第二章 概率论解析答案习题解答分解
第二章 随机变量及其分布
I 教学基本要求
1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；
2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；
3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；
4、会求简单随机变量函数的分布.
II 习题解答
A 组
1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为
1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω=
以X 表示两个产品中的合格品数.
(1) 写出X 与样本点之间的对应关系；
(2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1)
10ω→、21ω→、31ω→、42ω→；
(2) 1
2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-.
2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？
(1) 0
21()2021
x F x x x <-???
=-≤
?≥??； (2) 2
1
()1F x x =
+ ()x -∞<<+∞. 解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=；
(0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数.
(2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为
(1)0()00
x A e x F x x -?-≥=?
求常数A 及(13)p X <≤？
解：由()1F +∞=和lim (1)x
x A e A -→+∞
-=得
1A =；
(13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=-
3113(1)(1)e e e e ----=---=-.
4、设随机变量X 的分布函数为
2
00()0111
x F x Ax x x ≤??=<≤??>?
求常数A 及(0.50.8)p X <≤？
解：由(10)(1)F F +=得
1A =；
(0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=.
5、设随机变量X 的分布列为
()a
p X k N
==
(1,2,,)k N = 求常数a ？
解：由
1
1i
i p
+∞
==∑得
1
1N
k a N ==∑ 1a ?=.
6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、5，且
0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090
5100
(3)C C p X C ==、
4110905100(4)C C p X C ==、50
1090
5100
(5)C C p X C ==
于是X 的分布列为
51090
5
100
()k k C C p X k C -== (0,1,,5)k =.
7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以X 表示抽样次数，求
(1) X 的分布列； (2) X 的分布函数？
解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且
84(1)105p X ==
=、288(2)10945p X ==?=、2181(3)109845
p X ==??= 于是X 的分布列为
(2) 由(1)可知的分布函数为
01412
5()44234513
x x F x x x
?≤
.
8、设随机变量X 的分布函数为
010.211
()0.3
120.5231
3
x x F x x x x <-??-≤
解：
X 90.1，求在同一时刻
(1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率； (3) 至多有3个设备被使用的概率？
解：设X 表示被同时使用的供水设备数，则~(5,0.1)X b (1) 恰有2个设备被使用的概率为
2
235(2)(0.1)(0.9)0.0729p X C ===；
(2) 至少有3个设备被使用的概率为
(3)(3)(4)(5)p X p X p X p X ≥==+=+=
33244550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=；
(3) 至多有3个设备被使用的概率为
(3)1(4)(5)p X p X p X ≤=-=-=
44550551(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.99954C C =--=.
10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？
解：设X 表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则~(52,0.2)X b ，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”，于是所求概率为
00521
1515252(1)(0)(1)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)p X p X p X C C ≤==+==+
0.0001279=.
11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，求 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率； (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率？
解：设X 表示该城市一周内发生交通事故的次数，则~(0.3)X P (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率
20.3
0.3(2)0.03332!
p X e -===；
(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率
00.3
0.3(1)1(0)10.2590!
p X P X e -≥=-==-=.
12、设X 服从泊松分布，已知(1)(2)p X p X ===，求(4)p X =？ 解：由(1)(2)p X p X ===得
2
2
e
e λ
λλλ--=
2λ?=
42
2(4)0.09024!
p X e -?===.
13、一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：
(1) 用二项分布作精确计算；
(2) 用泊松分布作的似计算？
解：设X 表示抽取的40件产品中的不合格品数，则~(40,0.02)X b (1) 拒收的概率为
(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-=
00401
13940401(0.02)(0.98)(0.02)(0.98)0.1905C C =--=；
(2) 由于400.020.8λ=?=，于是拒收的概率为
(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-= 0.80.810.80.1912e e --≈--=.
14、设随机变量X 的密度函数为
201
()0
x x f x ≤≤?=?
?其它
求X 的分布函数？
解：由()()x
F x f t dt -∞
=?
得
当0x <时
()()00x
x
F x f t dt dt -∞
-∞===?
?
当01x ≤≤时
2200
()()02|x
x
x
F x f t dt dt tdt t x -∞
-∞
==+==???
当1x >时
012100
1
()()020|1x
x
F x f t dt dt tdt dt t -∞
-∞
==++==?
???
于是所求分布函数为
2
0()0111
x F x x x x ?
. 15、设随机变量X 的密度函数为
212(1)12
()0
x f x x
?
-≤≤?=???其它
求X 的分布函数？
解：由()()x
F x f t dt -∞
=?
得
当1x <时
()()00x
x
F x f t dt dt -∞
-∞
===?
?
当12x ≤≤时
1121
111()()02(1)2()|2(2)x x
x F x f t dt dt dt t x t t x
-∞
-∞
==+-
=+=+-?
?? 当2x >时
12
2
121
211()()02(1)02()|1x
x F x f t dt dt dt dt t t t
-∞
-∞
==+-+=+=?
??
?
于是所求分布函数为
011()2(2)
1212
x F x x x x x
??
=+-≤≤??
>??
. 16、设随机变量X 的密度函数为
cos ()2
20
A x x f x π
π
?
-
≤≤
?=?
??其它
求(1) 常数A ；(2) X 的分布函数；(3) (0)4
p X π
<≤
？
解：(1) 由
()1f x dx +∞
-∞
=?
得
2
2
2
2
2
2
0cos 0sin |21dt A xdx dt A x A π
πππππ-+∞
--∞
-++===?
??
1
2
A ?=
； (2) 当2
x π
<-
时
()()00x
x
F x f t dt dt -∞
-∞
===?
?
当2
2
x π
π
-
≤≤
时
2
21111()()0cos sin |sin 2222
x x
x F x f t dt dt tdt t x πππ---∞
-∞
-==+==+?
??
当2
x π
>
时
2
2
2
22211()()0cos 0sin |122
x
x F x f t dt dt tdt dt t π
πππππ---∞
-∞
-==++==?
??
? 于是所求分布函数为
02
1
1()sin 2
22
2
12
x F x x x x π
π
π
π
?
<-??
?=+
-
≤≤
???
>
??
；
(3) (0)()(0)()(0)4
44
p X p X p X F F π
π
π
<≤
=≤
-≤=-
1111sin sin 024222π=+--=
17、设随机变量X 的分布函数为
1()ln 11x F x x
x e x e
?
求(1) (03)p X <≤、(2)p X <、(2 2.5)p X <<；(2) X 的密度函数？
解：(1) (03)(3)(0)(3)(0)101p X p X p X F F <≤=≤-≤=-=-=
(2)(2)(2)(2)ln 2p X p X p X F <=≤-===
5
(2 2.5)(2 2.5)(2.5)(2)ln 2.5ln 2ln 4
p X p X F F <<=<≤=-=-=；
(2) 由于在()F x 的可导点处，有()()f x F x '=，于是X 的密度函数为
11()0
x e
f x x
?≤≤?=???其它
.
18、设~(1,6)K U ，求方程2
10x Kx ++=有实根的概率？ 解：由~(1,6)K U 得K 的密度函数为
116
()5
k f k ?<
又由于方程2
10x Kx ++=有实根等价于2
40K -≥，即||2K ≥，于是方程有实根的概率为
2
2
(||2)(2)(2)()()p K p K p K f k dk f k dk -+∞
-∞
≥=≤-+≥=+?
?
6
2
1455
dk ==?
. 19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间X (单位：分钟)
服从参数为0.4的指数分布，求下述事件的概率
(1) X 至多3分钟； (2) X 至少4分钟；
(3) X 在3分钟至4分钟之间； (4) X 恰为3分钟？
解：(1) X 至多3分钟的概率为
0.43 1.2(3)(3)11p X F e e -?-≤==-=-；
(2) X 至少4分钟的概率为
0.44 1.6(4)1(4)1(4)1(1)p X p X F e e -?-≥=-<=-=--=；
(3) X 在3分钟至4分钟之间的概率为
(34)(4)(3)(4)(3)p X p X p X F F ≤≤=≤-<=-
0.440.43 1.2 1.6(1)(1)e e e e -?-?--=---=-；
(4) X 恰为3分钟的概率为
(3)0p X ==.
20、设~(0,1)X N ，求下列事件的概率(2.35)p X ≤；( 1.24)p X ≤-；(|| 1.54)p X ≤？
解：( 2.35)(2.35)0.9906p X ≤=Φ=；
( 1.24)( 1.24)1(1.24)10.89250.1075p X ≤-=Φ-=-Φ=-=； (|| 1.54)( 1.54 1.54)(1.54)( 1.54)p X p X ≤=-≤≤=Φ-Φ- (1.54)[1(1.54)]2(1.54)120.938210.8764=Φ--Φ=Φ-=?-=.
21、设~(3,4)X N ，(1) 求(25)p X <≤、(||2)p X >、(3)p X >；(2) 确定c ，使得()()p X c p X c >=≤；(3) 若d 满足()0.9p X d >≥，则d 至多为多少？
解：(1) 23353
(25)(
)222
X p X p ---<≤=≤≤ (1)(0.5)(1)(0.5)10.84130.691510.5328=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-= 23323
(||2)1(||2)1(
)222
X p X p X p ---->=-≤=-≤≤
1(0.5)( 2.5)1(0.5)(2.5)=-Φ-+Φ-=+Φ-Φ 10.69150.99380.6977=+-=
333
(3)1(3)1(
)22
X p X p X p -->=-≤=-≤ 1(0)10.50.5=-Φ=-=；
(2) 由()()p X c p X c >=≤得
1()()p X c p X c -≤=≤ 333
0.5()()()222
X c c p X c p ---?=≤=≤=Φ 3
032
c c -?
=?=； (3) 由()0.9p X d >≥得
333
0.9()1()1()1()222
X d d p X d p X d p ---≤>=-≤=-≤=-Φ 33(
)0.11()0.122d d
--?Φ≤?-Φ≤ 33()0.9 1.2820.43622
d d d --?Φ≥?≥?≤.
22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值为4h ，标准
差为20min 的正态分布.
(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率； (2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率；
(3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率？ 解：(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为
240260240240
(260)(
)1(1)202020
X X p X p p ---≥=≥=-< 1(1)10.84130.1587=-Φ=-=；
(2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率为
240250240
(250)(
)(0.5)0.69152020
X p X p --≤=≤=Φ=； (3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为
220240240260240
(220260)(
)202020
X p X p ---≤≤=≤≤
(1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=?-=.
23、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从2
(72,)N σ，已知96分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率？
解：设考生的外语成绩为X ，则2~(72,)X N σ 由96分以上的人数占总数的2.3%得
0.023(96)p X => 72
9672
24
0.977(96)()(
)X p X p σ
σ
σ
--?=≤=≤
=Φ
24
2σ
?=12σ?=
于是，考生的成绩在60分至84分之间的概率为
6072728472
(6084)(
)121212
X p X p ---≤≤=≤≤ (1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=?-=.
24
求cos Y X =的分布列？
解：由X
于是Y
25
求2
Y X =的分布列？
解：由
26、设随机变量的密度函数为
2311
()2
X x
x f x ?-<
求随机变量3Y X =+的密度函数？
解：由题意知，当2y ≤时，有
()()0Y F y p Y y =≤=
当24y <<时，有
()()(3)(3)(3)Y X F y p Y y p X y p X y F y =≤=+≤=≤-=-
当4y ≥时，有
()()1Y F y p Y y =≤=
即Y 的分布函数
02()(3)
2414
Y X y F y F y y y ≤??
=-<
于是，Y 的密度函数
()()Y Y f y F y '=(3)24
0X
F y y '-<
?
其它
2
3(3)24
20y y ?-<
其它
.
27、设随机变量~(0,1)X U ，求随机变量X
Y e =的密度函数？ 解：由题意知，当1y ≤时，有
()()0Y F y p Y y =≤=
当1y e <<时，有
()()()(ln )(ln )X Y X F y p Y y p e y p X y F y =≤=≤=≤=
当y e ≥时，有
()()1Y F y p Y y =≤=
即Y 的分布函数
1()(ln )
11Y X y F y F y y e y e
≤??
=<
于是，Y 的密度函数
()()Y Y f y F y '=(ln )
10
X
F y y e
'<
110y e
y ?<
其它
.
28、随机变量X 的密度函数为
0()0
x
X e x f x x -?>=?
≤?
求随机变量2
Y X =的密度函数？
解：由于2
0Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当0y ≥时，有
2()()()(Y F y p Y y p X y p X =≤=≤=≤
0()1x X f x dx dx e -===-即Y 的分布函数
10
()0
Y e y F y y ?-≥?=?
0()()00
Y Y y f y F y y >'==≤?
.
29、设随机变量~(0,1)X N ，试求随机变量||Y X =的密度函数？ 解：由于||0Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当0y ≥时，有
()()(||)()2()1Y F y p Y y p X y p y X y y =≤=≤=-≤≤=Φ-
即Y 的分布函数
2()1
()00
Y y y F y y Φ-≥?=?
于是，Y 的密度函数
()()Y Y f y F y '=2()
y y y 'Φ>?=?
≤?
2
2000
y
y y ->=≤?
.
B 组
1、A
2、B
3、D
4、B
5、B
6、B
7、C
8、C
9、C
10、C
11、设随机变量X 的分布函数为
0111()2
1232
x a x F x a x a b
x <-??-≤
且1
(2)2
p X ==
，求常数a 、b ？ 解：由()1F +∞=及()()(0)p X a F a F a ==--得
()121(2)(2)(20)()()32F a b p X F F a b a +∞=+=??
?
==--=+--=??
1726a b a b +=????+=??
1656a b ?=?????=??
.
12
求常数a ？
解：由
1
1i
i p
+∞
==∑得
20.5121a a +-+=
12
a ?=±
再由1
1202
a a -≥?≤
，可得
12
a =-
. 13、口袋中有5个球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.
(1) 求X 的分布列； (2) 求X 的分布函数？
解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为3、4、5，且
22351(3)10C p X C ===、23353(4)10C p X C ===、2
4356
(5)10
C p X C ===
于是X
(2) 由(1)可知的分布函数为
030.134
()0.4451
5
x x F x x x
≤
14、设随机变量X 的密度函数为
||
()x a
f x Ce -= (0)a >
求(1) 常数C ；(2) X 的分布函数；(3) (||2)p X <？
解：(1) 由
()1f x dx +∞
-∞
=?
得
||0
()2221x x a
a
f x dx C e dx C e dx aC +∞
+∞
+∞
---∞
====?
??
1
2C a
?=； (2) 当0x <时 ||111()()222t t x
a a a x x x F x f t dt e dt e dt e a a --∞
-∞-∞====?
??
当0x ≥时
||||
0011()()22t t a a x
x F x f t dt e dt e dt a a
---∞-∞==
+?
?? 001111222t t x a a a x e dt e dt e a a ---∞=+=-??
于是10
2
()110
2
x
a x a e x F x e x -?
?-≥??；
(3) 222
11(||2)(22)(2)(2)1122
a a a p X p X F F e e e ---<=-<<=--=--=-. 15、设随机变量X 的密度函数为
201
()0
x
x f x ≤≤?=?
?其它
以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2
X ≤出现的次数，求(2)P Y =？
解：由题意知：事件1{}2
X ≤在一次观察中出现的概率为
11
1
2
2
2
200
1()02|4
p f x dx dt xdx x -∞
-∞==+==
?
?? 且~(3,)Y b p ，于是
223139
(2)()()4464
P Y C ===.
16、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位：分钟)服从指数分布，其密度函数为
510()5
x e x f x x -?>?=??≤?
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求(1)p Y ≥？
解：由题意知：顾客在窗口等待服务的时间超过10分钟的概率为
5521010
10
1()|5
x x p f x dx e dx e e +∞
+∞
--+∞
-===-=?
?
且~(5,)Y b p ，于是
2025255(1)1(0)1()(1)1(1)0.5167P Y P Y C e e e ---≥=-==--=--=. 17、设随机变量2
~(2,)X N σ且(24)0.3p X <<=，求(0)p X <？
解：由2
~(2,)X N σ得
22
42
42
(24)(
)(
)(0)0.3p X p X σ
σ
σ
---<<=<<
=Φ-Φ=
2
()0.8σ
?Φ=
02
22
(0)()()1()10.80.2p X p X σ
σσ
-?<=<
=Φ-=-Φ=-=.
18、设随机变量X 的分布函数为()F x ，试求随机变量()Y F X =的密度函数？ 解：由于0()1F X ≤≤，故当0Y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当01y ≤≤时，有
11()()(())(())(())Y F y p Y y p F X y p X F y F F y y --=≤=≤=≤==
当1y >时，有()()1Y F y p Y y =≤= 即Y 的分布函数
00()0111
Y y F y y
y y
=≤≤??>?
于是，Y 的密度函数
()()Y Y f y F y '=1
01
y <
?其它
即随机变量Y 服从区间(0,1)上的均匀分布.
概率论与数理统计第四版第二章习题答案
概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为
（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ??
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ 求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 第二章练习题(答案) 一、单项选择题 1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为 3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1] 4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C ) 5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是 (A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p? (c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2 6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C ) F(x) = o, kx+b 、 x<0 0 < x< x> 则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0 龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 (A ) z 7 fl -cosx ； 2 0, f sinx, A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0); B. f (x) 1, x < 0 [cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负 D. f (x)在(-叫+00)内连续 A. P {X 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0 两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以: 概率论第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为，因其它原因死亡的概率为，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为；； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为 112 3213321312 C C P=??? 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第二章 随机变量及其分布 教学要求： 一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌 握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质， 并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数. 三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布． 重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布． 练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律 1．填空、选择 (1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量?? ?=，，出现正面 ，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间 ]22 1 ，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果 {}81 80 1= ≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i 其中0>c 是常数， 则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）1 1 +=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数 2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 解：从1～5中随机取3个共有103 5=C 种取法. 以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3 {}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则 概率论第二章习题参考解答 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为 ?? ? ??≥<≤<=1 1105 .000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数. 解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得 3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3 因此分布律由下表所示 ξ 0 1 P 1/3 2/3 而分布函数为 ?? ? ??>=<≤<=1 1103 /100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ?? ?≥<=a x a x x F 1 0)(, 它的图形为 a x 1 0 F (x ) 4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1) P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知 P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3) (1),(2)代入(3)得: 2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1 解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为 )3,2,1(27 1)(3=?= =-i i P i ξ 或列表如下: ξ 1 2 3 P 4/7 2/7 1/7 5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律. 解: 基本事件总数为4 20C n =, 有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为i i i C C n -=4155, 则 001 .017 3191 1718192051234)4(031.017195 2121545171819201234)3(2167.017181914 15231212141545171819201234)2(4696.017181913 14151231314155171819201234)1(2817 .0171913 7123412131415171819201234)0(420454 20 1 15354 202 15254 203 1515420415=??=???????====??=??????????====?????=?????????????====????=????????????====??=?????????????===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ ξ 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.031 0.001 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数. 解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有 ),3,2,1(1331310)(1 =? ? ? ???===-i pq i P i i ξ 7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律. 解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________， P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2） ，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p 概率论与数理统计习题参考解答（习题二） 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为 ?? ? ??≥<≤<=1 1105 .000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数. 解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得 3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3 P 1/3 2/3 而分布函数为 ?? ? ??>=<≤<=1 1103 /100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ?? ?≥<=a x a x x F 1 0)( , 它的图形为 4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1) P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知 P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3) (1),(2)代入(3)得: 2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1 解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为 )3,2,1(27 1)(3=?= =-i i P i ξ 或列表如下: 5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律. 解: 基本事件总数为4 20C n =, 有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为i i i C C n -=4155, 则 001 .017 3191 1718192051234)4(031.017195 2121545171819201234)3(2167.017181914 15231212141545171819201234)2(4696.017181913 14151231314155171819201234)1(2817 .0171913 7123412131415171819201234)0(4 454 20 1 15354 202 15254 203 1515420415=??=???????====??=??????????====?????=?????????????====????=????????????====??=?????????????===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数. 解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有 ),3,2,1(1331310)(1 =? ? ? ???===-i pq i P i i ξ 7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律. 概率论与数理统计课后习题答案 第二章 1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 35 35 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分 布律； （2） X 的分 布函数并作图； (3) — 133{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 31331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35 C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 （2） 当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235 当1≤x <2时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函 数 0, 022 ,0135 ()34,12351,2x x F x x x 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=? ??02x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事 件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 第二章 随机变量及其分布 1、解: 设公司赔付金额为,则X 得可能值为; 投保一年内因意外死亡:20万,概率为0、0002 投保一年内因其她原因死亡:5万,概率为0、0010 投保一年内没有死亡:0,概率为1-0、0002-0、0010=0、9988 所以得分布律为: 2、一袋中有5,以X 表示取出得三只球中得最大号码,写出随机变量X 得分布律 解:X 可以取值3,4,5,分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 4 35 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X : 3, 4,5 P : 3、设在15只同类型零件中有2只就是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X 表示取出次品得只数,(1)求X 得分布律,(2)画出分布律得图形。 解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个。 再列为下表 X : 0, 1, 2 P : 4、进行重复独立实验, (1)将实验进行到出现一次成功为止,以X 时称X 服从以p 为参数得几何分布。) (2)将实验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需得试验次数,求Y 得分布律。(此时称Y 服从以r, p 为参数得巴斯卡分布。) (3)一篮球运动员得投篮命中率为45%,以X 表示她首次投中时累计已投篮得次数,写出X 得分布律,并计算X 取偶数得概率。 解:(1)P (X=k )=q k － 1p k=1,2,…… (2)Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败,且最后一次成功} 其中 q=1－p , 或记r+n=k ,则 P {Y=k }= 第2章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 For personal use only in study and research; not for commercial use 《概率论》第二章 练习答案 螂 一、填空题: "2x 莁 1 .设随机变量X 的密度函数为f(x)=丿 1 的观察中事件(XW —)出现的次数，则 P (Y = 2)= ___________________ 2 P(X J)「￡xdx 二 2 0 2 1 2 3 1 9 袇 P —F (3)2 螃 2.设连续型随机变量的概率密度函数为: -ax+b 0 莇 DX= 12 4.设 为随机变量，E =3, E 2 =11，则E （4： 10） 羀 D (4 10)=16D # =16 E 2 (E )2 32 100 r x -100 、 X ，某一个电子设备内配有 3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不 、0（其他） 需要更换的概率为 8/27 二 4E 10 =22 蒇 5.已知X 的密度为（X ）二 ax + b 广 0 c x < 1 其他，且 1 1 P ( X 二)=P(X>-) , r (x ) dx=1 1 ax b ) dx 二 /ax b ) 3 联立解得: dx 肇 6?若f （x ）为连续型随机变量 X 的分布密度，则 J 「f （x ）dx= _1 ~ |*"^0 羆 7.设连续型随机变量旳布函数F （X ）=X 2/； 丨1, x ：： 0 0 乞 x ：：： 1，则 蚄 P ( E =0.8 ) = _; P(0.2 ：： ：： 6) = 0.99 螄 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 （X ）= 第2章练习题 1、二手数据的特点是（） A.采集数据的成本低，但搜集比较困难 B. 采集数据的成本低，但搜集比较容易 C.数据缺乏可靠性 D. 不适合自己研究的需要 2、从含有N个元素的总体中，抽取n个元素作为样本，使得总体中的每一个元素都有相同的机会（概率）被抽中，这样的抽样方式称为（） A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D. 整群抽样 3、从总体中抽取一个元素后，把这个元素放回到总体中再抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（） A.重复抽样 B.不重复抽样 C.分层抽样 D.整群抽样 4、一个元素被抽中后不再放回总体，然后从所剩下的元素中抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（） A.不重复抽样 B.重复抽样 C.系统抽样 D.多阶段抽样 5、在抽样之前先将总体的元素划分为若干类，然后从各个类中抽取一定数量的元素组成一个样本，这样的抽样方式称 为（） A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样D?整群抽样 6、先将总体各元素按某种顺序排列，并按某种规则确定一个随机起点，然后每隔一定的间隔抽取一个元素，直至抽取 n个元素形成一个样本。这样的抽样方式称为（） A.分层抽样 B.简单随机抽样 C.系统抽样D?整群抽样 7、先将总体划分为若干群，然后以群作为抽样单位从中抽取部分群，再对抽中的各个群中所包含的所有元素进行观察， 这样的抽样方式称为（） A.系统抽样 B.多阶段抽样 C.分层抽样 D.整群抽样 8为了调查某校学生的购书费用支出，从男生中抽取60名学生调查，从女生中抽取40名学生调查，这种调查方是（） A.简单随机抽样 B.整群抽样 C.系统抽样 D.分层抽样 9、为了调查某校学生的购书费用支出，从全校抽取4个班级的学生进行调查，这种调查方法是（） A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.分层抽样D?整群抽样 10、为了调查某校学生的购书费用支出，将全校学生的名单按拼音顺序排列后，每隔50名学生抽取一名学生进行调查， 这种调查方法是？（） A.分层抽样 B.整群抽样 C.系统抽样 D.简单随机抽样 11、为了了解女性对某种化妆品的购买意愿，调查者在街头随意拦截部分女性进行调查。这种调查方式是（） A.简单随机抽样 B.分层抽样C?方便抽样D?自愿抽样 12、研究人员根据研究对象的了解有目的的选择一些单位作为样本，这种调查方式是（） A.判断抽样 B.分层抽样 C.方便抽样 D.自愿抽样 13、下面的那种调查方式不是随机选取的（） A.分层抽样 B.系统抽样C?整群抽样D?判断抽样 14、下面的那种抽样调查结果不能用于对总体有关参数进行估计（） A.分层抽样 B.系统抽样 C.整群抽样 D.判断抽样 15、调查时首先选择一组调查单位，对其实施调查之后，再请他们提供另外一些属于研究总体的调查对象，调查人员根据所提供的线索，进行此后的调查。这样的调查方式称为（） A.系统抽样 B.整群抽样 C.滚雪球抽样 D.判断抽样 16、如果要搜集某一特定群体的有关资料。适宜采用的调查方式是（） A.滚雪球抽样 B.系统抽样 C.判断抽样 D.整群抽样 17、下面的那种抽样方式不属于概率抽样（） A.系统抽样 B.整群抽样 C.分层抽样 D.滚雪球抽样 18、下面的那种抽样方式属于非概率抽样（） A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.整群抽样 D.方便抽样 19、先将总体中的所有单位按一定的标志（变量）分为若干类，然后在每个类中采用方便抽样或判断抽样的方式选取样本单位。这种抽样方式称为（） A.分类抽样 B.配额抽样 C.系统抽样 D.整群抽样第二章_概率论解析答案习题解答
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