2020年浙江高三数学总复习：基本不等式 复习讲义

第三节 基本不等式

(对应学生用书第50页)

一、基本不等式 基本不等式2

a b +

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.

(3)其中2

a b

+称为正数a,b 的算术平均数,a,b 的几何平均

数.

1.概念理解

(1)基本不等式成立的条件是a,b 都是正数,在解题时,如果a,b 为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题. (2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.

2.与之相关联的结论 几个常用的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R).

(2)ab ≤(2a b +)2

(a,b ∈R). (3)(2

a b +)2≤2

2

2

a b +(a,b ∈R).

(4)b a +a

b

≥2(ab>0).

(5)2

1

1

a b

+2

a b

+≤

(6)a+1a ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+1

a

≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.

二、利用基本不等式求最值问题

1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b 为正实数,且

a+b=M,M 为定值,则ab ≤24

M ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:和定积

最大)

2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b 为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b ≥

等号当且仅当

a=b 时成立.(简记:积定

和最小)

1.理解辨析

利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.

(1)“一正”就是各项必须为正数;

(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值. 2.与基本不等式相关联的结论 用f(x)+

()

b f x ≥或f(x)+

()

b f x ≤求最值时,若使等

号成立的条件不存在,常借助函数y=x+b x (b>0)的图象和单调性求式子的最值.

1.已知a,b ∈R,a,b ≠0,则“a>0,b>0”是“

2

a b +≥( C )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:当a>0,b>0时,显然

2a b +.

当

2

a b +,有两个结论出现:

0,

0,

a b ab ?+≥??

≥?? 所以a>0,b>0. 故选C.

2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4

b

的最小值是( C ) (A)72 (B)4 (C)92

(D)5 解析:依题意,得1a +4b =12(1a +4b )·(a+b)= 12[5+(b a

+4a b )]≥12

92

,

当且仅当2,4,

0,0,

a b b a

a b a b +=???=???>>?

即a=23,b=43时取等号,即1a +4b 的最小值是9

2

.故选C. 3.若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 解析:因为x 2+2y 2≥

当且仅当x 2=2y 2时取“=”, 所以x 2+2y 2的最小值为

答案

4.已知a,b 为正数且a+b=1,则(1+1a )(1+1b

)的最小值为 . 解析:因为a+b=1,

所以原式=(1+a b a +)(1+a b b +) =(2+b a )(2+a b ) =5+2(b a +a b

)≥9, 当且仅当a=b=12时取等号, 所以最小值为9. 答案

:9

(对应学生用书第50～52页)

考点一 利用基本不等式求最值

【例1】 (1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y+1x

+1

y =5,则x+y 的最大值是( )

(A)3 (B)72 (C)4 (D)92

(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a 2+ab,则2a+b 的最小值为 ;

(3)已知正实数a,b 满足1a +2b

=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ;

(4)已知实数x,y>0,且xy=2,则

33

22848

x y x y +++的最小值是 .

解析:(1)由x+y+1x

+1y =5, 得5=x+y+x y

xy +,

因为x>0,y>0, 所以5≥x+y+

2()2

x y

x y ++=x+y+4

x y

+, 所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y ≤4,

所以x+y 的最大值是4.故选C. (2)由a>0,b>0,3a+b=a 2+ab,

可得b=2

31a a

a

-->0, 解得1

2a+b=2a+231a a

a --=a-1+21

a -+3 ≥

当且仅当a-1=21a -, 即

时取等号.

故2a+b 的最小值为

(3)因为a>0,b>0, 所以3 =1a

+2b

≥

ab ≥89

.

当且仅当12,123,a b a b ?=????+=??即2,3

43a b ?

=???

?=??时等号成立, 所以ab 的最小值是89,又1a +2b

=2b a

ab +=3, 所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89

+2=509. (4)因为x,y>0,且xy=2,所以

3322848x y x y +++=2222(2)(24)

44x y x xy y x y xy +-+++

=22(2)[(2)6]

(2)x y x y xy x y ++-+ =2(2)2x y x y

++

=(x+2y)-12

2x y

+, 令x+2y=t,则t=x+2y ≥

f(t)=t-12t

在[4,+∞)上单调递增, 所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号. 答案:(1)C

(3)509

(4)1 (1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或

乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.

(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等

.

1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b 满足1a +1b

=1,则11a -+9

1b -的最小值为( B )

(A)1 (B)6 (C)9 (D)16

解析:因为正数a,b 满足1a +1b

=1, 所以b=1

a a ->0,解得a>1,同理b>1, 所以11a -+91

b -=11

a -+911

a

a --=11a -+9(a-1)≥

=6,

当且仅当11a -=9(a-1), 即a=43

时等号成立, 所以11a -+91

b -的最小值为6.故选B. 2.已知log 2(x+y)=log 2x+log 2 y,则1x

+1y = ,x+2y 的最小值为 .

解析:由log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得, x+y=xy 且x>0,y>0,

所以1x

+1y =1. x+2y=(x+2y)(1x + 1y ) =3+x y +2y x

≥

当且仅当x y =2y

x

,

即

. 答案:1

考点二 利用基本不等式证明不等式 【例2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.

求证:1a +1b

+1

c

≥9. 证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 所以

1a

+1b +1c =a b c a +++a b c b +++a b c c ++=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+(b a +a b )+(c a +a c

)+(c b +b c

)≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=13

时,取等号.

利用基本不等式证明不等式的策略

(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;

(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换; (3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.

1.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a +1b +1ab ≥8. 证明:1a +1b +1ab =2(1a +1b

), 因为a+b=1,a>0,b>0.

所以1a +1b =a b a ++a b b +=2+a b +b

a

≥2+2=4. 所以1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a=b=12

时等号成立).

2.已知a>0,b>0,a+b=1,证明 2.

证明:因为a>0,b>0,且a+b=1,

≤

1122a +

++1

122

b ++=32a b ++=4

2=2.

当且仅当a+12=1,b+1

2

=1, 即a=b=12

时等号成立. 考点三 基本不等式的综合应用

【例3】 运货卡车以每小时x(50≤x ≤100)千米的速度匀速行驶130

千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360

x )升,司机

的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;

(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解:(1)设所用时间为t=130x (小时), y=130

x

×2×(2+2

360

x )+14×130x

,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=2340x +13

18x,x ∈[50,100]. (2)y=2340

x +1318x=13018x ?+2130360?x ≥,

当且仅当13018x ?=2130360?x,

即

时,等号成立.

故当

千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为

元.

有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;

(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;

(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.

1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).

(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;

(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平

)

均购地费用=购地总费用

建筑总面积

解:(1) 依题意得

y=(560+48x)+216010000

2000x

=560+48x+10800

(x≥10,x∈N*).

x

(2)因为x>0,

所以48x+10800

x

≥当且仅当48x=10800x

,即x=15时取到“=”, 此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).

故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.

2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-21k t +(k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).

(1)将该厂家这一年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数;

(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?

解:(1)由题意有1=4-1k ,得k=3,故x=4-321t +. 故y=1.5×612x x +·x-(6+12x)-t

=3+6x-t =3+6(4-321t +)-t =27-1821

t +-t(t ≥0). (2)由(1)知,y=27-1821

t +-t=27.5-[912

t +

+(t+1

2

)].

91

2

t +

+(t+1

2

)≥2故y=27-1821t +-t=27.5-[912

t +

+(t+1

2

)]≤27.5-6=21.5. 当且仅当

912

t +

=t+1

2

,即t=2.5时,等号成立,y 有最大值21.5. 所以,该厂家这一年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润为21.5万元. 考点四 易错辨析

【例4】 已知x<54

,求函数y=4x-2+1

45x -的最大值. 解:因为x<54,所以5-4x>0. y=4x-2+145x - =-(5-4x+154x -)+3

≤当且仅当5-4x=154x -,

即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y max =1.

运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可

以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+b x (ab>0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.

1.(2017·天津卷)若a,b ∈R,ab>0,则4441

a b ab ++的最小值

为 .

解析:因为a,b ∈R,ab>0,

所以4441a b ab ++≥2241a b ab +=4ab+1

ab

≥

=4,

当且仅当222,

14,a b ab ab ?=??=?

?

即2

2a b ?=???

???

时取得等号. 故4441

a b ab ++的最小值为

4.

答案:4 2.设常数a>0,若

9x+2

a x

≥a+1对一切正实数x 成立,求a 的取值范围.

解:常数a>0,若9x+2

a x ≥a+1对一切正实数x 成立,故(9x+2

a x )min ≥a+1, 又

9x+2

a x

≥6a,当且仅当

9x=2

a x

,即x=3

a 时,等号成立. 故6a ≥a+1,解得a ≥15. 即a 的取值范围为[15

,+∞

).

(对应学生用书第53页)

类型一 利用基本不等式比较大小

1.设0

2a b

+

2a b +

2

a b +

2

a b +

解析:因0

又因a+b<2b,所以2

a b

+

2

a b

+,

所以

2

a b +

类型二 利用基本不等式求最值

2.(2018·金华模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m 2-2m>0恒成立,则实数m 的取值范围是( B )

(A)[-4,2) (B)(-4,2) (C)(-3,3) (D)[-3,3]

解析:由x>0,y>0,x+2y=xy 变形得,2x

+ 1

y =1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4y x +x y +4≥4+4=8,当且仅当4y x =x y ,即x=2y 时等号成立,又2x

+1y =1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y 取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m 2-2m>0恒成立,得(x+2y)min >m 2+2m,从而8>m 2+2m,解得-4

3.(2018·杭州质检)已知正数x,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是 . 解析:由题意得y=2

32x x

-,

所以

2x+y=2x+2

32x x -=2332x x +=32

(x+1x

)≥3, 当且仅当x=y=1时,等号成立. 答案:3

4.函数f(x)=lg 2x x -,若f(a)+f(b)=0,则3a +1

b

的最小值为 .

解析:依题意得0

且lg (2a a -·2b b

-)=0, 即ab=(2-a)(2-b),2a b +=1, 3

a

+1b =2a b +(3a +1b )=12(4+3b a +a b )≥12

,当且仅当

3b

a =a

b ,即

-1时取等号,因此3a +1

b 的最小值是答案

5.若a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m

a b

+恒成立,则m 的最大值为 .

解析:因为a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m a b +恒成立, 所以m ≤[(a+3b)( 3a +1b )]min .

因为(a+3b)(3a +1b

)=6+9b a +a b ≥=12,

当且仅当a=3b 时取等号, 所以m 的最大值为12. 答案:12

类型三 基本不等式的综合应用

6.(2018·天津卷)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b

的最小值

为 .

解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6, 所以2a +1

8b

=2a +2-3b ≥×2-3=14

, 当且仅当3,

360

a b a b =-??

-+=?时等号成立,

即3,1

a b =-??

=?时取到等号. 答案:14

7.规定一种运算:a ?

为正实数).若1?k=3,则k 的值

为 ,此时函数

的最小值为 .

解析:1?

+1+k=3,即-2=0,

=1=-2(舍去),

所以k=1,

≥1+2=3,

当且仅当x=1时取“=”. 答案:1 3

8.已知a>0,b>0,设M=max(a,b a +9

ab

),则M 的最小值为 . 解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=9b b

a

+的图象(图略),

可得

M=09,,,

b b a a a a ?

+????>??0

9

b b

a +图象的交点横坐标,

即20

a =b+9

b ≥6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M 的最小值为a 0,

而a 0

所以M

答案