2019年云南省曲靖市中考数学一模试卷(含解析)

2019年云南省曲靖市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）

1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形.故符合题意．

故选：D．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查中心对称图形，轴对称图形的知识，记住：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点．

2.下列是一元二次方程的是()

A. x2+3=0

B. xy+3x?4=0

C. 2x?3+y=0

D. 1

x

+2x?6=0

【答案】A

【解析】解：A、该方程是一元二次方程，故本选项正确；

B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；

C、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；

D、该方程是分式方程，故本选项错误；

故选：A．

本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

(1)未知数的最高次数是2；

(2)二次项系数不为0；

(3)是整式方程；

(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

3.半径为r的圆的内接正六边形边长为()

A. 1

2r B. √3

2

r C. r D. 2r

【答案】C

【解析】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，

则三角形AOB是等边三角形，所以AB=OA=r．

故选：C．

画出圆O的内接正六边形ABCDEF，连接OA，OB，得到正三角形AOB，可以求出

AB的长．

本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到正三角形AOB，就可以求出正六边

形的边长．

4.如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，宽为2m.为测量画上世界

杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宜传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长

方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频

率稳定在常数0.4左右.由此可估计宜传画上世界杯图案的面积为()

A. 2.4m2

B. 3.2m2

C. 4.8m2

D. 7.2m2

【答案】B

【解析】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右，

∴估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4，

∴估计宜传画上世界杯图案的面积=0.4×(4×2)=3.2(m2).

故选：B．

利用频率估计概率得到估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4，然后根据几何概率的计算方法计算世界杯图案的面积．

本题考查了频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

5.在平面直角坐标系中，点(1,?2)关于原点对称的点的坐标是()

A. (1,2)

B. (?1,2)

C. (2,?1)

D. (2,1)

【答案】B

【解析】解：点(1,?2)关于原点对称的点的坐标是(?1,2)，

故选：B．

平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(?x,?y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．

6.下列事件中必然发生的事件是()

A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不一定全等

B. 不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式

C. 过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度不一定相等

D. 200件产品中有8件次品，从中任意抽取9件，至少有一件是正品

【答案】D

【解析】解：一个图形平移后所得的图形与原来的图形一定全等，A是不可能事件；

不等式的两边同时乘以一个数0，结果不是不等式，B是随机事件；

过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度一定相等，C是不可能事件；

200件产品中有8件次品，从中任意抽取9件，至少有一件是正品，D是必然事件；

故选：D．

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=144°，则∠C的度数是

()

A. 14°

B. 72°

C. 36°

D. 108°

【答案】D

【解析】解：∵∠A=1

2∠BOD=1

2

×144°=72°，

而∠A+∠C=180°，

∴∠C=180°?72°=108°．

故选：D．

先根据圆周角定理计算出∠A=72°，然后根据圆内接四边形的性质求∠C的度数．

本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).也考查了圆周角定理．

8.为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正

方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“”带，鲜花带一

边宽1m，另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长

xm，可列方程为()

A. (x?1)(x?2)=18

B. x2?3x+16=0

C. (x+1)(x+2)=18

D. x2+3x+16=0

【答案】A

【解析】解：设原正方形的边长为xm，依题意有

(x?1)(x?2)=18，

可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x?1)m，宽为(x?2)m.根据长方形的面积公式方程可列出．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式.另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.若式子√3?x有意义，则x的取值范围是______．

【答案】x≤3

【解析】解：根据题意得：3?x≥0，

解得：x≤3．

故答案是：x≤3．

根据二次根式有意义的条件即可求解．

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

10.如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BOC=124°，则∠A=______．

【答案】68°

【解析】解：∵∠BOC=124°，

∴∠OBC+∠OCB=180°?124°=56°，

∵点O是△ABC的内切圆的圆心，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=112°，

∴∠A=180°?112°=68°，

故答案为：68°．

根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB，根据内心的性质得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，根据三角形内角和定理计算即可．

本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．

11.若x2?2x=3，则多项式2x2?4x+3=______．

【答案】9

【解析】解：∵x2?2x=3，

∴原式=2(x2?2x)+3=6+3=9．

故答案为：9．

原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．

此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12.圆锥的母线长是6cm，侧面积是30πcm2，该圆锥底面圆的半径长等于______cm．

【解析】解：根据题意得：S=πrl，即r=S

πl =30π

6π

=5，

则圆锥底面圆的半径长等于5cm，

故答案为：5

利用圆锥的侧面积公式计算即可求出所求．

此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是解本题的关键．

13.若y=(m+2)x m2?2+mx+1是关于自变量x的二次函数，则m=______．

【答案】2

【解析】解：根据二次函数的定义，得：

m2?2=2，

解得m=2或m=?2，

又∵m+2≠0，

∴m≠?2，

∴当m=2时，这个函数是二次函数．

故答案是：2．

根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可．

本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．

14.如图所示，在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(2,0)，△AP1B是等腰直角三角形且∠P1=90°，把△AP1B绕

点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2019的坐标为______．

【答案】(4037,1)

【解析】解：作P1⊥x轴于H，

∵A(0,0)，B(2,0)，

∴AB=2，

∵△AP1B是等腰直角三角形，

∴P1H=1

2

AB=1，AH=BH=1，

∴P1的纵坐标为1，

∵△AP 1B 绕点B 顺时针旋转180°，得到△BP 2C ；把△BP 2C 绕点C 顺时针旋转180°，得到△CP 3D ， ∴P 2的纵坐标为?1，P 3的纵坐标为1，P 4的纵坐标为?1，P 5的纵坐标为1，…， ∴P 2019的纵坐标为1，横坐标为2019×2?1=4037， 即P 2019(4037,1)． 故答案为：(4037,1)．

根据题意可以求得P 2的纵坐标为?1，P 3的纵坐标为1，P 4的纵坐标为?1，P 5的纵坐标为1，…，从而发现其中的变化的规律，从而可以求得P 2019的坐标．

本题考查坐标与图形变化?旋转，解答本题的关键是发现各点的变化规律，求出相应的点的坐标．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15. 先化简，再求值：(1+1

x 2?1)÷x 2

x 2?2x+1，其中x =2．

【答案】解：(1+

1x 2?1

)÷

x 2

x 2?2x+1

=x 2?1+1x 2?1÷x 2

x 2

?2x +1

=x 2(x +1)(x ?1)?

(x ?1)2

x 2

=x?1

x+1， 当x =2时， 原式=2?12+1=1

3．

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值．

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分） 16. 计算：√9+(√93

?2)0?|?3|?(1

3)?1 【答案】解：原式=3+1?3?3 =?2．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

17. 如图，在边长均为1的正方形网格纸上有△ABC 和△DEF ，顶点A 、B ，C ，D 、E 、F 均在格点上，如果△DEF

是由△ABC 绕着某点O 旋转得到的，点A(?4,1)的对应点是点D ，点C 的对应点是点F.请按要求完成以下操作或运算：

(1)在图上找到点O 的位置(不写作法，但要标出字母)，并写出点O 的坐标； (2)求点B 绕着点O 顺时针旋转到点E 所经过的路径长．

【答案】解：(1)如图所示，连接AD，CF，作AD和CF的垂直平分线，交于点O，则点O即为旋转中心，

由点A(?4,1)可得直角坐标系，故点O的坐标为(1,?1)；

(2)点B绕着点O顺时针旋转到点E所经过的路径长为：90×π×3

180=3

2

π．

【解析】(1)根据旋转变换中对应点与旋转中心的距离相等，可知旋转中心即为对应点连线的垂直平分线的交点；根据点A(?4,1)可得直角坐标系，进而得到点O的坐标为(1,?1)；

(2)点B绕着点O顺时针旋转到点E所经过的路径为扇形的弧线，根据弧长计算公式即可得到路径长．

本题主要考查了利用旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

18.解方程

(1)x2?4x+3=0(用配方法求解)

(2)(2x?3)2?2x+3=0

【答案】解：(1)x2?4x+3=0，

x2?4x=?3

x2?4x+4=?3+4，即(x?2)2=1，

开方，得x?2=±1，

解得x1=3，x2=1．

(2)(2x?3)2?2x+3=0，

(2x?3)(2x?3?1)=0，

∴2x?3=0或2x?4=0，

所以x1=3

2

，x2=2．

【解析】(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解；

(2)提取公因式分解因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解.也考查了配方法解一元二次方程．

19.已知y=x2?(m+2)x+(2m?1)是关于x的抛物线解析式．

(1)求证：抛物线与x轴一定有两个交点；

(2)点A(?2,y1)、B(1,y2)、C(4,y3)是抛物线上的三个点，当抛物线经过原点时，判断y1、y2、y3的大小

关系．

【答案】(1)证明：y=x2?(m+2)x+(2m?1)，

∵△=[?(m+2)]2?4×1×(2m?1)=(m+2)2+4>0，

∴抛物线与x轴一定有两个交点；

(2)解：∵抛物线y=x2?(m+2)x+(2m?1)经过原点，

∴2m?1=0．

解得：m=1

2

，

∴抛物线的解析式为y=x2?5

2

x.

当x=?2时，y1=7；

当x=1时，y2=?2；

当x=4时，y3=6．

∴y2

【解析】(1)根据一元二次方程的根的判别式求出即可；

(2)由抛物线经过原点可求得m=1

2

，从而得到抛物线的解析式，然后可求得y1、y2、y3的值，然后再比较大小即可．

本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，求得m的值是解题的关键．

20.一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中有红球2个，蓝球1

个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为1

2

．

(1)求口袋中黄球的个数；

(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两

次摸出都是红球的概率；

【答案】解：(1)设口袋中黄球的个数为x个，

根据题意得：2

2+1+x =1

2

，

解得：x=1，

经检验：x=1是原分式方程的解，

∴口袋中黄球的个数为1个；

(2)画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，

∴两次摸出都是红球的概率为：2

12=1

6

．

【解析】(1)设口袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到2

2+1+x =1

2

，然后利用比例性质求出x即可；

(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

21.某网店经营一种新文具，进价为20元，销售一段时间后统计发现：当销售单价是25元时，平均每天的

销售量为250件，销售单价每上涨1元，平均每天的销售量就减少10件．

(1)求销售单价x(元)为多少时，该文具每天的销售利润W(元)最大？并求出W；

(2)为回馈广大顾客同时提高该文具知名度，该网店决定在11月11日(双十一)开展降价促销活动.若当天

按(1)的单价降价m%销售并多售出2m%件文具，求销售款额为5250时m的值．

【答案】解：(1)∵销售量=250?10(x?25)=500?10x，

∴总利润=(x?20)(500?10x)

=?10x2+700x?10000

=?10(x?35)2+2250

∴当x=35时，最大利润为2250元．

(2)原来销售量500?10x=500?350=150，

35(1?m%)150(1+2m%)=5250

设m%=a，

∴(1?a)(1+2a)=1，

解得：a=0或a=1

2

，

∵要降价销售，

∴a=1

2

，

∴m=50．

【解析】(1)首先确定有关利润与售价x之间的二次函数，配方后即可确定最大利润；

(2)首先确定原来的销售量，然后销售量×单件利润=总利润列出方程求解即可．

本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函数的性质的运用，解答时根据条件建立方程是解答本题的关键．

22.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外一点，连接AC，BC，AC与⊙O交

于点D，弦DE与直径AB交于点F，∠C=∠E．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若DE⊥AB，AE?=2BE?，AB=2√3，求CD的长．

【答案】(1)证明：连接BD，

则∠BAE=∠BDE，

∵∠AFE=∠DFB，

∴∠E=∠ABD，

∵∠C=∠E，

∴∠C=∠ABE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDC=90°，

∴∠C+∠CBD=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

(2)解：∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，

∴AD?=AE?，BD?=BE?，

∵AE?=2BE?，

∴AD?=2BD?，

∴∠ABD=2∠DAB，

∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，

∴∠C=60°，

∵AB=2√3，

AB=2，

∴BC=√3

3

BC=1．

∴CD=1

2

【解析】(1)连接BD，根据圆周角定理得到∠BAE=∠BDE，推出∠C=∠ABE，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB= 90°，推出AB⊥BC，于是得到结论；

(2)根据垂径定理得到AD?=AE?，BD?=BE?，等量代换得到AD?=2BD?，求得∠ABD=2∠DAB，解直角三角形即可得到结论．

本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．

23.如图，对称轴为x=1的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)与y轴交

于点B，顶点为C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△ABC的面积；

(3)若点P在x轴上，将线段BP绕着点P逆时针旋转90°得到PD，点D是否

会落在抛物线上？如果会，求出点P的坐标；若果不会，说明理由．

【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=1，点A(3,0)，则抛物线与x轴另外一个交点为(?1,0)，

则抛物线的表达式为：y=(x+1)(x?3)=x2?2x?3，

令x=0，则y=?3，即点B(0,?3)，点C的坐标为(1,?4)；

(2)设对称轴交直线AB与点H，

把点B、A坐标代入一次函数表达式：y=kx?3得：0=3k?3，解得：k=1，

则直线BA的表达式为：y=x?3，则点H(1,?2)，

S△ABC=1

2CH×OA=1

2

×2×3=3；

(3)会，理由：

①当点D在对称轴左侧时，

如图所示，过点D分别作x、y轴的垂线于点N、M，设点P坐标为(m,0)，

∵∠DPN+∠OPB=90°，∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠DPN，

∠DNP=∠BOP=90°，PB=PD，∴△DNP≌△POB(AAS)，

∴DM=OB=3，DN=OP=?m，即点D的坐标(?3,?m)

将点D坐标代入二次函数表达式解得：m=?12，

即点P坐标为(?12,0)，

②当点D在对称轴右侧时，

同理当点P坐标为(?5,0)．

【解析】(1)抛物线对称轴为x=1，点A(3,0)，则抛物线与x轴另外一个交点为(?1,0)，即可求解；

CH×OA即可求解；

(2)利用S△ABC=1

2

(3)会，理由：分①当点D在对称轴左侧时、②当点D在对称轴右侧时，两种情况求解即可．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数等知识，题目难度不大，但要弄清题意，避免遗漏．