高中人教B版数学必修四优课教案：1.2.2单位圆与三角函数线
人教B版高一数学(必修4)导学案：1.2.2单位圆和三角函数线(无答案)
高一数学导学案 编号：
教学课题
课型 主备教师 把关教师 使用教师 使用时间、班级 单位圆与三角函数线 新授课
学习目标：学会正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。
重点难点:用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
教学手段：
教学过程
课前预习
1.单位圆与有向线段
一般地，我们把半径为 的圆叫做单位圆，有向线段是指既有 又有 的线段，如果有向线段在直角坐标系中，我们取和坐标轴同向的线段为 ，反向的为 。
2.三角函数线
如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，过()0,1A 作单位圆的切线交直线OP 或其反向延长线于点T ，则把有向线段OM ,MP ,AT 分别叫做α的 ，
， ，=αcos ，=αsin ，=αtan 。
教师是学生学习的引导者 学生是学习的主人！ α的终边
认真听讲是学习高效的捷径！
积极思考勤于动手天才来自勤奋！
落实是成功的保证！。
2016年高中人教B版数学必修四优课教案：1.2.2单位圆与三角函数线
1。
2。
2单位圆与三角函数线教学目标：1．知识与技能: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。
2．过程与方法: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力。
3．、情感与态度三维目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.教学重点难点：1．重点：三角函数线的作法及其简单应用。
2．难点：利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来。
教学方法与教学手段：1．教法选择:“设置问题,探索辨析,归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证,达到知识的延展。
3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验; 借助网络论坛交流各自的观点，展示自己的才能。
教学过程一、复习引入：复习三角函数的定义二、讲解新课：1。
观览车模型,并建立平面直角坐标系.2。
（边描述边画),以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆.当角α为第一象限角时,则其终边与单位圆有一个交点P(x,y），过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，则请学生观察,(1)sinα等于什么？（2)随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化?而它的长度值是否永远等于sinα?（3)MP就是sinα的几何表示,也叫做正弦线。
（4)能找到余弦线吗?(5）能找到正切线吗？3．当α是第二象限角时情形怎样？4．完整叙述单位圆与三角函数线：A：画单位圆，B:设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M,则有向线段MP 是正弦线。
高中数学人教B版必修四学案：1.2.2 单位圆与三角函数线
1.2.2 单位圆与三角函数线[学习目标] 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．[知识链接]1．什么叫做单位圆？答 以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)．2．带有方向的线段叫有向线段．有向线段的大小称为它的数量．在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同．即同向时，数量为正；反向时，数量为负． [预习导引]1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .要点一 利用三角函数线比较大小例1 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号均为正， ∴sin2π3>sin 4π5； |OM |<|OM ′|，符号均为负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号均为负，∴tan 2π3<tan 4π5.规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负． 跟踪演练1 利用三角函数线比较a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7的大小． 解如图，在单位圆O 中分别作出角5π7的正弦线M 1P 1和2π7的余弦线OM 2、正切线AT .由5π7＝π－2π7知M 1P 1＝M 2P 2， 又π4<2π7<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2，∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c .要点二 利用三角函数线解不等式例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32. 解 (1)如图①，作直线y ＝32交单位圆于点P 、Q ，连接OP 、OQ ，则OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)，故满足条件的角θ的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)如图②，作直线x ＝12和x ＝32分别交单位圆于点M ，N ，P ，Q ，连接OM 、ON 、OP 、OQ ，则OM 、ON 、OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)．故满足条件的角θ的集合为θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .规律方法 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪演练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．解 ∵点P 在第一象限内，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，∴⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π.可知π4<α<π2或π<α<5π4.要点三 利用三角函数线求函数的定义域例3 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． 解 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0.即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .规律方法 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪演练3 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域． 解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32. 如图所示．∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )， 即x ∈⎝⎛⎭⎫n π－π3，n π＋π3 (n ∈Z ).1．角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦值的符号相异，那么α的值为( ) A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4答案 D 2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT 答案 C3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 B4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： (1)sin 2π3________sin 3π4； (2)cos2π3________cos 3π4； (3)tan 2π3________tan 3π4.答案 (1)> (2)> (3)< 解析作出2π3和4π5的三角函数线，如图所示．根据三角函数线得：sin 2π3＝MP >sin 3π4＝M ′P ′； cos 2π3＝OM >cos 3π4＝OM ′； tan2π3＝AT <tan 3π4＝AT ′.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解容易了．。
高中数学人教B版必修四学案：第1章 1.2 1.2.2 单位圆与三角函数线 Word版含答案
1.2.2 单位圆与三角函数线学习目标：1.了解三角函数线的意义．(重点)2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．单位圆(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆．(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． 2．三角函数线思考：三角函数线的方向是怎样确定的？[提示] 三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x 轴或y 轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)若单位圆的圆心与坐标原点重合，判断下列结论的正误． (1)单位圆上任意一点到原点的距离都是1.( ) (2)单位圆与x 轴的交点为(1,0)．( ) (3)过点(1,0)的单位圆的切线方程为x ＝1.( ) (4)与x 轴平行的单位圆的切线方程为y ＝1.( ) [解析] (1)√(2)单位圆与x 轴交点坐标为(±1,0)． (3)√(4)与x 轴平行的单位圆的切线方程为y ＝±1. [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2.如图1-2-1，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →图1-2-1C [由三角函数线的定义知C 正确．]3．角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．[解析] 由于角5π6的终边与单位圆的交点横坐标是cos 5π6＝－32，纵坐标是sin 5π6＝12，∴角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12[合 作 探 究·攻 重 难]三角函数线的概念(1)设P 点为角α的终边与单位圆O 的交点，且sin α＝MP ，cos α＝OM ，则下列命题成立的是( ) A ．总有MP ＋OM ＞1 B ．总有MP ＋OM ＝1 C ．存在角α，使MP ＋OM ＝1 D ．不存在角α，使MP ＋OM ＜0(2)分别作出34π和－47π的正弦线、余弦线和正切线．[解析] (1)显然，当角α的终边不在第一象限时，MP ＋OM ＜1，MP ＋OM ＜0都有可能成立；当角α的终边落在x 轴或y 轴正半轴时，MP ＋OM ＝1，故选C.[答案] C(2)①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox 轴为始边作34π角，角的终边与单位圆交于点P ，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 轴正方向的交点A 作Ox 轴的垂线，与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 34π＝MP ，cos 34π＝OM ，tan 34π＝AT ，即34π的正弦线为MP →，余弦线为OM →，正切线为AT →.②同理可作出－47π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝M 1P 1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝O 1M 1， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝A 1T 1，即－47π的正弦线为M 1P 1→，余弦线为O 1M 1→，正切线为A 1T 1→.1．下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上． 不正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3C [由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如5π6与π6；③中当α＝π2时，α与α＋π都没有正切线．]利用单位圆解三角不等式在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.[思路探究] 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．[解] (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z.(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .2．求y ＝lg(1－2cos x )的定义域． [解] 如图所示， ∵1－2cos x ＞0，∴cos x ＜22，∴2k π＋π4＜x ＜2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数定义域为：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．三角函数线的综合应用[探究问题]1．为什么在三角函数线上，点P 的坐标为(cos α，sin α)，点T 的坐标为(1，tan α)呢？[提示] 由三角函数的定义可知sin α＝y r ，cos α＝xr ，而在单位圆中，r ＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x ＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝yx ，知纵坐标y ＝tan α，所以点T 的坐标为(1，tan α)． 2．如何利用三角函数线比较大小？[提示] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，试比较sin α，α，tan α的大小．[思路探究] 本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决．[解] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，单位圆交x 轴正半轴于点A ，作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，作AT ⊥x 轴，交α的终边于点T ，由三角函数线定义， 得sin α＝MP ，tan α＝AT ， 又α＝AP ︵的长，∴S △AOP ＝12·OA ·MP ＝12sin α， S 扇形AOP ＝12·AP ︵·OA ＝12·AP ︵＝12α，S △AOT ＝12·OA ·AT ＝12tan α. 又∵S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ， ∴sin α＜α＜tan α.3．利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1.[证明] 在△OMP 中，OP ＝1，OM ＝|cos α|，MP ＝|sin α|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cos α|＞1. 当点P 在坐标轴上时，|sin α|＋|cos α|＝1. 综上可知，|sin α|＋|cos α|≥1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．角π5和角6π5有相同的( )【导学号：79402007】A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定C [π5与6π5的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]2．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4C [由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝π4或5π4.] 3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π B [画出单位圆，结合正弦线得出sin x ≥12的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.]4．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________． [解析] ∵π4<1<π3，∴正弦线大于余弦线的长度， ∴sin 1>cos 1. [答案] sin 1>cos 15．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sin α＝23；(2)cos α＝－35.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图甲．甲 乙(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图乙．。
数学人教B版必修4教案1.2.2 单位圆与三角函数线含答案
一、学习目标(一)1.单位圆的概念.2.有向线段的概念.3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.(二)1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(三)通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.二、教学重点、难点重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值三、教学方法讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.幻灯片1多媒体课件：课本P191—13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P(x，ｙ），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T(利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白).四、教学过程示方法——为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).（使用多媒体课件，教师边叙述边作图).在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，ｙ），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值.当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都如果x＞0，OM与x轴同向(利用多媒体课件的优势，将①图、④图中的OM 从O 到M 运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x 轴同向)，规定此时OM 具有正值x ；如果x ＜0，OM 与x 轴正向相反(即反向)，(将课件上②图、③图中的OM 从O 到M 运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x 轴反向)，规定此时OM 具有负值x ，所以不论哪一种情况，都有OM ＝x . 如果ｙ＞0，把MP 看作与ｙ轴同向，规定此时MP 具有正值ｙ；如果ｙ＜0，把MP 看作与ｙ轴反向，规定此时MP 具有负值ｙ，所以不论哪一种情况，都有MP ＝ｙ(与前面所述相同，谈到MP 与ｙ轴同向或反向时，仍作从M 到P 的演示，让学生观察)，由上面所述，OM 、MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线 于是，根据正弦、余弦函数 OMx x r xMPy yr y ========1cos 1sin αα这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有AT OA ATx y===αtan这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线.注意：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.(2)当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x 轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.课我们学习了单位圆的。
2019版数学人教B版必修4课件：1.2.2 单位圆与三角函数线 .pdf
设角α的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相
交于点P(如图①),过点P作PM垂直x轴于点M,作PN垂直y轴于点N,
则点M,N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).由三角函数 的定义可知,点P的坐标为(cos α,sin α),即P(cos α,sin α).其中cos α
=OM,sin α=ON.
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M Z Z 1.2.2 单位圆与三角函数线
目标导航
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
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这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横 坐标和纵坐标.
1.2.2 单位圆与三角函数线
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M Z Z 1.2.2 单位圆与三角函数线
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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1.会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切. 2.能使用三角函数线求三角函数值、比较大小、解简单的三角 方程或三角不等式、证明相关的命题等.
答案:B
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2022年高中数学新人教版B版精品教案《1.2.2 单位圆与三角函数线》
在这节课中，学生经历了由符号语言向图形语言的转化，也初步体会了单位圆中的三角函数线作为一种研究工具的应用价值。这可以培养学生借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系。这也是数学核心素养的重要内容之一。
让学生主动发现单位圆，利于让学生借助单位圆理解任意角三角函数的定义；以后能借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出=in，=co，=tan的图象，了解三角函数的周期性，这符合?普通高中数学课程标准〔实验〕?要求。
在本节内容之前，首先在坐标系中借助角的终边定义三角函数，将终边的问题转化为终边上点的问题，点的取法是任意的，这给学生带来了自由的空间，如何取点简化问题，如果遇到有的角三角函数值不好求，如何借助“形〞对它进行量化，从而可以表示任意角的三角函数定义，是这节课要核心解决的问题。
三角函数定义最初是“形〞的定义，之后在平面直角坐标系中，引入了任意角的三角函数定义式，用“数〞表示三角函数值，本节课内容又进一步参加了单位圆的元素，再次强调可以用“形〞来表示三角函数值，这可以表达本节内容在培养学生数形结合思想方法上的重要价值。
2、重点分析
探索任意角正弦、余弦、正切的几何表示；初步体会“三角函数线〞的工具意义。
数学人教B版必修4课堂导学：1.2.2单位圆与三角函数线 含解析 精品
课堂导学三点剖析一、三角函数线的概念正弦线,余弦线,正切线分别是正弦,余弦,正切的几何表示,是与单位圆有关的有向线段,通过三角函数线可将三角函数问题转化为几何问题. 【例1】 分别作出32π和-43π的正弦线、余弦线和正切线. 思路分析：先以原点为圆心，1为半径作单位圆，然后分别作出角度为32π和-43π的角的终边，最后按三角函数线的定义作出正弦线、余弦线和正切线.解析：在直角坐标系中作单位圆（如图），以Ox 轴的正方向为始边作角32π的终边，与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M.由单位圆与Ox 正方向交点A 作Ox 轴的垂线，与OP 的反向延长线交于T 点.则sin 32π=MP,cos 32π=OM,tan 32π=A T, 即32π的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为A T. 同理可作出-43π的正弦线、余弦线和正切线.sin （-43π）=M′P′,cos(-43π)=OM′，tan(-43π)=AT′,即-43π的正弦线为M′P′,余弦线为OM′，正切线为A T′. 温馨提示（1）三角函数线有方向、正负，是有向线段；（2）在利用三角函数线比较三角函数值的大小时要注意方向、正负. 各个击破 类题演练 1在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.(1)sinα=32;(2)cosα=53-;(3)tanα=2. 解:(1)作直线y=32交单位圆于P,Q,则OP 与OQ 为角α的终边,如图甲.(2)作直线x=53-交单位圆于M,N,则OM 与ON 为角α的终边,如图乙.(3)在直线x=1上截取AT=2,其中A 的坐标为(1,0),设直线OT 与单位圆交于C,D,则OC 与OD 为角α的终边,如图丙. 变式提升 1根据下列三角函数值,求作角α的终边,然后求角α的取值集合. (1)sinα=21;(2)cosα=21;(3)tanα=-1. 解:(1)角α的取值集合为{α|α=2kπ+6π或α=2kπ+65π,k ∈Z }.(2)角α的取值集合为{α|α=2kπ±3π,k ∈Z }. (3)角α的取值集合为{α|α=2kπ+43π或α=2kπ+47π,k ∈Z }={α|α=kπ±43π,k ∈Z }.二、利用三角函数线解简单不等式【例2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合. （1）sinα≥23;(2)cosα≤-21.思路分析：先画出区域边界，再根据三角函数的正负确定区间范围. 解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的α的集合为{α|2kπ+3π≤α≤2kπ+32π,k ∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点，连结OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+32π≤α≤2kπ+34π,k ∈Z }.温馨提示（1）三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数定义域； （2）三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具. 类题演练 2利用单位圆解不等式3tanα+3>0.思路分析:先画出正切线,再根据平面区域确定角的范围.解:(1)要使3tanα+3>0,即tanα>33-,由正切线知kπ6π-<α<kπ+2π,k ∈Z .不等式的解集为(kπ6π-,kπ+2π),k ∈Z . 变式提升 2求下列函数的定义域： （1）y=x sin +tanx ； (2)y=lg(3-4sin 2x).解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧±≠+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥,22,)12(2,2,0sin ππππππk x k x k Z k k x x 得，k ∈Z . ∴2kπ≤x≤(2k+1)π且x≠2kπ+2π(k ∈Z ). ∴定义域为 ［2kπ,2kπ+2π）∪(2kπ+2π,(2k+1)π］（k ∈Z ）.（2）如图，∵3-4sin 2x>0,∴sin 2x<43.∴23-<sinx<23. ∴定义域为（2kπ-3π,2kπ+3π）∪(2kπ+32π,2kπ+34π),k ∈Z . 三、比较三角函数值的大小【例3】 若集合A=［0,2π),集合B={α|sinα>cosα},求集合A∩B.思路分析：三角函数线的作用是利用有向线段直观地表示三角函数值.有向线段的方向表示三角函数值的正负,有向线段的长度表示三角函数值的绝对值.在解决有关三角函数不等式或比较函数值大小方面,利用三角函数线比较简捷. 解:依题意当2π≤α<π时,sinα>0,cosα≤0, ∴sinα>cosα成立.当0≤α≤4π时,如图中以OA 为终边表示的角,这时sinα≤cosα. 当4π<α<2π时,如图中以OB 为终边表示的角,这时sinα>cosα成立.当π≤α<45π时,如图中以OC 为终边表示的角,这时sinα>cosα成立. 同理,可推出当45π≤α<2π时,sinα≤cosα.综上所述,当4π<α<45π时,sinα>cosα.∴A∩B={α|4π<α<45π}.类题演练 3比较sin1 155°与sin(-1 654°)的大小.思路分析:首先利用诱导公式将1 155°和-1 654°分别变化到0°—360°的角,然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线,利用三角函数线即可比较出大小. 解:先化成0°—360°间的角的三角函数. sin1 155°=sin(3×360°+75°)=sin75°, sin(-1 654°)=sin(-5×360°+146°)=sin146°. 在单位圆中分别作出sin75°或sin146°的正弦线M 2P 2,M 1P 1(如图). ∵M 1P 1<M 2P 2,∴sin1 155°>sin(-1 654°). 变式提升 3设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),试比较a 、b 、c 的大小. 解：如右图，作出-1 rad 的正弦线、余弦线及正切线.显然，b=cos(-1)>0,c=tan(-1)<a=sin(-1)<0, 即c<a<b.温馨提示单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质.。
人教B版高一数学必修四导学案：1.2.2单位圆和三角函数线
单位圆与三角函数线学习目标：1.利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线。
2.培养分析、探究问题的能力。
促进对数形结合思想的理解和感悟。
学习重点：三角函数线的探究与作法。
学习难点：利用三角函数线比较大小以及求角的大小。
学习过程：一、新知导学：1.一般的，我们把半径 的圆叫做单位圆，有向线段是指既有 又有 的线段，如果有向线段在直角坐标系中，取和坐标轴同向的线段为 ，反向的为 。
2.三角函数线：设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，在y 轴上的正射影为N,, 过A （1,0）做单位圆的切线交直线OP 或反向延长线于T ，则把有向线段,,分别叫做α的 ， ， ，其中AT ON OM ===αααtan ,sin ,cos .(依次做出各象限角的三角函数线．．．．．．．．．．．．．．)探究讨论：上述三角函数线定义中，ON OM ==ααsin ,cos 其中OM 、ON 表示的含义是什么？二、典型例题：类型一 做三角函数线例1：分别作出3π和23π-的正弦线、余弦线和正切线。
变式1：比较下列函数值大小sin3π c o s 3π tan 3π 引申1: 若02πα<<，试比较sin α,cos α, tan α的大小关系.变式2：求下列三角函数值（1）2sin 3π+2cos 3π= (2)sin 3cos 3ππ= tan 3π= 引申2：设α是第一象限的角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式：（1）2sin α+2cos α=1 （2）tan α=sin cos αα引申3： 如果α是第二、三、四象限的角，以上等式仍然成立吗？类型二 利用三角函数线确定三角函数的定义域例2：利用三角函数线求下列函数的定义域(1)y =(2)y=2lg(34sin )x -变式：在【π2,0】上满足21sin ≥x 的x 的取值范围是（ ） A ⎢⎣⎡⎥⎦⎤60π， B ⎢⎣⎡⎥⎦⎤656ππ， C ⎢⎣⎡⎥⎦⎤326ππ， D ⎢⎣⎡⎥⎦⎤ππ，65 三、当堂检测1、若π4 <θ < π2 ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ． tan θ>sin θ>cos θD ．sin θ>tan θ>cos θ2、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（ ）A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4 或 7π43、若0<α<2π，且sin α<23 , cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ） A ．（－π３ ，π３ ） B ．（0，π３ ） C ．（5π３ ，2π） D ．（0，π３ ）∪（5π３，2π）4、比较下列各组数的大小(1)sin1和sin 3π(2)cos 74π和cos 75π(3)sin 5π和tan 5π5、利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合（1）1sin 2α=-（2）1sin 2α>- (3) tan α≤。
人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线课程设计
人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线课程设计一、课程设计背景高中数学是应用数学的基础，也是学生接受高等数学教育的必备基础知识。
在数学教学中，三角函数是一个非常重要的知识点。
本课程设计针对人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线这一章节，旨在帮助学生在学习三角函数时更加深入、全面地了解单位圆和三角函数线的关系，并掌握如何应用它们解决实际问题。
二、课程目标1. 知识目标•理解单位圆的概念和性质；•掌握三角函数线的性质和特点；•能够应用单位圆和三角函数线求解实际问题。
2. 能力目标•能够运用所学知识归纳总结三角函数公式；•能够分析和解决实际问题；•能够进行团队合作、与人沟通、表达自己的观点和想法。
3. 情感目标•培养学生对数学的兴趣和热爱；•培养学生的坚韧不拔、自信自立、敢于探究、勇于创新的精神。
三、教学内容与步骤1. 教学内容1.什么是单位圆2.单位圆的性质3.三角函数线的概念和特点4.三角函数线的公式5.应用三角函数线解决实际问题2. 教学步骤第一步：导入引入单位圆的概念，通过看图、发问的方式引导学生了解单位圆的定义，了解角度的概念。
第二步：讲解讲解单位圆的性质，引导学生了解弧度制和角度制的转换。
第三步：互动引入三角函数线的概念，通过多种途径激发学生的兴趣和积极性，以互动教学的方式深入探讨三角函数线的性质和特点。
第四步：巩固巩固三角函数线的公式，引导学生理解并掌握奇偶性、单调性等概念。
第五步：应用通过解决实际问题的例题，引导学生进一步理解和掌握如何应用三角函数线解决实际问题。
第六步：拓展拓展课外活动，引导学生进行实践操作和实践活动，如进行数学建模、探究相似三角形等知识。
四、教学重点•单位圆与三角函数线的概念和性质；•三角函数公式的掌握和应用。
五、教学方法•讲述法•演示法•互动探究法•实践操作法•讨论交流法六、教学评价1. 同步测验课堂同步测验主要目的是检验学生是否掌握了所学内容，如：简答题、计算题、应用题等。
高中数学 第一单元 基本初等函数(Ⅱ)1.2.2 单位圆与三
1.2.2 单位圆与三角函数线学习目标 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一单位圆思考1 什么叫单位圆？思考2 点的射影是如何定义的？梳理(1)单位圆把________的圆叫做单位圆.(2)单位圆中角α的坐标角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的________和________.知识点二三角函数线思考1 三角函数线的长度等于三角函数的值吗？思考2 三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？梳理 三角函数线类型一 三角函数线例1 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线.反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合.类型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小.反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角函数线的长度.(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式组例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期. (2)注意区间是开区间还是闭区间.跟踪训练3 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域. (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练4 求函数f(x)＝2sin x－1的定义域.1.下列四个命题中：①当α一定时，单位圆中的正弦线一定；②在单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.则错误命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A.正弦线为PM，正切线为A′T′B.正弦线为MP，正切线为A′T′C.正弦线为MP，正切线为ATD.正弦线为PM，正切线为AT3.设a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.b <a <c4.函数y ＝2cos x －1的定义域为________.5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合： (1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y 轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x 轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便. 2.三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P ，M ，T 点，再画出MP ，OM ，AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了.答案精析问题导学 知识点一思考1 把半径为1的圆叫做单位圆．思考2 过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直于y 轴于点N ，则点M ，N 分别是点P 在x 轴、y 轴上的正射影(简称射影)． 梳理 (1)半径为1 (2)横坐标 纵坐标 知识点二思考1 不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．思考2 当三角函数线与x 轴(或y 轴)正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x 轴(或y 轴)正向反向时，所表示的三角函数值为负值．梳理 ON → OM → AT →或AT ′→ 题型探究例1 解 如图所示，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT .跟踪训练1 解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，过该点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }．例2 解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin 2π3>sin 4π5；|OM |<|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3<tan 4π5.跟踪训练2 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°) ＝sin 146°.如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M 1P 1，M 2P 2.∵M 1P 1>M 2P 2，且符号皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)． 例3 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }．跟踪训练3 解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即 {θ|2k π－2π3π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3π，k ∈Z }．例4 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即 {x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练4 解 要使函数f (x )有意义，必须使2sin x －1≥0，则sin x ≥12.如图，画出单位圆，作x 轴的平行直线y ＝12，交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，分别过点P 1，P 2作x 轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线， 易知这两条正弦线的长度都等于12.在[0,2π)内，sin π6＝sin 5π6＝12.因为sin x ≥12，所以满足条件的角x 的终边在图中阴影部分内(包括边界)，所以函数f (x )的定义域为{x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }．当堂训练 1．B 2.C 3.D4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z5．解 (1){α|2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z }．(2){α|k π－π2<α≤k π＋π6，k ∈Z }．(3)|sin α|≤12，即－12≤sin α≤12，{α|k π－π6≤α≤k π＋π6，k ∈Z }．。
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1.2.2单位圆与三角函数线
教学目标：
1．知识与技能: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
2．过程与方法: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
3．、情感与态度三维目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.
教学重点难点：
1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.
2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.
教学方法与教学手段：
1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.
2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.
3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验; 借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.
教学过程
一、复习引入：
复习三角函数的定义
二、讲解新课：
1. 观览车模型，并建立平面直角坐标系。
2.（边描述边画），以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆。
当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆有一个交点P（x，y），过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，则请学生观察，
（1）sinα等于什么？
（2）随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于sinα？
（3）MP就是sinα的几何表示，也叫做正弦线。
（4）能找到余弦线吗？
（5）能找到正切线吗？
3．当α是第二象限角时情形怎样？
4．完整叙述单位圆与三角函数线：
A ：画单位圆，
B ：设α的终边与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于M ，则有向线段是正弦线。
C ：有向线段OM 是余弦线。
D ：设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，过点A 作垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T ，则有向线段AT 就是正切线。
简单介绍: “有向线段”（带有方向的线段）的数量：绝对值等于有向线段的长度，方向与坐标轴方向相同时为正，反之为负。
则有向线段、OM 、AT 的数量等于角α的正弦、余弦和正切的值
5、视情形可补充余切线、正割线和余割线.（动态演示，在不同象限的角的三角函数线）。
三、例题讲解：
例1. 分别作出 2334
ππ、-的正弦线、余弦线和正切线 例2.
解不等式cos 2
x > 例3.
求函数lg(2sin 1)y x =-+
的定义域。
思考：当x ∈（0，
2π）时，有 sinx ＜x ＜tanx? 四：巩固练习：
练习1.画出角31056493ππππ、、、的正弦线，余弦线，正切线。
练习2.在]02π⎡⎣，上，满足1sin 2
x ≥ 的x 的取值范围是（ ） A 06π⎡⎤⎢⎥⎦⎣， B 566ππ⎡⎤⎢⎥⎦⎣， C 263ππ⎡⎤⎢⎥⎦⎣
， D ,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 练习3. 若1cos 2
x ≥
，则x 的取值范围______。
练习4. 若-1＜tanx ＜1，则x 的范围_______。
四、本节小结：
本节课我们学习了
1.单位圆:
把半径为1的圆叫做单位圆。
2.三角函数线：
（1）余弦线OM ，正弦线ON ，正切线AT
（2）其中余弦线，正弦线的起点是O ，终点是P 点在x 轴，y 轴上的射影。
（3）正切线的起点是A（1，0），终点T是过A的x轴的垂线与?的终边或其反向延长线的交点。
（4）OM，ON，AT数量OM，ON，AT是可正、可负、可零。
三角函数线与坐标轴方向一致为正，相反为负，起点与终点重合为零。
六、课堂练习：第22页练习A、B
七、课后作业：第35页习题1-1A：4、1-1B：5。