线性二次型的最优控制
线性二次型最优控制应用举例与仿真
线性二次型最优控制一、最优控制概述最优控制,又称无穷维最优化或动态最优化,是现代控制理论的最基本,最核心的部分。
它所研究的中心问题是:如何根据受控系统的动态特性,去选择控制规律,才能使得系统按照一定的技术要求进行运转,并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。
最优控制问题有四个关键点:受控对象为动态系统;初始与终端条件(时间和状态);性能指标以及容许控制。
一个典型的最优控制问题描述如下:被控系统的状态方程和初始条件给定,同时给定目标函数。
然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态,并达到最优的性能指标。
系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。
因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题,属于变分学范畴。
变分法、最大值原理(最小值原理)和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。
庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具,应用于大部分最优控制问题。
尤其是线性二次型最优控制,因为其在数学上和工程上实现简单,故其有很大的工程实用价值。
二、线性二次型最优控制2.1 线性二次型问题概述线性二次型最优控制问题,也叫LQ 问题。
它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。
线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式,便于计算和工程实现。
它能兼顾系统性能指标的多方面因素。
例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。
2.2 线性二次型问题的提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下:()()()()()()()()X t A t X t B t U t Y t C t X t ⎧=+⎨=⎩ (2.1))(t X 是n 维状态变量,)(t U 是m 维控制变量,)(t Y 是l 维输出变量,)(t A 是n n ⨯时变矩阵,)(t B 是m n ⨯时变矩阵。
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题:受外部动态扰动时,保持x(t)回到零平衡态; 有限时间: t f 为有限值; LQ问题:二次型性能指标。 定理:系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F,G,H,T满足一定条件时,可作为原系统 的观测器。
结论1: x 0 , z 0 , u 任意,上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是:
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t,t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵,用λ(t0)表示待定的 协态变量初值,则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题,选取不同的F、Q、 R,则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计(控制器综合)中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵,yr(t) = 0,即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0,即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0, e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出,即e(t)为数量函数时, e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率(积分后即为能量)大小的
代价函数,若u(t)表示电流或电压时,则u2(t)正比于电功率;
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12)式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
lqr控制器原理
lqr控制器原理
LQR(线性二次型调节器)是一种基于状态反馈的最优控制策略,其原理主要包括以下步骤:
1. 确定状态方程模型:首先需要确定一个描述系统状态的动力学模型,通常以状态空间的形式给出。
2. 线性化处理:对状态方程进行线性化处理,将其转化为线性系统模型。
3. 定义目标函数:目标函数通常是系统状态和控制输入的二次型函数,用于评估控制性能的好坏。
4. 优化目标函数:通过设计状态反馈控制器,使得目标函数取最小值。
这意味着需要找到一个状态反馈控制律,使得系统的状态轨迹能够跟踪参考信号,同时控制输入的二次型能量最小。
5. 求解最优控制律:通过求解优化问题,可以得到最优控制律,即状态反馈控制器的增益。
这个增益可以用来调节系统的状态,以达到最优控制的目的。
6. 控制系统实现:将得到的增益值代入到实际控制系统中,通过闭环控制的方式对系统进行调节,以实现最优控制。
LQR控制器的优点包括:
1. 易于实现:LQR控制器通过线性二次型目标函数进行优化,其解具有封闭形式的解析解,易于计算和实现。
2. 鲁棒性好:LQR控制器对系统参数的变化和扰动具有较强的鲁棒性,能够在不确定环境下实现较好的控制效果。
3. 稳定性高:LQR控制器能够保证系统的状态轨迹收敛到平衡点,具有较好的稳定性和收敛性。
4. 可扩展性:LQR控制器可以与其他先进控制策略相结合,如模糊逻辑、神经网络等,以实现更复杂的控制任务。
总之,LQR控制器是一种有效的最优控制策略,广泛应用于各种线性系统的控制中。
通过合理地选择权矩阵Q和R,可以适应不同的控制要求和系统特性,实现最优控制。
第七章 线性二次型最优控制
控制器设计,使得 √闭环系统是稳定的; √闭环系统具有给定的极点,保证一定的动、 稳态性能 不足: 没有考虑控制能量的问题; 极点配置对模型的要求高。 思路: 同时考虑系统性能和控制能量:积分性能指标
7.1 二次型最优控制系统 状态空间模型: 系统性能指标: Q和R为加权矩阵,由设计者选定。 目的:要求设计一个控制器u,使得性能指标J 尽可能小 √二次型最优控制问题; √最优控制器。 特别的,考虑状态反馈形式的最优控制器: √如何来确定最优状态反馈控制器? √最优闭环系统的稳定性?
3。最优状态反馈控制律的增益矩阵:
最优闭环系统:
显然,它是渐近稳定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最优闭环系统: 利用黎卡提方程的对称正定解矩阵P构造 沿闭环系统轨线,
因此,最优闭环系统是渐近稳定的。 一种新的稳定化控制器设计方法!
例 考虑一阶系统: 二次型性能指标: 求系统的状态反馈最优控制律。 解 模型参数 ,加权矩阵 ⇒ 其解: 。由于要求对称正定解,故取 最优状态反馈控制律: 最优闭环系统: 最小值依赖系统的初始状态。
线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤: 线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤 1。验证系统能控性; 2。求解黎卡提方程: 非线性方程组,取对称正定解; 3。由 构造最优反馈控制律。 例 性能指标:
问题:求最优状态反馈控制器
对象的状态方程: 1。系统是能控的。 2。求解黎卡提方程:
化简后,得到
开环系统: 在状态反馈控制律 系统是 下,所导出的闭环
闭环系统应该是渐近稳定的,因此存在李雅普 诺夫函数 其中的P为待定的对称正定矩阵。 沿闭环系统,V关于时间的导数是
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响:
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支,它研究如何在给定约束条件下,使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中,课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案,希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统,其状态方程和性能指标分别为:$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中,$x(t)$为系统的状态向量,$u(t)$为控制输入向量,$A$和$B$为系统矩阵,$Q$和$R$为正定矩阵,$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案:根据最优控制的原理,最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件:$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中,$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程,可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统,其状态方程和性能指标分别为:$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中,$f(x(t), u(t))$为非线性函数,$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
第4章线性二次型最优控制
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω(tf ,tf)=I2n╳2n, 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xT
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uT
(t)R(t)u(t)
+
λT [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3)
因 u(t)不受约束,所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BT
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4)
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用,系数矩阵可不为对角线矩阵,只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数,其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定,即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时,可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大,但此时并不反映系统的控制性能, 可以将 Q(t)取得较小;当 t→ tf、e(t)减小时,为保证控制系统性能,可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤,对同样的二次型最优控制问题,选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 (4) 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1)~(4-1-3)的情况不同,线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类: I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵,yr(t) = 0,即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0,即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
线性二次型最优控制问题
2023/12/21
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对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
(1) 在线性二次型问题的定义中,并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束,但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上,用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法,同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样,就可以在保持闭环系统线性性质的前提下,实 现对U(t)的限制。
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线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型 性能指标的最优控制问题,它呈现如下重要特性:
性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解 析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式, 便于计算和工程实现。
可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量 消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
dt
这时问题转化为:用不大的控制量,使系统输出Y(t)紧
紧跟随Yr(t)的变化,故称为跟踪问题。
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6.2 有限时间的状态调节器问题
问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件
X (t) AX (t) BU (t)
X
(t0 )
X0
(6.2.1)
其 中 X(t) 是 n 维 状 态 变 量 , U(t) 是 m 维 控 制 变 量 , A 是 nn常数矩阵,B是nm常数矩阵。性能指标是
在理论上,线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题 的基础,有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问 题来处理。
线性二次型最优控制问题,在实践上得到了广泛而 成功的应用。可以说,线性二次型最优控制问题是 现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。
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线性二次型问题的最优控制
若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有: dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此,设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证 加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ,阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计 由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x , 因此, 系统新的状态方程变为:
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈,取控制输入 u = Kx 则有: & = ( A + BK ) x x
线性二次型最优控制问题.ppt
上式所示的性能指标中加权矩阵S,Q(t)和R(t)
(1)加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系,将直接影 响系统的工作品质。例如,提高S阵中某一元素的比重,说明 更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性;提高Q(t) 阵中某一元素的比重,说明希望与之对应的状态分量具有较 好的快速响应特性;而提高R(t)阵中某一元素的比重,意味着 需要更有效地抑制与之相应的控制分量的幅值及由它引起的 能量消耗。这只是大致趋势,实际情况十分复杂。因此,如 何安排各加权阵的各个元素之间的关系,乃是一件十分重要 而又十分困难的工作 。
J
1 2
eT
(t f
)Se(t f
)
1 2
tf t0
[eT (t)Q(t)e(t) U T (t)R(t)U (t)]dt
(6.1.2)
2019年8月3
3
为最小,这就是线性二次型最优控制问题。其中S是ll半正定
对称常数矩阵,Q(t)是ll半正定对称时变矩阵,R(t)是mm正 定对称时变矩阵,终端时间tf是固定的,终端状态X(tf)自由。
但是,由于协态变量在实际系统中是不存在的,自然也无法 检测到。因此式(6.2.3)的最优调节作用在工程上是难以实 现的。为了便于在工程上实现,需将调节作用U(t)表示成系 统状态变量X(t)的函数。令:
(t) P(t)X (t)
其中P(t)是nn待定的时变矩阵。对上式两边求导数,得
(t) P(t)X (t) P(t)X (t)
2019年8月3
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(2)在这些不同目标之间,往往存在着一定矛盾。例如,为 能尽快消除误差并提高终端准确性,就需较强的控制作用及 较大的能量消耗;而抑制控制作用的幅值和降低能耗,必然 会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的 因素进行合理折衷,是系统设计者必须认真对待的课题。
线性二次型最优控制问题
线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性,所取性能指标为状态变量与控制变 量的二次型函数,称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法 设线性时变系统的状态方程为:x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束 ,用yr(t)表示期望输出,则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ,使下列二次型性能指标极小。
1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求,是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距 离加权平方和. 整个性能指标物理意义: 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗,以及控制结束时的系统 终端跟踪误差综合最优。
线性系统二次型最优控制律
线性系统二次型最优控制律线性系统二次型最优控制定义使用二次型性能指标的线性系统最优控制。
它可得到状态线性反馈的最优控制规律,便于实现闭环最优控制,是应用广泛的最优控制方式。
性能指标线性系统状态方程及输出方程为x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)y(t)=C(t)x(t) (2)式中x(t)为n维状态向量;u(t)为p维控制向量;y(t)为q维输出向量。
设z(t)为理想输出向量,与y(t)同维数,并定义e(t)=z(t)-y(t) (3)误差向量。
线性二次型最优控制问题的性能指标这里,权函数F、Q(t)为正半定矩阵,R(t)为正定矩阵。
假设tf固定。
要求寻找最优控制u*(t),使性能指标J为最小。
被积函数的第一项表明误差e(t)的大小,是非负的。
其第二项表明控制功率的大小,对应于u≠0它恒为正。
因此,对u(t)往往不需再加约束,而常设u(t)为自由的。
性能指标的第一项则表示终值误差。
状态调节器问题系统状态方程如式 (1)所示,u(t)不受约束,tf固定,性能指标为寻找最优控制u*(t),使性能指标J为最小。
用极小值原理或动态规划法,可得下列矩阵黎卡提微分方程(一阶非线性微分方程)P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6) 其边界条件为P(tf)=F (7)由式(6)解出P(t)后,可得最优控制规律为u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x*(t) (8)由式(8)可以看出,最优控制规律是一个状态线性反馈规律,控制向量u*(t)由状态向量x*(t)生成,构成状态反馈,并且呈线性关系。
这样,能方便地实现闭环最优控制,这一点在工程上具有十分重要的意义。
P(t)是一对称矩阵,一般都要由计算机求出方程(6)的数值解。
P(t)是时间函数,即使线性系统是定常的,为了实现最优控制,反馈增益应该是时变的,而不是常值反馈增益。
线性二次型最优控制
✓ R(t)为r×r维时变旳分段连续旳正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定旳。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致旳讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中旳第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目旳旳控制误差旳要求和限制而引进旳,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定旳常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素旳 值旳不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 旳要求不同、主要性不同。 ✓ 若矩阵F旳第i行第i列元素值较大,代表二次项旳主 要性较大,对其精度要求较高。
线性二次型最优控制(9/12)
3) 性能指标泛函J[u(·)]中旳被积函数旳第2项u(t)R(t)u(t),表 达在系统工作过程中对控制向量u(t)旳大小旳要求和限 制。
✓ 因为时变旳加权矩阵R(t)为正定旳,故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正旳。 ❖ 而且u(t)越大,该项函数值越大,其在整个性能指 标泛函所占旳分量就越大。
时变状态调整器(3/3)
因为所讨论旳系统为线性系统,给定旳性能指标泛函对状态 变量x(t)和控制量u(t)均连续可微,所以,状态调整器问题可用 变分法、极大值原理和动态规划措施中旳任一种求解。
➢ 本节采用变分法给出最优控制解存在旳充分必要条件及 最优控制问题解旳体现式,讨论最优控制解旳存在性、 唯一性等性质及解旳计算措施。
➢ 最优轨线为下述状态方程
x *(t) A(t) x*(t) B(t)u*(t), x*(t0 ) x0, t [t0, t f ]
旳解,而最优性能值为
J*
J[u* (t)]
1 2
x0 P(0) x0 , x0
0
式中,P(t)为下述矩阵黎卡提微分方程旳正定或半正定解。
用MATLAB解线性二次型最优控制问题答案课件
通过调整控制变量,可以最小化代价函数,从而找到最优轨迹曲 线。
解的物理意义
物理背景
线性二次型最优控制问题的解具有明确的物理意义,它反映了系统状态的最优演化过程 。
控制策略
解中的控制变量表示在给定时间内系统状态的最优调整策略,使得系统状态按照最优轨 迹演化。
应用价值
解的物理意义有助于理解最优控制问题在实际系统中的应用,例如在航天器轨道优化、 经济系统调控等领域具有重要价值。
lqr函数
用于求解线性二次型最优控制问题,返回最优控制策略和最优性能 指标。
fmincon函数
用于求解带约束的最小化问题,可以用于求解具有状态和控制约束 的线性二次型最优控制问题。
quadprog函数
用于求解带约束的二次型优化问题,可以用于求解具有性能指标约 束的线性二次型最优控制问题。
MATLAB求解线性二次型最优控制问题的示例
结果分析 对求解结果进行分析,包括最优 控制策略、最优性能指标等。
编写MATLAB代码 使用MATLAB编程语言,编写求 解线性二次型最优控制问题的代 码,包括定义变量、设置参数、 编写求解函数等。
运行求解 运行MATLAB代码,调用求解函 数,对线性二次型最优控制问题 进行求解。
MATLAB求解线性二次型最优控制问题的函数
航天器轨道优化实例
在航天领域,线性二次型最优控制问题被广泛应用于航天器 轨道优化中。例如,在卫星轨道的设计和优化中,通过线性 二次型最优控制算法,可以优化卫星的轨道参数,提高卫星 的观测精度和运行效率。
在太空探索任务中,线性二次型最优控制问题同样发挥着重 要的作用,例如火星探测器的着陆轨迹规划和姿态控制等。
表达式的形式
通常是一个多项式或分式,其分 母和分子包含了决策变量和控制 变量的幂次。
线性二次型最优控制
线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。
线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略,用于解决复杂的系统问题。
本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线,全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理,研究了它的实际应用,并介绍了理论与实践的关系。
首先,本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。
实践证明,线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。
线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术,以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。
其次,本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。
实际应用中,线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。
基于该技术,可以构建一类实用性强的系统,以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。
此外,线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制,机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。
最后,本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。
在实践中,要求在有效消耗低的基础上实现有效控制,这要求模型与实践相结合。
只有通过深入理解和求解这种关系,才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。
总之,线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略,极大地促进了复杂系统的发展和应用,同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。
本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨,以帮助更好地理解和应用这种控制策略。
线性二次型最优控制
Chapter7 线性二次型最优控制稳定性是控制系统的一个重要指标,还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。
通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能,然而并没有考虑控制的能量代价。
用Lyapunov 稳定性理论解决“参数优化问题”,通过选取一个适当的参数,可以在保证系统稳定的前提下,使二次型性能指标最小化,从而使系统的过渡过程具有较好的性能,有必要将这种方法推广到控制器设计。
7.1 二次型最优控制在控制系统中,为了达到同一个控制目的,可以有多种方案(如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的),具有最小能量的控制方式更具实际意义。
对于Bu Ax x+= Cx y = (7-1) 系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述: ⎰∞+=0d ][t Ru u Qx x J T T (7-2)Q 是对称正定(半正定)加权矩阵,R 是对称正定加权矩阵,他们反映了设计者对状态x 和控制u 中各分量重要性的关注程度。
第一项反映控制性能,这一项越小,状态衰减到0的速度越快,振荡越小,控制性能越好;第二项反映对控制能量的限制。
通常状态x 衰减速度越快,控制能量越大,这是一个矛盾,最优控制的目的就是寻找Q 、R ,调和上述矛盾,问题归结为,对给定系统(7-1)和保证一定性能指标(7-2)的前提下,,设计一个控制器u ,使J 最小。
若系统的状态是可以直接测量的,且考虑的控制器是状态反馈控制器,则可以证明,使性能指标(7-2)最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式:Kx u -= (7-3) 将控制器(7-3)代入系统方程(7-1)可得x BK A x)(-= (7-4) 若系统是渐近稳定的,矩阵BK A -所有特征值均具有负实部,根据线性时不变系统的Lyapunov 稳定性定理,(7-4)一定存在一个正定对称矩阵P 的二次型Lyapunov 函数Px x x T =)V (,利用系统的稳定性可得⎰⎰∞∞⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=00d )(V d d d )(V d d t x t t x t Ru u Qx x J TT []{}∞==∞--+-++=⎰t t T T T T t x t x P BK A BK A P x Ru u Qx x 00)]([V d )()([]000d Px x t x P B K PBK P A PA RK K Q x TT T T T T +--+++=⎰∞对上式“下划线”部分“+”“-”P B PBR T 1-进行配平方得到P B PBR P B PBR P B K PBK RK K T T T T T 11---+-- P B PBR P B R K R P B R K T T T T 111)()(------=可得[]0001d Px x t x P B PBR P A PA Q x J TT T T +-++=⎰∞- ⎰∞----+011d )()(t x P B R K R P B R K x T T T T (7-5)求解最优控制问题,就是选取一个适当的增益矩阵K ,是性能指标J 最小化。
线性二次型最优控制..
一、主动控制简介概念:结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰,采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力,最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点:主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰,是一种需要额外能量的控制技术,它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点:主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动,减少输入的干扰力,以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力,特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果,与被动控制相比,主动控制具有更好的控制效果。
但是,主动控制实际应用价格昂贵,在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题,控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成:传感器、控制器、作动器工作方式:开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理:首先将结构的反应反馈至控制器,控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应,判断装置的刚度状态,然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态,实现不同的变刚度状态。
锁定状态(ON):电液伺服阀阀门关闭,双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移,斜撑的相对变形与结构层变形相同,此时结构附加一个刚度;打开状态(OFF):电液伺服阀阀门打开,双出杆活塞与液压缸之间有相对位移,液压缸的压力差使得液体发生流动,此过程中产生粘滞阻尼,此时结构附加一个阻尼。
示意图如下:2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理:变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础,利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力,并将这种阻力通过活塞传递给结构,从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态(ON):开孔率一定,液体的流动速度受限,流动速度越小,产生的粘滞阻尼力越大,开孔率最小时,提供最大阻尼力,此时成为ON状态;打开状态(OFF):控制阀完全打开,由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
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(5 3)
1 Le e(t )T Q(t )e(t ) 0 — 状态转移过程中衡量e(t )大小的代价函数 2 1 Lu u (t )T R(t )u (t ) 0 — 状态转移过程中衡量u (t )大小的代价函数 2 1 (t f ) e(t f )T Fe(t f ) 0 — 终端代价函数(衡量终点误差) 2
第5章 线性二次型的最优控制
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 ) (t ) 0
(5 14)
(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) x(t )
令P(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) (5 16)
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab求解黎卡提方程的解(数值解) 文件名:cal_p.mat(主程序) options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
第5章 线性二次型的最优控制
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
横截条件给出了终端时刻二者的关系:
(5 9)
1 T [ x (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f )
(5 1)
y(t ) x(t ) e(t ) 输出调节器 跟踪问题
状态调节器
e(t ) yr (t ) y(t )
第5章 线性二次型的最优控制
5.2 状态调节器问题
终端时间t , 有限时间问题 终端时间t , 无限时间问题
5.2.1 有限时间状态调节器问题
设线性时变系统的状态方程为
(5 23)Leabharlann 第5章 线性二次型的最优控制
例[5-1]
已知一阶系统的微分方程为 二次型性能指标为:
x(t ) ax(t ) u (t )
x(0) x0
1 2 1 tf J fx (t f ) [qx2 (t ) ru 2 (t )]dt 2 2 0 f 0 q0 r 0
第5章 线性二次型的最优控制
5.1 线性二次型问题
线性二次性问题的提法:
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) (5 1) y(t ) C (t ) x(t ) 假设控制向量 u(t ) 不受约束 ,用 yr (t )表示期望输出,则误差向量为 e(t ) yr (t ) y(t ) (5 2)
正定二次型 x 0
(5 3)
xT Ax 0
半正定二次型 x 0
xT Ax 0
实对称阵A为正定(半正定)的充要条件是全部特征值>0(>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
第5章 线性二次型的最优控制
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) u (t )T R(t )u (t )]dt 2 2 t0
设线性时变系统的状态方程为
求最优控制 u * (t ) ,使下列二次型性能指标最小。
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) u (t )T R (t )u (t )]dt 2 2 t0 F — 半正定对称常数加权矩阵 Q(t ) — 半正定对称时变加权矩阵 R(t ) — 正定对称时变加权矩阵 t0 及t f 固定
第5章 线性二次型的最优控制
第5章 线性二次型的最优控制
本章主要内容:
5.1 线性二次型问题 5.2 状态调节器
5.3 输出调节器
5.4 跟踪器
1 tf T J (u ) ( x Qx u T Ru)dt 2 t0
线性二次型问题的特点
(0 14)
(1)最优解可写成统一的解析表达式,实现求解过程规范化 (2)可以兼顾系统的性能指标(快速性、准确性、稳定性、灵敏度)
求使性能指标为极小值时的最优控制。
解: u (t )* R 1 BT P(t ) x(t ) 1 p(t ) x(t )
r
其中p(t)为黎卡提方程的解
PA AT P PBR1BT P Q p(t ) 2ap(t ) 1 p 2 (t ) q P r P(t f ) F p(t f ) f
下面思路:
求解P(t),但直接 利用(5-16)求 解,涉及矩阵求 逆,运算量大
第5章 线性二次型的最优控制
2.应用其性质求解p(t)
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
(5-17)对时间求导
x Ax BR 1 BT Ax S H Qx AT Qx AT Px x
(5 21)
边界条件:
(t f ) Fx(t f )
(5 10)
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
P(t f ) F
(5 22)
第5章 线性二次型的最优控制
黎卡提方程求解问题: (1)可以证明,P(t)为对称矩阵,只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。 (2)为非线性微分方程,大多数情况下只能通过计算机求出数值解。 还可进一步证明,最优性能指标为:
(5 11)
x(t f ) 11x(t ) 12 (t ) (t f ) 21x(t ) 22 (t )
(5 12) (5 13)
(5 14)
(5-13)-(5-12)*F 可得
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 ) (t ) 0
x(t f ) x(t ) 11 12 x(t ) (t ) (t f , t ) (t ) 21 22 (t ) f
即
(5 10)
为了与(5-10)建立联系,将(5-9)写成向终端转移形式:
第5章 线性二次型的最优控制
设a 1, f 0, x(0) 1, q 1, t f 1,r变化
r越小,p(t )越平稳、x(t )衰减越快、u(t )幅值越大
(3)求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)
(5 21)
u (t )* K (t ) x(t ) R 1BT P(t ) x(t )
(4)求解最优轨线x*(t) (5)计算性能指标最优值
(5 18)
J *[ x(t ), t ]
1 x(t )T P(t ) x(t )T 2
线性二次型问题的本质:
用不大的控制,来保持较小的误差,以达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型问题的三种重要情形:
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) y(t ) C (t ) x(t )
e(t ) yr (t ) y(t ) 1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) (5 2)
加权矩阵的意义:
(1)F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵,可根据各分量 的重要性灵活选取。
(2)采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如:t t0时刻e(t0 )很大,但误差在系统开 始前形成,
并不反映系统性能的好坏。
Q(t)可开始取值小,而后取值大
第5章 线性二次型的最优控制
物理意义:以较小的控制能量为代价,使状态保持在零值附近。
(5 4)
第5章 线性二次型的最优控制
解:1.应用最小值原理求解u(t)关系式
H L f T
1 T 1 x Qx u T Ru xT AT u T BT 2 2
(5 5)
因控制不受约束,故沿最优轨线有:
最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解)
x(t ) ax(t ) u (t ) [a
1 p(t )] x(t ) r
x(0) x0
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab求解黎卡提方程的解(数值解) 文件名:dfun1.mat
function dy = dfun1(t,y)
1 J [ x(t ), t ] x(t )T P(t ) x(t )T 2
*
(5 23)
第5章 线性二次型的最优控制
3. 状态调节器的设计步骤 (1)根据系统要求和工程实际经验,选取加权矩阵F,Q,R (2)求解黎卡提微分方程,求得矩阵P(t)
P PA AT P PBR1BT P Q P(t f ) F
H Ru BT 0 u (t ) R 1BT u
(R(t)正定,保证其逆阵的存在。)
(5 6)
x Ax BR 1 BT Ax S H 规范方程组: (5 7) Qx AT x S x 下面思路: x A 写成矩阵形式: (5 8) T 确定 x(t ) 与 (t ) Q A 的关系,带入 ( x(t0 ) x(t ) 5-6)形成状态反 (5 9) 其解为: (t ) (t , t0 ) (t ) 馈 0
(5 15)
(t ) P(t ) x(t )