2018中考---几何最值问题规律总结

你会“几何中的最值问题”吗？

一、几何中最值问题包括：①“面积最值”②“线段（和、差）最值”.

（1）求面积的最值

方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；

（2）求线段及线段和、差的最值

方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.

一般处理方法：

常用定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点时）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

三角形三边关系

二、精讲精练

1.

PA+PB最小，

需转化，使点在线异侧

B l

2. 如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，

3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ， 若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .

4. 如图，在菱形ABCD 中，

AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为 线段BC 、

CD 、BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 .

5. 如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．

6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的

正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .

7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，

CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB 的最大值等于 ．

第5题图 第6题图 第7题图

8. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，

PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．

N

O

Q

P E

D C

B

A Q

P

K

C

B A

A

B

C D P M N

A

B C

E

F

M

9. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边

△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．

10. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运

动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________．

第9题图 第10题图

11. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB=AC =4，M 、N 两点分别是边

AB 、AC 上的动点，将△AMN 沿MN 翻折，A 点的对应 点为A ′，连接BA ′，则BA ′的最小值是_________．

几何中的最值问题（作业）

1． 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =90°，AB =6，对角线AC 平分∠BAD ，点E

在AB 上，且AE =2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋PB 的最小值是

__________．

第1题图 第2题图 第3题图

2． 在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点

P 为对角线AC 上一动点，

连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________cm （结果不取近似值）. 3． 如图，在锐角△ABC 中，AB ∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点

M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为___________．

A B

C

D

P A'

N

M

C

B A C

D

Q

P

B

A

P

E D C B

A

N

M

A B

D

C

4． 圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母

线BC 上一点，且PC= 4cm ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是 。

5． 圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母

线BC 上一点，且PC= 4cm ．一只蚂蚁从圆柱外面的A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点圆柱内侧的P 的最短距离是 ．

6． 一次函数y 1=kx -2与反比例函数y 2=

m x

（m <0）的图象交于A ，B 两

点，其中点A 的坐标为（-6，2）

（1）求m ，k 的值；

（2）点P 为y 轴上的一个动点，当点P 在什么位置时|P A -PB | 的值最大？并求出最大值.

7． 已知点A （3，4），点B 为直线x =-1上的动点，设B （-1，y ）．

（1）如图1，若点C （x ，0）且-1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）如图2，当点B 的坐标为（-1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF =1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．

图1 图2

y

x

O B

A

B (-1,1)

D O E

F

A

y

x

x=-1

x

y

O C

B D A

【精讲精练参考答案】

1. 15 2．6 3．4 5．74 6．（7

3

，0） 7．5

8．3 9．

125

10．5

12．2

13．(1)84-≤≤PD ；(2) 8

14. 4

【作业参考答案】

1．

2．1

3．

4

a 4．4 5．2

6．2+

7．（1）2

12,3

=-=-m k ；（2）当点P 的坐标为（0，-10）时，|P A -PB |的最大值为；

8．（1）213424+=-+x y x ；（2）2

(,0)5-E ．

9.（1）72；（2）54；（3）55

,23

==-m n