一元二次不等式的解法

个性化教案

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课题：

学员姓名：授课老师：教学

目标

掌握一元二次不等式，高次不等式和分式不等式的解法。

教学难点

正确理解二次方程、二次不等式和二次函数三者的关系，通过二次函数函数图象研究对应不等式解集的方法。

教学内容复习引入：

1.画出一次函数7

2-

=x

y的图象，并从图像上观察得到：

（1）当x为何值时，y=0？ (2)当x为何值时，y>0？

(3)当x为何值时，y<0？

从该题中引出以下三者之间的密切联系

2.画出二次函数6

2-

-

=x

x

y的图像，函数图像与x 轴的位置关系，并从图像上观察得到：

（1）当x为何值时，y=0？(2)当x为何值时，y>0？

(3)当x为何值时，y<0？

方程的根不等式的解集

函数的零

若一般形式二次函数：)0(2>++=a c bx ax y 对应不等式又如何求解呢？

0>?

0=?

0

二次函数

c

bx ax y ++=2（0>a ）的图象

c

bx ax y ++=2

c

bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2>=++a c bx ax

有两相异实根

)(,2121x x x x <

有两相等实根

a b x x 221-

==

无实根

的解集)0(0

2>>++a c bx ax {}2

1

x x x x x ><或

?

?????-≠a b x x 2

R

的解集)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

? ?

思考：不等式0)4)(2(>--x x 的解集是

；

如果二次项系数为负数时，先做等价转化，把二次项系数化为正数，再利用函数图象求解。

归纳：解一元二次不等式的基本步骤：

（1）化为一般式：，且二次项系数化为正数；（整理化正）

（2）判断对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（判断求根） （3）根据对应的二次函数的大致图象以及不等号的方向，写出不等式的解集；（大于取两边，小于取中间） （若a

b ，则0))((>--b x a x <==>

，0))((<--b x a x <==>

）

例：利用数形结合思想写出下列不等式的解集：

1）02632

<+-x x 2）01442

>+-x x 3）0322

>-+-x x

题型归纳:

题型一.解一元二次不等式

1.解下列不等式

（1）0

2

3

22>

-

-x

x（2）0

2

62≥

+

-

-x

x（3）0

7

4

22<

+

-x

x（4）0

9

6

2>

+

-x

x

2.已知不等式0

2>

+

+c

bx

ax的解集为（2,3），求不等式0

2<

+

+a

bx

cx的解集

题型二.解高次不等式（方法：穿针引线法）

穿针引线法第一步：

通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证最高次数项的系数为正数）例如：将x3-2x2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

穿针引线法第二步：

将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

穿针引线法第三步：

在数轴上从左到右按照大小依次标出各根。例如：-1 1 2

穿针引线法第四步：

画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根，满足奇穿偶不穿。（奇穿偶不穿：即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照两个数字穿。如（x-1)2=0 两个解都是1 ，那么穿的时候不要透过1）

穿针引线法第五步：

观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。

例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。 可以简单记为秘籍口诀：或“自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”。

例：用穿针引线法求下列不等式的解集

（1）0)6)(4(22≤--x x （2）0)2()1()1(3

2≥++-x x x x （3）x （x 2

-12）-4x ＜0

（4）(x+4)2(x-4)2(x+3)＜0 （5）(x+1)4(x-3)3(x 2-3)＜0 （6）(x-1) (x-2)3(x 2

-1)≥0

题型三.解分式不等式

方法：

0>--b x a

x ?0))((>--b x a x 0<--b

x a

x ?0))((<--b x a x 注意：若是

的分式不等式，分母的式子不能为零！

例：解下列不等式

（1）012<-+x x ； （2）22

1

≤-+x x ； （3）1273142

2<+-+-x x x x

（4） （5） （6）

(7)

(8)

(9)

【课后练习】 1.完成下列表格

判别式 △=ac b 42

- △>0

△=0

△<0

二次函数

)

0(2>++=a c bx ax y 的图象

一元二次方程)

0(02>=++a c bx ax 的根

)

0(02>>++a c bx ax 的解集

)

0(02>>++a c bx ax 的解集

2.求下列不等式的解集

（1）x+2＞x 2

（2）4x 2+4x ＜-1 （3）(x 2-16)2(x 2

+2x+1)＞0

（4） （5） 6）

（7）（8）（9）

（10）(x+2) (x-2)3(x2-4)≥0（11）x2-9≤9x2-6x+1 （12） x2+9≥6x

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