高中数学常用公式与证明专题
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高中数学常用公式与证明专题
本专题由北京大学教材研究所审定 依据《普通高中课程标准》编写
1.不等式的基本性质：
（1）对称性：b a >?a b <
（2）传递性：b a >，c b >?c a > （3）可加性：b a >?c b c a +>+
（4）加法：b a >，d c >?d b c a +>+
（5）保号性：b a >，0>c ?bc ac >；0
（7）乘方：0>>b a ?n
n b a >（n ∈N*） （8）开方：0>>b a ?n n
b a >（n ∈N*）
2.均值不等式定理： （1）四种形式：
整式形式：ab b a 22
2
≥+，
ab b a 222-≥+（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号）
2
)2
(b a ab +≤（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号）
根式形式：2a b
+≥a ，b ∈R +，当且仅当b a =时取“=”号) 分式形式：2≥+b
a a
b （0>ab ），2-≤+b a
a b （0 倒数形式：若0>x ，则21 ≥+x x ；若0 （2）推广： n n n a a a n a a a ......2121≥+++（a 1，a 2，…，a n 均为正数） （3）极值定理：“和定积大”、“积定和小”（“一正二定三等”）（技巧：拆、凑） 已知x 、y 都是正数，则有： ①若积xy 是定值p ，则当x=y 时和x+y 有最小值p 2； ②若和x+y 是定值s ，则当x=y 时积xy 有最大值24 1s . 3.常用不等式： （1）不等式链：22112 2 2b a b a ab b a +≤+≤≤+（a 、 b 均为正数） （2）柯西不等式：2 2222)())((bd ac d c b a +≥++),,,(R d c b a ∈ 4.含绝对值不等式： （1）绝对值的几何意义； 2 （2）性质：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. （3）推论：①|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n | ②|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 等号成立的条件：①|a+b|=|a|+|b|?ab ≥0 ②|a-b|=|a|+|b|?ab ≤0 ③|a|-|b|=|a+b|?(a+b)b ≤0 ④|a|-|b|=|a-b|?(a+b)b ≥0 5.不等式的证明方法： （1）比较法：作差、作商 （2）综合法：利用已知或已证的不等式、定理、性质 （3）分析法 （4）换元法：三角换元、代数换元 （5）构造法：构造函数、向量、斜率、复数、数列、距离、定比分点、图形等 （6）反证法 （7）放缩法 （8）判别式法： （9）数学归纳法 6.不等式的解法： （1）一元二次不等式ax 2+bx+c>0（或<0）（a ≠0）.（结合图象求解集）如果a 与ax 2+bx+c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx+c 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. x 1 （3）分式不等式：转化为整式不等式，同时需要注意分母不能为零.需要强调的是奇次重根和偶次重根的区别. （4）含参数的不等式：注意根的大小讨论、二次项系数是否为零的讨论、判别式的讨论. （5）当a>0时，|x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a ?(x-a)(x+a)>0 |x|cx+d ：分类讨论 （7）|ax+b|>|cx+d|：两边平方 （8）m<|ax+b| ① ?? ? ??>≥≥?>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f . 3 ②?? ? ??>≥≥?>2)]([)(0)(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 或? ??<≥0)(0)(x g x f . ③ ?? ? ??<>≥?<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f . （11）指数不等式： 若a>1， 则()()()()f x g x a a f x g x >?>， 若0 若a>1，则()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>?. 若0 >?>?? 7.直线的斜率公式： （1）k=tan α，00≤α＜1800，且α≠900； （2）21 21 y y k x x -= -（P 1),(11y x ，P 2),(22y x 且21x x ≠）. 由倾斜角的范围求斜率或由斜率求倾斜角的范围时一定要结合正切函数的图像. 8.直线的倾斜角计算： （1）若k 不存在，则0 90=α； （2）若k 存在，当0≥k 时，k arctan =α； 当0 arctan k k --=+=ππα. 9.直线方程的六种形式：（注意各种形式适用的范围） （1）点斜式：)(11x x k y y -=- （2）斜截式：b kx y += （3）两点式： 11 2121y y x x y y x x --= --(12y y ≠、12x x ≠) （4）截距式：1x y a b +=（ab ≠0） 横纵截距相等或和为零或互为相反数或绝对值相等、横截距是纵截距的几倍或几分之几等，都应注意截距可能为零！截距可正、可负、可为零！ （5）一般式：Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为0） 4 （6）参数式：? ? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数） 10.两条直线的位置关系：（注意：斜率可能不存在时另外讨论） （1）若l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2x+b 2，则 ①l 1∥l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2 ②l 1⊥l 2?k 1k 2=-1 ③l 1与l 2相交?k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合?k 1=k 2且b 1=b 2 （2）若l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1A 2B 1B 2≠0，则 ①l 1∥l 2? 2 1 2121C C B B A A ≠ = ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0 ③l 1与l 2相交?2121B B A A ≠ ④l 1与l 2重合?2 12121C C B B A A == 11.直线l 1到l 2的角公式：00＜α＜1800 （1）21 21 tan 1k k k k α-= +（l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2x+b 2，k 1k 2≠-1） （2）直线l 1⊥l 2时，直线l 1到l 2的角是2 π . 12.两直线l 1、l 2的夹角公式：00＜α≤900 （1）21 21 tan | |1k k k k α-=+（l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2x+b 2，k 1k 2≠-1） （2）直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是2 π . 13.距离： （1）点到直线的距离： d = （点P （x 0，y 0），直线l ：Ax+By+C=0） （2）两平行线间的距离： 2 2 21||B A C C d +-= （l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0） 14.常用的直线系方程： （1）平行直线系方程： 直线y=kx+b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程. 与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0（m ≠C ）. （2）垂直直线系方程： 与直线Ax+By+C=0 (AB ≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0. （3）过定点直线系方程： 经过定点P （x 0，y 0）的直线系方程为y-y 0=k(x-x 0) (除直线x=x 0) 经过定点P （x 0，y 0）的直线系方程为A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 经过定点（0，b）的直线系（斜率存在）方程为y=kx+b. （4）共点直线系方程： 经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2)=0 (除l2外)，其中λ是待定的系数． 15.对称问题：（结合图形理解） （1）点关于点对称：思路：利用中点坐标公式 点A（a，b）关于原点对称的点A′（-a，-b）. （2）点关于直线对称： ①点A（a，b）关于x轴的对称点A′（a，-b）. ②点A（a，b）关于y轴的对称点A′（-a，b）. ③点A（a，b）关于y=x的对称点A′（b，a）. ④点A（a，b）关于y=-x的对称点A′（-b，-a）. ⑤点A（a，b）关于x=m的对称点A′（2m-a，b）. ⑥点A（a，b）关于y=n的对称点A′（a，2n-b）. ⑦点A（x0，y0）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点A′. 思路一：利用中点坐标公式、中点在直线l上、垂直关系.（重点掌握） 思路二：利用点斜式求出方程，联立方程求出交点，再利用中点坐标公式. （3）直线关于点对称： 思路一：轨迹法.（重点掌握） 思路二：在给定直线上任取两点，求出这两点关于点的对称点，再求方程. 思路三：平行直线系. （4）直线l：Ax+By+C=0关于直线对称： ①直线l关于x轴对称的直线是：Ax+B(-y)+C=0 ②直线l关于y轴对称的直线是：A(-x) +By+C=0 ③直线l关于y=x对称的直线是：Ay+Bx+C=0 ④直线l关于y=-x对称的直线是：A(-y) +B(-x) +C=0 ⑤直线l关于直线l1：A1x+B1y+C1=0对称的直线是l′： 思路一：到角公式法（重点掌握）思路二：中点坐标法 思路三：轨迹法思路四：待定系数法思路五：直线系法. 16.Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域： 设直线l：Ax+By+C=0，则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是： 若B≠0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；当B 与Ax+By+C 异号时，表示直线l的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下. 若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax+By+C 异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左. 17. 6 18.设曲线F ：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0可以表示成（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0的形式，则曲线F 表示两条直线. 19.设直线l ： Ax+By+C=0，两点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），若直线l 与线段MN 相交，则（Ax 1+By 1+C ）（Ax 2+By 2+C ）≤0. 20.圆的方程四种形式： （1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （2）圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F>0） ▲Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是?? ? ??>-+=≠=0400 22F E D B C A . （3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?（θ为参数） （4）圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--= （4种证法） （圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ） 21.圆系方程： （1）过直线l ：Ax+By+C=0与圆C ：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，λ是待定系数． （2）共交点圆系：过圆C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0与圆C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆方程是x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ（x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0（除圆C 2），其中λ≠－1是待定系数． 特别的，当λ=－1时，（D 1－D 2）x+（E 1－E 2）y+（F 1－F 2）=0为两圆公共弦所在的直线方程.（要求：两圆必须相交！） 22.点与圆的位置关系： 点P （x 0，y 0）、圆C ：2 2 2 )()(r b y a x =-+-，d=|PC|，则： d>r ?点P 在圆外；d=r ?点P 在圆上；d< r ?点P 在圆内. 注：若点P 是圆C 外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为|PC|+r ，最小距离为|PC|-r. 23.直线与圆的位置关系： 直线：Ax+By+C=0、圆C ：2 2 2 )()(r b y a x =-+-，则： d>r ?相离?△<0； d=r ?相切?△=0； 7 d 2 B A C Bb Aa d +++=，△表示由直线方程和圆方程联立得到的二次方程的 判别式. 注：（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r ，最小距离为d-r. （2）当直线与圆相交时，弦长l ，弦心距d ，半径r 满足：2 22)2 (r d l =+. 24.弦长公式：若直线b kx y +=与二次曲线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点，则 由二次曲线方程和b kx y +=联立可得)0(02≠=++a c bx ax ，则知直线与二次曲线所截得的弦长|AB|||1212x x k -+=||1 1212y y k -+ = | |4122 a ac b k -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=. 25.两圆的位置关系： （1）代数法：由两个圆的方程组成二元二次方程组， 若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交； 若方程组有两组相同的实数解（或只有一组实数解），则两圆相切； 若方程组没有实数解，则两圆相离或内含. （2）几何法：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，|O 1O 2|=d ，则： 两圆相离? d>r 1+r 2 ?4条公切线； 两圆外切? d=r 1+r 2 ?3条公切线； 两圆相交?|r 1-r 2| （1）若点（x 0，y 0）在圆x 2+y 2= r 2上，则切线方程为x 0x+y 0y=r 2. （2）若点（x 0，y 0）在圆(x-a)2+(y-b)2= r 2上，则切线方程为 (x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b)= r 2. 求法：利用点斜式（点为切点，斜率为圆心与切点连线的斜率的负倒数）. （3）若点（x 0，y 0）在圆(x-a)2+(y-b)2= r 2外，则切线方程的求法是先设切线方程（即设斜率），再利用圆心到切线的距离等于半径，可求得斜率，从而写出切线方程. 注意：切线必有两条，注意不要漏掉切线斜率不存在的情况． （4）若点（x 0，y 0）在圆x 2+y 2= r 2外，过点P 引两条切线，切点为A 、B ，则直线 AB 的方程为x 0x+y 0y=r 2. （5）切线长：过圆外一点P （x 0，y 0）作圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的切线PM ，M 为切点，则切线长|PM|= F Ey Dx y x ++++002 020. 27.已知曲线C 1：F 1（x ，y ）=0、C 2：F 2（x ，y ）=0，则过C 1、C 2交点的曲线系方程为F 1（x ，y ）+λF 2（x ，y ）=0（λ是待定的系数）． 28.在曲线方程（包括线性约束条件）中，求 x y 型、22y x +型、y x +型值域（或最值）等相关问题时，应数形结合充分利用几何特征解题.（还可考虑参数法！） 29.圆的对称问题： （1）圆关于直线对称的圆：半径相同、两个圆的圆心关于直线对称. （2）圆关于直线成轴对称：直线过圆的圆心. （3）圆关于点对称的圆：半径相同、两个圆的圆心关于点对称. 30.椭圆的定义： （1）第一定义（距离定义）：|MF 1|+|MF 2|=2a （2a>|F 1F 2|>0）. 注意：若2a=|F 1F 2|，则点M 的轨迹是线段； 若2a<|F 1F 2|，则点M 的轨迹不表示任何图形. （2）第二定义（比值定义）： e d MF =| |，其中d 表示点M 到定直线的距离. 31. 9 （1）几个“不变”的量：中心到准线的距离为c a ，两准线间的距离为c a 2，焦 点到相应准线的距离为c c a -2，焦点到相对准线的距离为c c a +2 ，长轴顶点到相应 准线的距离为a c a -2，长轴顶点到相对准线的距离为a c a +2 ，焦点到相应顶点的距离为c a -，焦点到相对顶点的距离为c a +. （2）求椭圆标准方程的技巧：在未知焦点落在哪个坐标轴上时可设方程为 )0,0(122>>=+n m ny mx . （3）椭圆的参数方程：（掌握推导方法） ①)0(122 22>>=+b a b y a x ：? ??==θθsin cos b y a x （θ为参数） ②)0(122 22>>=+b a a y b x ：???==θ θsin cos a y b x （θ为参数） 说明：参数θ叫做椭圆的离心角，椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α 不同，且θαtan tan a b =. 32.（1）在椭圆 12 2 22=+b y a x 的焦三角形△F 1PF 2中， 设∠F 1PF 2=θ，则：面积bc b S ≤=2 tan 2 θ ；周长 （2）椭圆中，AB 过点焦点F 1，则△ABF 2的周长等于 （3）在椭圆122 22=+b y a x 的焦三角形△F 1PF 2中，张角 θ当且仅当点P 为椭圆的短轴端点时最大. （4率)1,22(∈e ，即b a 2>时，长为c a 2，当离心率]2 2 ,0(∈e ，即b a 2≤时， 长为短轴长b 2. 33.椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的焦半径公式： 01||ex a PF +=，02||ex a PF -=， 其中F 1为左焦点，F 2为右焦点，P （x 0，y 0）. 特别的，（1）椭圆上的动点P 到某一焦点F 的距离d=|PF|有：|PF|max =a+c ，|PF|min =a-c （即点P 为椭圆长轴上的顶点）. （2）椭圆的通径等于a b 2 2（通径：过焦点且垂直于焦点所在的对称轴的焦点弦） （3）过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左焦点的焦点弦为AB ，则 )(221x x e a AB ++=，过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=. 34.点与椭圆的位置关系： 点P （x 0，y 0），椭圆C ：)0(12 2 22>>=+b a b y a x （1）点P 在椭圆C 内12 20 220<+?b y a x . （2）点P 在椭圆C 上12 20 220=+?b y a x . （3）点P 在椭圆C 外12 20 220>+?b y a x . 35.椭圆系：（1）具有相同离心率的标准椭圆系的方程为)0(22 22>=+λλb y a x 或 )0(22 22>=+λλa y b x . （2）共焦点的椭圆系的方程为12 2 2=++m y c m x 0(>m ，c 为半焦距）. 36.直线与椭圆的位置关系： 直线l 的方程：y=kx+b ，椭圆C 的方程：122 22=+b y a x . 由直线方程和椭圆方程联立，消y （以此为例），得到一个关于x 的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0，其判别式为△. （1）直线与椭圆相交?△>0. （2）直线与椭圆相切?△=0. （3）直线与椭圆相离?△<0. 相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子. 附：椭圆的切线方程： （1）椭圆122 22=+b y a x 上一点P （x 0，y 0 （2）过椭圆122 22=+b y a x 外一点P （x 0，y 0）所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b +=. （3）椭圆122 22=+b y a x 与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222C b B a A =+. 37.双曲线的定义： （1）第一定义（距离定义）：| |MF 1|-|MF 2| |=2a （0<2a<|F 1F 2|） 注意：若2a=|F 1F 2|，则点M 的轨迹是两条射线； 若2a>|F 1F 2|，则点M 的轨迹不表示任何图形. （2）第二定义（比值定义）： e d MF =| |，其中d 表示点M 到定直线的距离. 38.（1 的距离为c a a 2-，顶点到相对准线的距离为c a a 2 +，焦点到相应顶点的距离为 a c -，焦点到相对顶点的距离为a c +. （2）求双曲线标准方程的技巧：在未知焦点落在哪个坐标轴上时可设方程为 )0(122<=+mn ny mx 或)0(122>=-mn ny mx . 39.（1）在双曲线12222=-b y a x 的焦三角形△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=θ，则面积2cot 2 θb S =. （2）双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为b. 40.双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦半径公式：（掌握推导过程） （1）若点P 在右支上，则a ex PF +=01||，a ex PF -=02||； （2）若点P 在左支上，则)(||01a ex PF +-=，)(||02a ex PF --=. 其中F 1为左焦点，F 2为右焦点，P （x 0，y 0）. 特别的，双曲线的通径等于a b 22. 41.点与双曲线的位置关系： 点P （x 0，y 0），双曲线C ：)0,0(12 2 22>>=-b a b y a x （1）点P 在双曲线C 内12 20 220>-?b y a x . （2）点P 在双曲线C 上12 20 220=-?b y a x . （3）点P 在双曲线C 外12 20 220<-?b y a x . 42.双曲线的方程与渐近线方程的关系： （1）若双曲线方程为12222=-b y a x ，则渐近线方程为022 22=-b y a x ，即x a b y ±=. （2）若渐近线方程为x a b y ±=，即0=±b y a x ，则双曲线方程可设为 )0(22 22≠=-λλb y a x . 43.特殊双曲线： （1）等轴双曲线：实轴和虚轴长相等的双曲线，即a =222 性质：两条渐近线方程为x y ±=且互相垂直；=e （2即12222=-b y a x 与122 22-=-b y a x . 13 若设它们的离心率分别为1e 、2e ，则2221≥+e e 且 1112 2 2 1 =+ e e . 共轭双曲线有相等的焦距，四个焦点共圆. 44.双曲线系：（重点掌握方法、思路） （1）具有相同焦点的标准双曲线系的方程为 )0(1222 2c k k c y k x <<=-- . （2）与椭圆122 22=+b y a x 共焦点的双曲线系方程为 )(12 22 222a b b y a x <<=-+-λλ λ. （3）若双曲线与12222=-b y a x 有相同的渐近线，则可设为λ=-22 22b y a x . （4）若双曲线与12222=-b y a x 有相同的离心率，则可设为λ=-22 22b y a x 或 )0(22 22>=-λλb x a y 两种情形. 45.直线与双曲线的位置关系： 直线l 的方程：y=kx+b ，双曲线C 的方程：122 22=-b y a x . 由直线方程和双曲线方程联立，消y （以此为例），得到一个关于x 的一元二次 方程Ax 2+Bx+C=0，其判别式为△. （1）直线与双曲线相交?△>0. （2）直线与双曲线相切?△=0. （3）直线与双曲线相离?△<0. 注意：方程组消元后可能出现二次项系数为0的方程，此时直线与双曲线只有一个交点，但不是相切，而是直线与渐近线平行.因此，直线与双曲线相交时，一定要注意直线与渐近线的关系. 设直线l 的倾斜角为θ，斜率为正的渐近线的倾斜角为α： 如图（1），θ=α时，直线l 只与双曲线的一支相交，交点只有一个； 如图（2），θ>α时，直线l 只与双曲线的一支相交，交点有两个； 如图（3），θ<α时，直线l 与双曲线的两支都相交，交点两个，每支一个. 特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入双曲线方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子.（“点差法”） 附：双曲线的切线方程： （1）双曲线122 22=-b y a x 上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. （2） 过双曲线122 22=-b y a x 外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b -=. （3）双曲线122 22=-b y a x 与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222C b B a A =-. 46.抛物线的定义：1| |==e d PF . 到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线. 注：定点必须不在定直线上，否则轨迹是一条直线. 47.抛物线的标准方程及其几何性质：)0(>p （1）几个“不变”的量：焦点到准线的距离为p 到顶点的距离为 2 p . （2）对于抛物线)0(22 >=p px y 上的点的坐标可设为 15 其他类似. （3）焦半径公式：设P ),(00y x 为抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为焦点，则2||0p x PF + =；)0(22<=p px y 上任意一点，F 为焦点，则2 ||0p x PF +-=. 48.抛物线的焦点弦公式及其他重要结论： （1）过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦AB 的长度p x x AB ++=21||或 p p AB 2sin 2||2≥= α ； （2）抛物线的通径长为p 2. （3）4 2 21p x x =?，221p y y -=?； （4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5） p FB FA 2 ||1||1=+； （6）焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900. 其中，点),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线上不同的两点，F 是抛物线的焦点，α是弦AB 的倾斜角. 49.点与抛物线的位置关系： （1）点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)y px p =>的外部2 2(0)y px p ?>>. （2）点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ?>->. （3）点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =>的内部2 2(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ?>>. （4）点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =->的外部2 2(0)x py p ?>->. 50.直线与抛物线的位置关系： 直线l 的方程：y=kx+b ，抛物线C 的方程：2 2(0)y px p =>. 由直线方程和抛物线方程联立，消y （以此为例），得到一个关于x 的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0，其判别式为△. （1）直线与抛物线相交?△>0. （2）直线与抛物线相切?△=0. （3）直线与抛物线相离?△<0. 注意：方程组消元后可能出现二次项系数为0的方程，此时直线与抛物线只有一个交点，但不是相切，而是直线与抛物线的对称轴平行. 特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子. （“点差法”） 涉及直线与抛物线的有关问题求解时，一要注意直线斜率是否存在，并分类讨论解决；二要注意焦半径公式和韦达定理的应用. 附：抛物线的切线方程 （1）抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 51.圆锥曲线的对称问题： （1）曲线0),(=y x f 关于点),(00y x P 成中心对称的曲线是 0)2,2(00=--y y x x f . （2）二次曲线0),(=y x f 以定点),(b a M 为中点的弦所在的直线方程为 ),()2,2(y x f y b x a f =--. （3）二次曲线0),(=y x f 关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 0),(=+-+-B C Ax A C By f . 52.几个定值： （1）椭圆： ①椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和椭 圆中心连线的斜率之积为定值22a b -，若焦点在y 轴上，则定值为22 b a -； ②椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点与椭圆长轴的两端点连线斜率乘积 是定值22a b -，若焦点在y 轴上，则定值为22 b a -； ③椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点与椭圆短轴的两端点连线斜率乘积 是定值22a b -，若焦点在y 轴上，则定值为22 b a -； （2）双曲线： ①双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点 和双曲线中心连线的斜率之积为定值22a b ，若焦点在y 轴上，则定值为22 b a ； ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的连线的斜率乘积是定值22a b ，若焦点在y ③双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 17 交y 轴于M 、N 两点，则|OM||ON|=2b -，若焦点在y 轴上，则|OM||ON|=2 b -； ④M 、N 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若PM 、PN 斜率都存在，则它们的斜率之积为定值22 a b ， 若焦点在y 轴上，则定值为22 b a . （3）抛物线： 抛物线)0(22≠=p px y 有2 12y y p k AB +=，其中1y 、2y 为A 、B 的纵坐标. 53.曲线A 2 x +B 2y =C 表示哪些曲线？ 在待定系数A 、B 、C 满足一定的条件下，曲线可以表示点、直线、圆、椭圆、双曲线. 54.求轨迹方程（或轨迹）的常用方法： （1）直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替此等式，化简得曲线得方程，即0),(=y x f . （2）定义法（待定系数法）：利用所学过的直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义直接写出所求动点的轨迹方程. （3）代入法（相关点法）：若动点P ),(y x 随已知曲线上的点Q ),(00y x 的变动而变动，且0x 、0y 可用x 、y 表示，则将点Q 的坐标代入已知曲线方程，即得到点P 的轨迹方程. （4）参数法：选取适当参数，分别用参数表示动点坐标),(y x ，得出轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程. （5）几何法：动点的几何特征与平面几何的定理有着直接或间接的联系，且利用平面几何的基本知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后即可得所求轨迹方程.用此法的关键在于所求轨迹的几何条件与平面几何知识的紧密结合. （6）交轨法：如果所求轨迹是由两条动曲线的交点所得，恰当地引进一个参数，写出两条动曲线地方程，消去参数，即得所求地轨迹方程. 专题三 几何证明 【专题分析】 几何证明题重在训练学生运用数学语言合情推理的能力，在数学学习中占有非常 重要的地位。此类题目经常出现在解答题的第二题，属于中低难度的题，比较基础；最后两题中也有涉及，属于中高难度的综合题. 【考点解析】 考点一：证明线段相等 例1．如图，E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，BE ∥DF ． 求证：BE ＝DF ． 考点二：证明线段平行或垂直 例2. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ， ∠A=∠D ，AF=DC ． 求证：BC ∥EF ． 例3. 如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． 求证：CA 是圆的切线. A B C D E F A E B C F D 考点三：证明角相等 例4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，过点A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于点E ． （1）求证：∠ABD ＝∠CBD ； （2）若∠C ＝2∠E ，求证：AB ＝DC . 考点四：证明三角形全等或特殊四边形 例5.在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ． (1)求证：△BEC ≌△DF A ； (2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【基础演练】 1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=-90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F 求证：CE=CF ． 2.如图，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折， 点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G 。 求证：AG ＝C ′G . （第21题）C 如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，。 求证：FD⊥ED 三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、 实用标准文案 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC , AD BD ，E是AB的中点。 求证：（ 1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。A E B C 2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点，D 求证： AC1 // 平面 BDE 。A D1 B1C E A 3、已知ABC 中ACB 90o,SA面ABC,AD SC , D B C 求证： AD面 SBC ．S D A B ABCD A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.C 4、已知正方体 D1C1求证： (１ ) C1O∥面AB D； (2) AC面 AB D ． B1 1 11 1 1 A1 D C O A B 5、正方体ABCD A ' B 'C ' D ' 中，求证： （1） AC 平面 B ' D ' DB ； （2） BD ' 平面 ACB ' . 6、正方体 ABCD —A B C D中． 1111 D 1C 1 (1) 求证：平面 A1 BD∥平面 B1D1C； A B1 (2) 若 E、 F 分别是 AA ， CC的中点，求证：平面 EB D1F ∥平面 FBD ． 1111 E G C 实用标准文案 2o 7、四面体ABCD 中，AC BD , E, F 分别为 AD , BC 的中点，且 EF AC ，BDC 90 ， 求证： BD平面ACD 8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 、F、G分别是AB、AD、 C1 D1的中点.求证：平面 D1EF ∥平面 BDG . 9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点. （1）求证：A1C //平面BDE； （2）求证：平面A1AC平面BDE . 10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2 ， PA AD 4 ， E 为 BC 的中点． （ 1）求证：DE平面PAE； （ 2）求直线DP与平面PAE所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是DAB 600且边长为 a 的菱形， 侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面 ABCD ．（ 1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （ 2）求证：AD PB． 12、如图 1,在正方体ABCD A B C D中， M 为 CC的中点， AC 交 BD 于点 O，求证：AO平面 MBD ． 1 1 1 111 13 、如图２，在三棱锥Ａ－ BCD 中， BC＝ AC， AD＝ BD， 作BE⊥ CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥ BE 于 Ｈ．求证： AH⊥平面 BCD． 高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐 2015年重庆中考数学24题专题练习 1、如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BＣ,AB=DC，E为AD中点，连接ＢE,CE (1)求证:BＥ=CＥ； （2）若∠BEC=9０°，过点B作ＢF⊥CD，垂足为点F，交CE于点Ｇ,连接DG，求证:BG=DG+CD. 2、如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=９０°,Ｅ为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为ＣD上的一点F，并与BC交于点Ｇ.已知G为CH的中点． （1）若HE＝ＨG,求证:△EＢＨ≌△GFＣ； （２)若ＣD＝４,BH＝1，求ＡD的长． 3、如图，梯形ＡBＣD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DＡB=6０°，E是对角线AC延长线上一点,Ｆ是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AＦ. (1)当CE=1时,求△ＢCE的面积; （２）求证：BD＝EF+CE． 4、如图.在平行四边形ABCD中，Ｏ为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E ＥF∥ ＣA,交CＤ于点Ｆ，连接OF． （1)求证：OＦ∥BC； (２)如果梯形ＯBEF是等腰梯形，判断四边形ＡBCD的形状，并给出证明． 5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC，∠AＢC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且ＤG=DE，AB＝，CF=6． (1）求线段CＤ的长； （2)H在边BF上,且∠HＤＦ=∠E,连接CＨ，求证：∠BＣH=45°﹣∠EＢC. 6、如图,直角梯形ABCＤ中，AＤ∥BC,∠Ｂ=9０°，∠Ｄ=45°． (１)若AB=6cm，,求梯形ABCD的面积; (2)若Ｅ、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、ＤＡ上一点,且满足ＥF=GH,∠EFH=∠FHG，求证：HD=BＥ+ＢF． 几何证明与计算 考向1以圆为背景的特殊四边形的动态探究题 1.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，O D． （1）求证：△OAC≌△ODC； （2）①当∠OCA的度数为时，四边形BOED为菱形； ②当∠OCA的度数为时，四边形OACD为正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCA＝30°，②∠OCA＝45°． 【解析】 （1）依据SAS可证明△OAC≌△ODC； （2）①依据菱形的四条边都相等，可得△OBD是等边三角形，则∠AOC=∠OBD=60°，求出∠OCA=30°；②由正方形的性质得出∠ACD=90°，则∠ACO=45°． 【详解】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵BD∥OC， ∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB， ∴∠AOC＝∠COD， ∵OA＝OD，OC＝OC， ∴△OAC≌△ODC（SAS）； （2）①∵四边形BOED是菱形， ∴OB＝D B． 又∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝D B． ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°． ∵CO∥DB， ∴∠AOC＝60°， ∵射线AG为⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， ②∵四边形OADC是正方形， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ACO＝∠DCO， ∴∠OCA＝45°， 故答案30°，45°． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角 七年级数学下册几何证明计算简单型复习题 1．（2020春?安陆市期中）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN； （1）判定图中平行的直线，并给予证明； （2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判定∠P与∠Q的数量关系，并证明． 2．（2020春?邗江区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F． （1）CD与EF平行吗？什么缘故？ （2）假如∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数． 3．（2020春?密云县期末）已知如图：AD∥BC，E、F分别在DC、AB延长线上．∠DCB=∠DAB，AE⊥EF，∠DEA=30°． （1）求证：DC∥AB． （2）求∠AFE的大小． 4．（2020秋?江都市校级期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F． （1）CD与EF平行吗？什么缘故？ （2）假如∠1=∠2，且∠3=105°，求∠ACB的度数． 5．（2020春?沙河市期中）如图，已知直线AB，CD被直线EF，EG，MH所截，直线AB，EG，MH相交于点B，∠EAB=∠BNA，∠FAN=∠FNM，AN∥EG． （1）∠ABE与∠EGF相等吗？ （2）试判定∠AFN与∠EBH之间的数量关系，并说明理由． 6．（2020春?高坪区校级期中）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°． （1）请你判定AD与EC的位置关系，并说明理由； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1=70°，试求∠FAB的度数． 7．（2020春?东昌府区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F． （1）AD与EF平行吗？什么缘故？ （2）假如∠1=∠2，且∠3=115°，求∠BAC的度数． 8．（2020秋?道外区期末）如图（1），直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FG 平分∠CFE，且∠GEF+∠GFE=90° 高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且 22EF AC = ，90BDC ∠=， A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F 求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体 1111 ABCD A B C D -中，M 为 1 CC 的中点，AC 交BD 高中数学常用公式汇总及结论 1 、元素与集合的关 系： 2 、集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 3 、二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式： (2) 顶点式：（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式） (3)零点式：（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式） （4）切线式：。（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时， 设为此式） 4、真值表：同真且真，同假或假 5 、常见结论的否定形式; 6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 充要条件： (1) 则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件； （2）且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；（4）p ≠> p ，且则P是q的既不充分又不必要条件。 7、函数单调性: 增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。 （2）数学符号表述是：设f（x）在上有定义，若对任意的，都有成立， 则就叫在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有 成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性： 等价关系： (1)设，那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。 几何证明专题 1、如图，AB是圆O的直径，D,E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD =DC，连结AC,AE,DE . 2、如图，O和e O'相交于A, B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于点，连结DB并延长交eO于点E. 证明：（I）ACeBD二ADUB ； （II）AC=AE C,D两 B 3、选修4 —1几何证明选讲 如图，MBC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (I)证明：MBE sA ADC ； "）若MBC的面积S^AD^AE，求Z BAC的大小. 4、如图，D, E分别为MBC的边AB , AC上的点，且不与心ABC的顶点重合.已 知AE的长为m, AC的长为n, AD , AB的长是关于x的方程Mx + mn-o的 两个根. （I）证明：C, B, D , E四点共圆; (II )若N A=9O。，且m=4, n=6,求C B , D , 所在圆的半径. B 全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解） 参考答案 1 .【答案】证明：连接AD。 ??? AB是圆O的直径，??? NADB=9O0（直径所对的圆周角是直角）。 ? ?? AD丄BD （垂直的定义）。 又??? BD =DC，二AD是线段BC的中垂线（线段 的中垂线定义）。 AB =AC （线段中垂线上的点到线段两端的距 离相等）。 ? Z B=N C （等腰三角形等边对等角的性质）。 又??? D,E为圆上位于AB异侧的两点, ? ?? N B=N E （同弧所对圆周角相等）。 ? ?? N E =N C （等量代换）。 2.【命题意图】本题主要考查几何选讲的基础知识，是简单题. 证明：（1）由AC与eO相切于A，得N CAB二NADB，同理土ACB^DAB , 几何计算与证明 学校_______ 5别______ 姓名________ 号__________ 一、选择题：(每题3分，共15分) 1、已知三角形两边a=3, b=7,第三边是c且av bvc,则c的取值范 围是( ) (A) 4 v c v 7 (B) 7 v c v 10 (C)4 v c v 10 (D)7 v cv 13 2、若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的 高等于( ) (A)6 3 cm (B)6cm (C)3 2 (D)3cm 3、在RtAABC 中，/ C=90° 若AB=2AC，贝S cosA 等于() (A)、3 (B)1 (C) 2 2 3 4、已知：等圆O O和O O'外切，过O作O O'的两条切线OA OB A、B是切点，则/ AOB等于( ) -.A 5、如果圆柱的母线长为6cm,侧面积是48n cm2，B 那么这个圆柱的底面直径为( ) (A)4cm (B)4 n cm (C)8cm (D)8 n cm 二、填空题：(每题4分，共24分) 1、三角形三内角的度数之比为1:2:3，最大边约长是8cm 则最小边的长是_______ cm 2、一个n边形的内角和等于外角和的3倍，则n二_________ 。 r 「 2 2 3、 _______________________________________ 若 tan a +cot a =3,贝y tan a +cot a - _______ 4、 已知：如图，O O 的弦AB 平分弦CD AB=1Q CD=8 且 PA < PB 贝S PB-PA 二 _____ 如图,在厶 ABC 中,/ BAC=9Q , AB=AC=2 以AB 为直径的圆交BC 于D,则图中阴影部分 面积为 6、 AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 梯上点D 距墙1.4米，BD 长Q.55米。 则梯子等于 ______ 。 三、解答题：（每题7分，共35分） 1、已知：如图，D E 是厶ABC 的边AB 上 的点，/ A=35°, / C=85 , / AED=60，求证：ADAB=AEAC 5、 C B O D C 高中数学立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D C B D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C N M P C B A 6、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面垂直的判定 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面 FBD ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点， 且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o ，24AB BC ==时， 求MN 的长。 考点：三垂线定理 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、 AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG . 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定 12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形 A 1 A B 1 C 1 D 1 D G E F 1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 辅导讲义 基础概念回顾( 一) 全等三角形的判定定理： “SAS"： ________________________________________________________ “ASA"：________________________________________________________ “AAS"：________________________________________________________ “SSS"：________________________________________________________ “HL"：_______________________________________________________ 通过观察和探索发现全等的三角形和全等成立的相关要素 1.(2015?常州)如图,在0ABCD中，ZBCD=120°,分别延长DC、BC到点E, F,使得△ BCE和厶CDF都是正三角形. (1)求证：AE=AF； (2)求ZEAF的度数. 技巧：挖掘隐含条件，构造全等三角形证明线段等几何关系成立 2.（2014*重庆）如图，AABC 中，ZBAC=90°, AB=AC, AD±BC,垂足是D, AE 平分ZBAD,交BC 于点E.在AABC 外有一点F,使FA丄AE, FC丄BC. （1）求证：BE=CF； （2）在AB±.取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME. 求证：①ME丄BC；②DE=DN. 3.（2015*重庆）如图1,在Z^ABC中，ZACB=90°, ZBAC=60°,点E是ZBAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF. （1）如图1,若点H是AC的屮点，AC=2>/E，求AB, BD的长； （2）如图1,求证：HF=EF； （3）如图2,连接CF, CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由. 对全等判定的进一步探究 4 （南京2015）【问题提出】 2018届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC 的中点． (1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长． 2. 如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数． 3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE·GF. 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA 交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3. (1)求AD的长； (2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号) 5. 如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由． 6. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于点H ，交CD 于点G. (1)求证：BG ＝DE ； (2)若点G 为CD 的中点，求HG GF 的值． 7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长． 8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F. (1)求证：△ACD∽△BFD； 高中数学高考总复习几何证明选讲习题 (附参考答案) 一、选择题 1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( ) A ．y 是x 的增函数 B ．y 是x 的减函数 C ．y 随x 的增大先增大再减小 D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12 AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C [解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12 ×4×3＝6， ∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( ) A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5. 4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为( ) A ．5 6 B.56 C.15 D.3102 [答案] B [解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56， ∴CE ＝12AB ＝562 . 5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) 一、中考几何证明题的解法 1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：AE=DF； （2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形 （3）如图3，若AB= ，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． ①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由． 2、（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）； （2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果）． 3、已知梯形ABCD ，AD ∥BC ， AB ⊥BC ，AD=1，AB=2，BC=3， 问题1：如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ ，DC 的长能否相等，为什么？ 问题2：如图2，若P 为AB 边上一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题3：若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE=PD ，再以PE ，PC 为边作平行四边形PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°．点D 是直线BC 上的一个动点，连接AD ，并以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ． （1）如图①，当点E 恰好在线段BC 上时，请判断线段DE 和BE 的数量关系，并结合图①证明你的结论； （2）当点E 不在直线BC 上时，连接BE ，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论； （3）若AC ＝3，点D 在直线BC 上移动的过程中，是否存在以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD 的长度；如果不存在，请说明理由． B D A C E 图① B D A C E 图② B A C 备用图 第1题图 第6题图 高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15? B .30? C .45? D .60? 【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=?,又AD l ⊥,故30DAC ∠=?, 故选B . 2.在Rt ABC ?中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ?相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【解析】2个:ACD ?和CBD ?,故选C . 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) D .99cm 【(0)k k >,由相交弦定理得 33k =cm .故选B . 4.ABC ?与 cm D . 5.P C D 经过圆心,已知 C .6 )(12)r r -+,解得8r =.故选6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2 tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C .4- D .3 A B C D E 第4题图 第11题图 第10题图 第9题图 【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =?得2 CD r =,从而3π θ=, 故21tan 23 θ=,选A . 7.在ABC ?中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ?的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( ) A . B .1:2 C .1:3 D .1:4 【解析】ADE ABC ?? ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B . 8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A .2 B .3 C .4 D .5 1个,一外切一内切的2个,9..由4个这样的 , ( ) D .4 mm , AC ,AQ ＝23AB ＋14AC , A . 15 B . 45 C . 14 D . 13 【解析】如图,设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ .专题三 几何证明
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