(完整版)等差等比数列知识点总结
等差等比数列知识点总结
1. 等差数列：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即
a n a n 1 d （d为常数）（n 2）；
2. 等差中项：
1）如果a ， A ，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中
项．即：
或2A a b
3. 等差数列的通项公式：
一般地，如果等差数列
a n 的首项是a1 ，公差是 d ，可以得到等差数列的通
项公式为：
a n a1 n 1d
推广：a n a m(n m)d ．a
n a m 从而 d ；
nm
4．等差数列的前n 项和公式：
n（a1 a n）n（n 1） d 2 1 2
S n na1 d n （a1 d）n An Bn
2 2 2 2
（其中A、B是常数，所以当d≠ 0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d（常数n N ）a n 是等差数列．（2）等差中项：数列a n是等差数列
2a n a n-1 a n 1(n 2)2a n 1a n a n 2 ．
（3）数列a n 是等差数
列a n kn b （其中k,b 是常数）。
（4）数列a n 是等差数
列S n An2Bn, （其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若a n a n 1 d 或
a n1a n d （常数n N ）a n 是等差数列．
ab
2
2）等差中项数列a n是等数列2a n a n-1 a n 1(n 2) 2a n 1 a n a n 2
7. 等差数列的性质：
1）当 m n p q 时, 则有 a m a n a p a q ，特别地，当 m n 2p 时，则有
（2） 若{ a n } 是等差数列，则 S n ,S 2n S n ,S 3n S 2n ，?也成等差数列
和， S n 是前 n 项的和
1. 当项数为偶数 2n 时，
n a 1 a 2n 1
a 2n 1 1 2 2n 1 na n
a n a
n 1
2、当项数为奇数 2n 1时，则
其中 a n+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项）
1、
等比数列的定义： a
n q q
0 n 2, 且 n N *
，
q 称为 公比
a n 1
2
、
通项公式：
n1 a n a 1q
a 1 n n
1
q A B a 1
q
0,A B 0 ，首项
： a 1 ；公比：
q
q
推广： a n
n m n m amq n m q n m
a n
q n m
a n
a
m
a
m
3、
等比中项：
（1）如果 a,A,b 成等比数列， 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，即： A 2
ab 或 A ab
注意：同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项 有两个
（两个 等比中项互为相反数）
a m
a n
2a p .
3）设数列 a n 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的
a 2n
n a 2 a 2n
2
na n 1
S
偶
S
奇
na n 1 na n
n a n 1 a n =nd
S 2n 1
S 奇
S 偶 (2n 1) a n+1
S 奇 S 偶 a n+1 S 奇 (n 1)a n+1
S 偶 na n+1
n1
a 1 a 3 a 5
a 2 a 4 a 6 na n na n 1
S 奇
为等比数列
6、等比数列的证明方法：
7、等比数列的性质：
3）若{ a n }为等比数列，则数列 S n ，S 2n S n ， S 3n S 2n , ，成等比数列 4）在等比数列 { a n }中，当项数为 2n （n N *）时， S
奇
1
S 偶 q
2）数列 a n 是等比数列
2 a
n
a n 1 a n 1
4、等比数列的前 n 项和 S n 公式：
1）当q 1时， S n
na 1
2）当q 1时， S n
n
q
1q
a 1 1 a 1 a n q 1q
a 1 a 1
1q1q
A A
B n A'B n A'( A,B,A',B'为
常数）
5、等比数列的判定方法：
1）用定义：对任意的 n ，都有 a n1
qa n 或 a
n 1
q(q 为常数， a n 0) { a n } a
n 2）等比中项： 2
a
n
a n 1a n 1( a n 1a n 1
0） {a n } 为等比数列
3）通项公式： a n A B n A B 0
{a n } 为等比数列
依据定义：若 a n q
a n 1
q 0 n 2, 且 n
N * 或a n 1 qa n {a n }为等比数列
1） 若 m n s t(m,n,s,t N *)，则a n a m
a s a t 。特别的，当 m n 2k 时，
得 a n 2
a
m a k
注： a
1 a
n a
2 a
n 1
a 3a n 2
2） 如果{a n }是各项均为正数的 等比数列 ， 则数列 {log a a n } 是等差数列
随堂练习 一、选择题
1. 2005是数列 7,13,19,25,31, L ,中的第( )项.
A. 332
B. 333
C. 334
D. 335
3. 等差数列 3, 7,
11,L ,
的一个通项公式为(
)
A. 4n 7
B.
4n 7 C.
4n 1 D.
4n 1
7．记等差数列的前 n 项和为 s n ，若 S 2 4 ， S 4 20 ，则该数列的公差 d ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ． 6
D ． 7
10. 已知等差数列 a n 的前 n
项和为 S n ， 若 S 7＝14，则 a 3 a 5 的值为(
)
A ．2 B
．
4 C
．
7 D
．8
1. 已知等比数列 {a n } 中a n 1 a n ，且
a 3
a 7
3,a 2 a 8 2 ，
则
a 11 ( )
a 7
1 2 3
A. B.
C
D.
2
2
3
2
2.已知等比数列 {
a n }
的公比为正数，且 a 3 · a 9=2a 52
，
a 2 =1，则 a 1= ( )
12
A. 1
B. 2
C. 2
D.2
22
3. 在等比数列 {a n }中, a 5
16,a 8
8,则 a 11 ( )
A. 4
B. 4
C.
2
D . 2
10. 若 a n 是等比数列 ,前 n
项和
S n
2n
1, 则a 12
2
a 2
22 a 3
2 L a n 2 ( ) n2
A. (2n 1)2
B. 1
(2n 1)2
C. 4n 1
D.
1
(4n 1)
3
3
二、填空题
13.
等差数列 a n 中，a 3 50，a 5
30，则 a 7
.
14.
等差数列 a n 中，a 3 a 5
24，a 2 3，则 a 6
.
15. 已知等差数列 a n 中， a 2与a 6的等差中项为 5， a 3与a 7的等差中项为 7，
则
11. 已知数列 1, a 1, a 2, 4 成等差数列， 1, b 1, b 2, b 3, 4 成等比数列，则 a
1 a
2
b2
_______ 14. 在等比数列 {
a n }
中， a 1 a 2 6,a 2 a 3 12, S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，则
log 2 (S 2010 2) .
三、解答题
17.已知 f(1) 2， f(n 1) 2f(n) 1(n N )，求 f (101).
1
3，a 2 a 5 4，a n 33，试求 n 的值．
1）求数列 {a n } 的通项公式 a n ； 2)若 S n 93,求 n.
16. 等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 S 1, S 3, S 2成等差数列 . 1）求 a n 的公比 q ； 2）若 a 1 a 3 3
，求 S n .
高考真题
一、选择题 :
18. 等差数列 a n 中，已知 a 1 15. 已知等比数列 {a n }满足 a 3 12,a 8
3
, 记其前 n 项和为 S n . 8
（2011 年高考安徽卷文科7）若数列a n 的通项公式是a n （）g（ n ）,则
a a L a
（A）15 （B） 12 （C ）（D）
（2011 年高考全国卷文科6）设S n为等差数列a n 的前n项和，若a1 1，公差d 2，S A 2 S n 24 ，则k
（A）8 （B）7 （C）6 （D） 5
2011 年高考重庆卷文科1）在等差数列a n中，a2 2，a3 4,则a10＝
A．12B．14C．16D．18
（2013 年安徽
文）设S n 为等差数列a n 的前n 项和，S84a3
,a7 2 ，则a9= （）
A. 6
B. 4
C. 2
D.2
（2013 年新课标I
文）
设首项为
1，
公比为错误! 未找到引用
源。
的等比数列{a n} 的前n
项
和为S n ，则（
）
A. S n 2a n 1
B.S n 3a n 2
C. S n 4 3a n
D.S n 3 2a n