第4章 拉氏变换
第4章 拉氏变换作业参考答案
第四章 习题解4-1 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。
（1）ate --1（2）()()t t 5cos 73sin 2+ （3）tet 3-（4）()t et5cos 4-（5）()[]tb e at --cos 1（6）()tett 22531-++（7）5232++t t （8）()te t 732--δ（9）()t Ω2cos （10）t t e e βα--- （11）()t et5cos 22-（12）()ϕω+t cos解：（1）)(111]1[a s s a s s e L at +=+-=-- （2）()()2579657323]5cos 73sin 2[222222+++=+++⨯=+s s s s s s t t L （3）23)3(1][+=-s et L t（4）())](21[)](21[]5cos [)54()54(45544t j t j t t j t j t te e e jL e e e j L t eL --+-----+=+= 25)4(5)541541(212++=+++-+=s j s j s j （5）()[]()]cos []cos 1[at e e L e at L t b t b tb ----=-22)(1ab s a b s ++++=（6）由于1!][+=n ns n t L ,由s 域频移特性得()]53[]531[222222t t t t e t te e L e t t L ----++=++ 3232)2(207)2(10)2(3)2(1+++=+++++=s s s s s s （7）32232526526]523[ss s s s s t t L ++=++=++ （8）()732]32[7+-=--s et L tδ（9）()()22242121]2cos 2121[]cos [Ω+⋅+=Ω+=Ωs ss t L t L （10）))((11][βααββαβα++-=+-+=---s s s s e eL t t（11）在（9）的计算结果基础上由s 域频移特性得()25)2(221)2(21]5cos [222+++⋅++=-s s s t e L t （12）()]sin sin cos cos []cos [ϕωϕωϕωt t L t L -=+222222s i n c o s s i n c o s ωϕωϕωϕωωϕ+-=+-+=s s s s s4-7 求下列函数的拉普拉斯反变换。
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
【实用】拉普拉斯变换PPT文档
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收
敛。 2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激
函数。 3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微
分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。 4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元件模型。 6.深入理解系统函数的定义及物理意义。 7.熟练掌握系统零极点分布与其时域特征的关系。
一、拉普拉斯的产生和发展
Laplace 2h(t)绝对可积，极限为0 Transform）。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
拉本氏章变 重换点与在十傅于氏，九变以换拉的氏世关变系换纪；为工末具对系，统进英行复国频域分工析。程师亥维赛德(O.Heaviside,
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力 Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严密的数学定义。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
H(s)极点都在s域左半平面
用
便
受到一
定
的
限制，
其
次
，求取
傅
里叶反变换 留数定理法（含留数和定理）
拉氏变换收敛域的定义
有
时
也是比
较
困
难的，
此
处
尤其
要
指
出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 3.
线性、原函数积分、原函数微分、域的定义 3.
信号与系统_哈尔滨工业大学_4 第四章拉氏变换与S域分析_16 416双边拉氏变换
第4章拉氏变换与s域分析双边拉氏变换十一、双边拉氏变换1．双边拉氏变换定义单边拉氏变换：①实际信号常从t =0开始；⎰∞-0)(dt e t f st ②通常在t >0时为衰减指数函数，在t <0时往往增长，可能使积分发散，故引入t e σ-t e σ-()()1()()2st Bj st B j F s f t e dt f t F s e ds j σσπ+∞--∞+∞-∞⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰定义：双边拉氏变换：有些函数当σ在某个范围内取值时，存在()stf t e dt +∞--∞⎰优点：考虑-∞< t <∞；与傅立叶变换关系密切缺点：收敛域方面须考虑一些限制，求解麻烦2. 双边拉氏变换的收敛域)()()()()(21t u t f t u t f t f -+=01201200()()()()()st stB st st F s f t e dt f t e dt f t e dt f t e dt +∞---∞+∞+∞-=+=+-⎰⎰⎰⎰)(1t f ()u t -()u t 2()f t ()f t t 011lim ()0t t f t e σσσ-→∞→⇒>22lim ()0t t f t e σσσ-→-∞→⇒<()B F s 21σσσ<<的收敛域一般形式为：2121σσσσσ<<⇒<若⇒≥21σσ若无公共收敛区必须标出收敛域极点为收敛边界2σ1σ⨯⊗()u t -对应()u t 对应⊗⊗⨯⨯σj ω[例]：求下列信号的双边拉氏变换)()(t u e t f at -=①00()11()at st a s t B F s e e dt e a sa s ---∞-∞=⋅==--⎰()a σ<极点a 位于收敛域右边11() (-33)33B F s s sσ=+<<+-3()tf t e -=②333()()()t t tf t e e u t e u t --==+-3. 双边拉氏变换的逆变换即分情况讨论换求相应收敛区域的逆变划分可能的收敛区域先求出极点分布 (3)(2)(1)⎪⎭⎪⎬⎫步骤：＊已知拉氏变换（未给收敛域）求逆变换根据极点分布，划分可能的收敛区域：右边信号极点在σ1的左边；左边信号极点在σ2的右边21(),(1)B s F s s s -=-[例]：求可能的逆变换111)(-+=s s s F B )()1()(t u e t f t+=1>σ，对应右边0, 1s s ==极点，收敛域可能有三种解：⨯σj ω⨯01ss s s s F B --=-+=111111)(()()()t f t u t e u t =--10<<σ，对应双边: 0－右边；1－左边⨯⨯01σj ωss s F B ----=1101)(()(1)()t f t e u t =-+-0<σ，对应左边⨯⨯01σj ω4. 利用双边拉氏变换求解电路（可求出-∞<t <∞全响应）[例]：求()c v t ()(), () (0)E e t Eu t E s s σ=-=-<111() ()11sC RC H s RC R s sC RC σ==>-++解：12-+E R +_o)(t v c οC ο11()()() (0)110c E E E RC V s E s H s σs s RCs s RC RC =⋅=-⋅=+-<<-++)()()(t u Ee t Eu t v RC t c -+-=总结双边拉氏变换：定义、收敛域、逆变换。
拉氏变换
本章重点
• • • • 1、Laplace 变换的定义和基本性质； 变换的定义和基本性质； 2、Laplace 变换应用于线性系统分析； 变换应用于线性系统分析； 3、系统函数 （S）的概念； 系统函数H（ ）的概念； 系统函数 4、H（S）的零极点与频率特性以及系统的 （ ） 稳定性之关系。 稳定性之关系。
∞ 1 f (t) ↔∫ F(x)dx s t
例： 1 f (t) = sin t ,求 (s) ω ) 1 F 。 sin(ωot ) ⇔ 1
t
ω0 2 s2 +ω0
解：
1 sin t ⇔ 2 s +1
∞ sin t 1 1 ⇔∫ 2 dx = arctg s x +1 t s
2 f2 (t) = ∫ ）
− sT
f s(t) = ∑ f(nT)δ(t − nT)
0
∞
F (s) = F1 (s) + F1 (s)e
= F1 ( s )(1 + e
+ F1 (s)e
− 2 sT
−2 sT
ห้องสมุดไป่ตู้+ ⋅⋅⋅
F (s) = ∑ f (nT)e−nsT s
n=0
∞
− sT
+e
+ ⋅⋅⋅ )
4、频移性：f(t) ↔ F(s)，则 、频移性若 ： ， 证明： 证明：
有初值， 若f(t) 有初值，且f(t) ↔ F(s)，则 ，
f (0+ ) = lim sF(s)
s→ ∞
含有冲激A 等时， 当f(t)含有冲激 oδ(t)、Boδ’(t) 等时，有 含有冲激 、
f (0+ ) = lim s[F(s) − A − B ] 0 0
第四章 拉普拉斯变换
F ( s a)
1 s F a a
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s
t
f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0
)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。
第四章拉普拉斯变换
1 1 [tu (t )] [u (t )] 2 s s 2 2 [t u (t )] 3 s
n! [t u (t )] n 1 s
n
[ (t t0 )] (t t0 )e dt e
st 0
[ (t )] (t )e dt e
1 2 1 1 FB (s) s 2 s 1 (s 1)(s 2 )
1
2
f (t )
j
2 1 0
1
e 2t u (t )
e1t u (t )
1
2
0
f (t )
t
j
1 2 0
e 2t u (t )
e dt
e
( s ) t
s
0
1 , ( ) s
（二）阶跃信号 u (t )
[u (t )] e dt
st 0
e
st
（三）tnu(t) (n为正整数) u (t )]
n
0
t st t e dt e s
F ( )
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
t j t
F ( )e j t d
e t得 引入衰减因子
令s j
F ( s)
F1 ( ) [ f (t )e ]e
d t f (t )e
n 1 d f (t ) n n r 1 ( r ) [ n ] s F ( s) s f (0) dt r 0 n
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f (t )
A T
0
T A ( t T )
17
t
拉普拉斯变换的性质
例 10
f (t ) t e
(t 2)
(t 1)
dF ( s ) 1 s 方法一：因为 (t 1) e 用频域微分性质 tf ( t ) ds s 1 s s t (t 1) 2 e 应用频移性质 f ( t )e at F( s a ) s 2 s s 1 e 2 e t t ( t 1 ) e 2 ( s 1) 1 方法二： f (t ) e t e (t 1) (t 1) e t (t ) s 1 1 s ( t 1 ) ( t 1) e 应用时移性质： e 应用频域微分性质： s 1 d 1 s 1 1 s s t e ( t 1 ) ( t 1 ) ( e ) e e 2 ds s 1 ( s 1) s 1
终值 定理
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 ( s).F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s) 2j
12
f1 (t ). f 2 (t )
拉普拉斯变换的性质
例 1 余弦函数 f (t)=cost· (t)
1 j t 应用线性性质: cos t (e e j t ) 2 1 1 1 s cos t ( t ) 2 2 s j s j s 2
应用频域微分性质
1 (t ) t(t)，因为： s
2 t (t ) 3 s
2
dF ( s ) tf ( t ) ds
1 1 t ( t ) ( ) 2 s s
13
拉普拉斯变换的性质
例 4 指数余弦函数 f (t)= et cost· (t)
s cos t (t ) 2 s 2
t s 0
20
课堂练习 求下列函数的拉普拉斯变换。
4
拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 用 e-t f (t)来保证傅里叶积分收敛
F [e
t
f (t )]
f (t ) e
t j t
e
dt
f (t ) e ( j ) t dt
令 s=+j 称为复频率
— —衰减因子 — —振荡因子
傅里叶变换 s j f ( t )存在于整个区间 t
拉普拉斯变换 s j f (t )为因果信号 f (t ) 0, t 0
傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊 情况; 双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。
7
第四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换
F( s ) 2 s s 1 e 2 ( s 1)
18
拉普拉斯变换的性质
初值定理和终值定理的应用
• 初值定理的应用条件： – F(s)必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将F(s)化 成一个整式与一个真分式F0(s)之和。 – 函数f (t)初值f (0+)应等于f 0(0+)的初值。 • 终值定理的应用条件： – F(s)的极点必须位于S平面的左半平面； – F(s)在s=0处若有极点，也只能有一阶极点。
F( s )
f ( t )e s t dt
称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。 j 1 st f (t ) F ( s ) e ds 2 j j 称为拉普拉斯反变换，也称原函数。
5
拉普拉斯变换
• 单边拉普拉斯变换
对于有始信号， F ( s )
T
st0
F( s )
0
t
A A sT A F ( s ) e ( 1 e sT ) s s s
14
拉普拉斯变换的性质
例 6 任意周期函数
f (t )
f1 (t )
0
T
2T
t
0
T
t
设 f1(t)为周期函数的第一周期，则周期函数可表示为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) f1 (t 2T )
0
f (t ) e s t dt
记
F(s) = L [ f (t)]
积分下线定为0 ，是为了包括 ( t )。
称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。
f ( t )拉氏变换存在的充分条件：f ( t )在t 0时分段连续， 且满足下式
0
f ( t )e t dt
(5s 9s 5) F ( s) 1 3 2 s 6s 11s 6
2
(5s 2 9 s 5) f (0 ) lim f (t ) lim s 3 5 2 t 0 s s 6 s 11s 6
f () lim f (t ) lim s F ( s ) 0
t
应用频移性质:
f ( t )e
at
F( s a )
s e cos t ( t ) ( s )2 2
例 5 门函数（矩形波） f (t)=A[(t)- (t-T)]
f (t )
A
应用时移性质:
f ( t t0 ) ( t t0 ) e
f (t )e
F ( s a)
11
拉普拉斯变换的性质
尺度变换
初值定理
f (at )
t 0
1 s F a a
s
lim f ( t ) f ( 0 ) lim sF( s )
lim f ( t ) f ( ) lim sF( s )
t s 0
s
d 1 1 1 sT sT sT (1 e ) 2 (1 e ) T e ds s s s
f (t )
0
T
A/T sT F( s ) ( 1 e s2
t A sT ) e s
方法二：用时域微分性质： df ( t ) SF( s ) f ( 0 )
F1 ( s ) ] 1 e sT
15
拉普拉斯变换的性质
例 7 周期矩形波 f 1(t)= (t)- (t-1)，T=3
1 es F1 ( s ) , s
f (t )
1
因为
F1 ( s ) F( s ) 1 e sT
1 2 3 4
1 e s 1 1 e s F( s ) 3 s s 1 e s ( 1 e 3 s )
0
t
例 8 冲激串
f (t )
(1 )
f 1(t)=(t)
t
F1 ( s ) 1,
0
T
2T
1 F( s ) 1 e sT
16
拉普拉斯变换的性质
例 9 锯齿波
A f ( t ) t [ ( t ) ( t T )] T
A
方法一：用频域微分性质： tf ( t ) dF ( s ) ds 1 (t ) (t T ) (1 e sT )
若 f1(t)F1(s), 应用时移性质:
f ( t t0 ) ( t t0 ) e st0 F( s )
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s ) e sT F1 ( s ) e 2 sT F1 ( s ) [ 1 e
sT
e
2 sT
由于在S平面的j轴上有一对共轭极点，故 f (t)不存在终值。
19
拉普拉斯变换的性质
例 12 求下列各象函数反变换的初值与终值。
s 3 s 2 2s 1 s 3 s 2 2s 1 F (s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 1)( s 2)( s 3)
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法
8
常用函数的拉普拉斯变换
三个基本函数的拉普拉斯变换 • 指数函数 f (t)=es t(t) s0为复常数。
0
F (s) e e
0
s0 t
s0 t s t
dt e
0
( s s0 ) t
1 dt s s0
s0 t
1 令上例中s0=0。则 ( t ) s
•
单位冲激函数 (t)
F (s)
0
(t )e s t dt 1
(t )1
10
拉普拉斯变换的性质
线性 微分
k f (t )
i 1 i i
n
k .LT[ f (t )]
i 1 i
n
df (t ) dt
sF( s ) f ( 0 )
F ( s ) f ' (0 ) s s dF ( s ) ds
积分
t
f ( )d
tf ( t )
f(t ) t
复频域微 分/积分 时移 频移
at
t
F( s )
f ( t t0 ) ( t t0 )
e st0 F ( s)
信号分析
陈智华
南一楼西303 13797011232 chenzhihua@
1
第四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法