEB =∠AC D. 故△ABE ∽△AD C.

(2)解:因为△ABE ∽△ADC ,所以

AC

AD

AE AB =

,即AB ·AC =AD ·AE . 又S =21AB ·AC sin ∠BAC ,且S =2

1

AD ·AE ,故AB ·AC sin ∠BAC =AD ·AE .

则sin ∠BAC =1,又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC =90°. 23.(2010辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程 已知P 为半圆C :??

?==θ

θsin ,

cos y x (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标

AP

原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧 的长度均为

3

π. (1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标; (2)求直线AM 的参数方程. 解:(1)由已知,M 点的极角为3π,且M 点的极径等于3

π, 故点M 的极坐标为(

3π,3

π). (2)M 点的直角坐标为(

6

π3,6π),A (1,0), 故直线AM 的参数方程为???

?

???

=-+=t y t x 6π3,)16π(1(t 为参数).

24.(2010辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲 已知a ,b ,c 均为正数,证明:a 2+b 2+c 2+(c

b a 111++)2

≥63,并确定a ,b ,c 为何值时,等号成立.

证法一:因为a ,b ,c 均为正数,由平均值不等式得a 2+b 2+c 2≥3(abc )3

2,

① 所以(c

b a 111++)2

≥9(abc )32

-.

②

故a 2+b 2+c 2+(c

b a 1

11++)2≥3(abc )32

+9(abc )32

-.

又3(abc )3

2 +9(abc )

3

2-≥227=63,

③

所以原不等式成立.

当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立. 当且仅当3(abc )3

2=9(abc )

3

2-时,③式等号成立.

即当且仅当a =b =c =34

1时,原式等号成立.

证法二:因为a ,b ,c 均为正数,由基本不等式得a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac . 所以a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac .

① 同理

ac

bc ab c b a 1

11111222++≥++,

②

故a 2+b 2+c 2+(c b a 1

11++)2

≥ab +bc +ac +3ab 1+3bc 1+3ac

1

≥63.

③

所以原不等式成立.

当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立.

即当且仅当a =b =c =34

1时,原式等号成立.