2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．

. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A

B = ．

2.已知复数z 满足34z i i ?=-（i 为虚数单位），则z = ．

3.双曲线

22

143

x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．

5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．

6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．

7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为2

8cm ，则它的体积为 3

cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．

9.已知0a >，0b >，且

23

a b

+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c b

B b

-=，则cos A = ．

11.已知函数,1()4

,1

x a e x f x x x x ?-

=?+≥??

（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．

12.在ABC ?中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23

ACB π

∠=

，则CP CA ?= ．

13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．

14.若二次函数2

()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则

(1)

f a

的取值范围为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4

b π

α=+

.

（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ?的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.

16.如图，正三棱柱111ABC A

B C -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱

11AC ，

AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.

求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2

）AD ⊥平面1A BN .

17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，(1,)2

，点A 是椭圆的下顶点.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，

F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.

18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23

AQC π

∠=

.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2

POB π

θθ∠=<<

.

（1）当3

π

θ=

时，求OPQ ∠的大小；

（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.

19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.

（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；

②当2c =时，求函数(),()()

()(),()()

f x f x

g x

h x g x f x g x ≥?=?

20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*

()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；

（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132

n n n a b a b a b --++113n n a b ++???+=33n --成立.求满足等式

1

3

n n T a =的所有正整数n .

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. 选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，

且满足DA DC =.

（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵4001A ??=?

???，1205B ??=????，列向量a X b ??

=????

. （1）求矩阵AB ；

（2）若1

1

51B A X --??

=????

，求a ，b 的值.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C 经过点)4P π

，圆心为直线sin()3

π

ρθ-=点，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲

已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，

2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.

（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为

23，求PQ PA

的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =???中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=???，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合

3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.

记集合n A 的所有错位排列的个数为n D . （1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；

（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由； （3）试用数学归纳法证明：*

2()n D n N ∈为奇数.

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题

1. {1}

2. 5

3. y x =

4. 63

5. 316

6. 258 9. 10. 13

11. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1

,53??????

14. [0,1)

二、解答题

15.解：（1）由题意4sin 5α=，3

cos 5

α=，

所以sin()4a b a πα?=

++sin cos 4παα=+cos sin 4

π

α+

45=

+35+=

（2）因为//a b ，sin()14

a π

α+=，α(s i n

c o s c o s s i n )14

4

π

π

αα+=，

所以2

sin sin cos 1ααα+=，

则2sin cos 1sin ααα=-2

cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，

所以锐角4

π

α=

.

16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边

形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，

AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，

又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所

以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ?平面1A BN ，

BN ?平面1A BN ，

所以1//B M 平面1A BN ；

（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，

BN ?平面ABC ，所以1BN AA ⊥，

正ABC ?中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ?平面11AAC C ，

1

AA AC A =，

所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ?平面11AAC C ，

所以AD BN ⊥，

由题意，1AA =，

2AC =，1AN =

，CD =

，所以1AA AN AC CD == 又12

A AN ACD π

∠=∠=

，所以1A AN ?与ACD ?相似，则1AA N CAD ∠=∠，

所以1ANA CAD ∠+∠112

ANA AA N π

=∠+∠=，

则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ?平面1A BN ，

所以AD ⊥平面1A BN .

17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ?+=????+=??，解得2211

4

11a b ?=????=??，

所以椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，

设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x

=-??

=?，得1111

(,)11E k k --，

设直线2l ：1

1

1y x k =-

-，同理11

11(,)1111F k k ----， 因为OE OF =，所以11

11

|

|||111k k =---，

①

11

11111k k =---，111

0k k +=无实数解；

②

11

11111k k =---，11

1

2k k -=，211210k k --=

，解得11k = 综上可得，直线1l

的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ?中，3OA =，AQO AQC

π∠=-∠233

ππ

π=-

=，

所以OQ =，在OPQ ?中，3OP =，2

POQ π

θ∠=

-2

3

6

π

π

π

=

-

=

，

由正弦定理得

sin sin OQ OP

OPQ OQP

=∠∠，

3

sin()

6

ππα=--

sin()6παπα=--5sin(

)6πα=-，

则5sin

cos 6παα=5cos sin 6πα

-1cos 2αα=

，所以cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠

，所以tan α=

，得6πα=；

（2）设OPQ α∠=，在OPQ ?中，3OP =，2

POQ π

θ∠=

-2

3

6

π

π

π

=

-

=

，

由正弦定理得

sin sin OQ OP

OPQ OQP

=∠∠3sin(())2

ππαθ=---，

sin((

))2π

απαθ=---sin(())2

π

αθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，

从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠， 所以tan

α=

，

记()

f θ=

，'()f θ=(0,)2πθ∈；

令'()0f θ=，sin θ=

0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，

当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2

π

θθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，

所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，

又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=

答：观赏效果达到最佳时，θ19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3

()2f x x x c =-+，

∵()()f x g x ≥恒成立，∴3

2ln x x c x -+≥恒成立，即3

ln 2c x x x ≥-+.

令3

()ln 2x x x x ?=-+，则2

1'()32x x x ?=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x

-++=，

令'()0x ?≥，得1x ≤，∴()x ?在(0,1]上单调递增， 令'()0x ?≤，得1x ≥，∴()x ?在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ??==. ∴1c ≥.

（2）①当3b =-时，3

2

()3f x x ax x c =+-+，2

'()323f x x ax =+-.

由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230

'(1)3230

f a f a =+-≤??

-=--≤?，∴0a =，即实数a 的值为0.

②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.

当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.

2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.

∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. 对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，

()0g x >.

∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.

20.解：（1）由123n n S a +=-*

()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*

()n N ∈.

13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则

1

3n n

a a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*

()n N ∈；

（2）由题意26j k i a a a λ?+=?，即33263j

k

i

λμ+=??， 所以3312j i

k i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，

所以3

33j i

λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，

123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；

（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++???+=33n --得，

11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++???++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+???++233(1)3n n +=-+-，

1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，

所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+， 所以121n b n +=+*

()n N ∈，

又因为111133133a b +=-?-=，得11b =，所以21n b n =-*

()n N ∈，

从而135(21)n T n =+++???+-21212n n n +-=

=*

()n N ∈，2*()3

n n n T n n N a =∈， 当1n =时

1113T a =；当2n =时224

9T a =；当3n =时3313

T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有

1

3

n n T a <， 11n n n n T T a a ++-1

21(1)3n n +??

=+ ???

1

21133n

n n +????

-= ? ?

????

1

2

2

1((1)3)3n n n +??

+-= ?

??

2(221)n n -++，

当3n ≥时，22

221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即

110n n

n n

T T a a ++-<， 所以当3n ≥时，

n n

T a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；

综上可得，满足等式

1

3

n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.【选做题】

A. 选修4-1：几何证明选讲

证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =.

因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=， 又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ???，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.

（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，

2133CD CB CA =?=?=

，所以CD =.

B. 选修4-2：矩阵与变换 解：（1）401248010505AB ??????

==?

?????

??????

； （2）由1151B A X --??=????

，解得51X AB ??=????

485280515??????==?

???????????，又因为a X b ??

=??

??

，所以28a =，5b =.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

解：在sin()3

π

ρθ-

=0θ=，得2ρ=，

所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).

因为圆C 的半径

PC 2==，

于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数，

所以210x y ++≥>

，210y x ++≥>，

22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，

所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.

【必做题】

22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设

AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；

所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，

设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100

DB n DP n ??=???=??，

即2020tx ty tz +=??=?，解得20

x y z +=??=?，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-， 111cos ,n CQ n CQ n CQ

?<

>=

=

5=， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为

5

. （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设

(01)PQ

PA

λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，

(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则220

DQ n DB n ??=??

?=??，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=??+=?，解得(1)0

20

x z x y λλ+-=??

+=?，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)

n λλλ=---，

12cos ,n n =<>1212

n n n n ?

=

=

，

所以2

2

55(1)96105

λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=

，则

23

PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D =，

32D =， 49D =，

（2）12(1)()n n n D n D D --=-+， 理由如下：

对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；

若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；

根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+； （3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；

当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，

故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.

下面用数学归纳法证明2n D （其中*

n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；

假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以

2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；

根据前面所述，对任意*

n N ∈，都有2n D 为奇数.