浅谈怎么理解频率稳定在概率
频率与概率的关系
频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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数学上“频率”与“概率”的关系？
数学上“频率”与“概率”的关系？我是中考数学当百荟，从事初中数学教学三⼗多年。
说到“频率”与“概率”的关系，⾸先要了解初中数学中基本的统计思想：⽤样本估计总体，⽤频率估计概率；其次，要知道数学试验的统计量：频率=频数/总次数。
频率是通过试验得到的统计量，⽽概率是通过建⽴数学模型，计算得到的理论值。
在⼀定的情况下，可以⽤频率去估计（代替）事件发⽣的概率。
⼀。
⽤样本估计总体统计中，通常通过调查的⽅式获取相关的统计量。
调查通常有两种⽅式：普查和抽样调查。
⽐如：第六次全国⼈⼝普查（2010年11⽉1⽇），就是在国家统⼀规定的时间内，按照统⼀的⽅法、统⼀的项⽬、统⼀的调查表和统⼀的标准时点，对全国⼈⼝普遍地、逐户逐⼈地进⾏的⼀次性调查登记。
这次⼈⼝普查登记的全国总⼈⼝为1,339,724,852⼈这个数据采⽤的就是普查⽅式得到的。
⽽国家统计局每季度发布的居民⼈均可⽀配收⼊、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标，是采⽤抽样调查⽅式获取的。
当统计的总体容量很⼤，调查耗时费⼒，调查成本巨⼤或者试验具有破坏性时，不宜采⽤普查⽅式，就要⽤抽样的⽅式来进⾏统计，然后⽤样本的统计量，去估计总体统计量。
这种统计思想就叫做⽤样本估计总体。
⽐如：某照明企业⽣产⼀批LED灯泡，为统计这批LED灯泡的使⽤寿命，采⽤哪种调查⽅式⽐较适合呢？因为要了解LED的使⽤寿命，按试验要求，就必须将LED灯泡变成“长明灯”，⼀直点亮直⾄⾃然熄灭（寿终正寝）。
这样试验是具有破坏性的，显然不能⽤普查⽅式，只能采⽤抽样的⽅式来进⾏。
从这批LED灯泡中，随机抽取50只灯泡作为⼀个样本，通过试验得到这个样本的平均使⽤寿命为3000⼩时，然后我们就说该企业的这批LED灯泡（总体）的使⽤寿命为3000⼩时。
⼆。
⽤频率估计概率俗话说，天有不测风云，⼈有旦⼣祸福。
这句话从数学的⾓度来理解就是，在⾃然界和⼈类社会中，严格确定的事件是⼗分有限的，⽽随机事件却是⼗分普遍的，概率就是对随机事件的⼀种数学的定量描述。
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10.3.1频率的稳定性同步课件新人教A版必修第二册2
【解题策略】 频率的稳定性应用时的关注点
(1)通过公式fn(A)= n A m 计算出频率,再由频率估算概率.
nn
(2)在用频率估计概率时,要注意试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会 呈现出规律性,即在某个常数附近波动,且这个常数就是概率. (3)在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.
【补偿训练】 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车,某天袁先生准备 在该汽车站乘车前往省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为 了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过一辆,如果第二辆比第一辆好则 上第二辆,否则上第三辆,则他乘上上等车的概率为________.
谢谢观看！
【题组训练】
1.在进行n次重复试验中,事件A发生的频率为 m ,当n很大时,事件A发生的概率
n
P(A)与 m 的关系是 ( )
n
A.P(A)≈ m
B.P(A)< m
n
C.P(A)> m
n
D.P(A)= m
n
n
【解析】选A.对于给定的随机事件A,事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增
加稳定于概率P(A)附近,因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).即P(A)≈ m .
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的 进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率. 【思路导引】用频率作概率,解决实际问题.
Hale Waihona Puke 【思考】 频率与概率有何区别与联系? 提示:
频率与概率的概念、古典概率
频率与概率的联系
频率是概率的近似值，当实验或观察 次数足够多时，频率趋近于概率。
在长期实践中，人们常常根据频率来 估计概率，从而做出相应的决策。
概率是频率的极限值，即当实验或观 察次数趋于无穷时，频率的值就是该 事件的概率。
如何选择频率或概率方法
01
在实际应用中，应根据 具体情况选择使用频率 或概率方法。
02
古典概率
古典概率的定义
古典概率是指在一系列等可能 事件中，某一事件发生的概率。
古典概率的定义基于事件的等 可能性，即每个事件发生的可 能性是相等的。
古典概率通常用于描述那些可 以重复进行且结果已知的实验， 例如掷骰子、抽签等。
古典概率的计算方法
计算公式
$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部 基本事件数}$
频率与概率的关系
频率是概率的估计
通过大量试验或观察，我们可以得到某一事件的频率，这个频率可以作为该事 件概率的一个估计值。
概率是频率的极限
当试验次数趋于无穷时，频率趋于概率。也就是说，如果一个随机事件的频率 在长期观察中稳定在某个值附近，那么我们可以认为这个值就是该事件的概率。
频率与概率的优缺点
频率和概率在统计学、决策理论、贝叶斯推断等领域中都有广泛应用。
如何更好地理解和应用频率与概率
• 了解频率与概率的基本定义和性质：掌握概率的基本性质，如概率的取值范围 、独立性、互斥性等，有助于更好地理解和应用频率与概率。
• 掌握概率计算方法：了解概率的基本计算方法，如加法公式、乘法公式、全概 率公式等，有助于计算复杂事件的概率。
可观察性
频率可以直接通过试验或观察获 得，不需要复杂的数学模型或理 论。
可验证性
《频率的稳定性》频率与概率3 最新小学精品公开课件
【解析】由题意可知试验中摸出红球的频率是0.4，因 此可以认为口袋里摸出红球的可能性是0.4，则口袋里 的球的个数为10÷0.4=25(个)，所以口袋里大约有黄球 15个. 答案：15
5.在一个不透明的口袋中装着大小、外形一模一样的
5个红球、3个蓝球、2个白球，从中任意摸一球，则
1
（1）摸到红球的可能性是 2 .
【归纳升华】
你能用自己的语言描述必然事件发生的可能性吗？不可能 事件呢？不确定事件呢？
人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能 性,用0来表示不可能事件发生的可能性.
不确定事件发生的可能性是 大于0且小于1 .
用下图表示事件发生的可能性： 朝上的数字是6
朝上的数字不是6
投掷一枚均匀的骰子，你能在上图中大致表示出“朝上 的数字是6”和“朝上的数字不是6”发生的可能性吗？
2.有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称 为 不可能事件 ；
必然事件与不可能事件统称为确定事件 3.有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称 为 不确定事件 ,也称_随__机__事__件____.
不确定事件发生的可能性是有大小的.
掷一枚硬币30次， 记录好“正面向上”的次数， 计算出“正面向上”的频率.
因为在n次试验中，事件Ａ发生的频数m满足 0≤m≤n ，所以0≤m/n≤1 ，进而可知频率m/n所稳定到 的常数p满足0≤m/n≤1，因此0≤P(A)≤1.
【做一做】
判断下列哪些事件是必然事件、不可能事件或不确定事件： 1.打开电视机，正在播广告. 不确定事件
2.地球总是绕着太阳转.
必然事件
3.明天的太阳从西方升起来. 不可能事件
心里紧张得不敢呼吸。他在屋里来回踱着步，像一只恼羞成怒的的狮子，嘴里还嘟念着：要不是年底拢账，还没发现这笔钱没上交，你打算什么时候交啊？你这个学生太不像话了……我的脑袋随即开始嗡嗡的叫，站着那里感觉有点头晕。他看我闷不做声，开始咆哮起来，狠狠地说：“我看这样吧！你，现在回家去拿钱，如果三天之内交不上这笔钱，就别来上学了。”瞬间，我像被雷击了一般，我看了看暗沉的天，很小声地问：是现在吗？他显得有些不耐烦，冷冷地说：“对，就是现在。”我眼睛含着泪，语气坚决地回了一句：好！ 推开门，我压抑的泪水如洪水般涌了出来，不知道是委屈，是内疚，还是什么，我泪流满面地回到了宿舍，我边收拾东西边哭，放学回来的同学都问我怎么了，我还强忍着说：没事，但我得回家一趟。她们担心地问：“都这么晚了，还下着雪，还能有车吗？”我咬着嘴唇，抽噎地回道：去看看。
初中数学知识点：频率与概率的关系
初中数学知识点：频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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频率的稳定性-频率与概率
案例二：电力系统中的频率稳定性问题
电力系统中的频率稳定性问题
在电力系统中，频率的稳定性对于保证电力系统的稳定运行至关重要。频率不稳定会导致电力系统的负荷波动， 严重时甚至可能导致系统崩溃。
解决电力系统频率稳定性问题的方法
解决电力系统中的频率稳定性问题需要从多个方面入手，如优化电源配置、进行负荷管理、采用稳定的控制系统 等。
条件概率
一个事件发生的概率，在另一个事件 已经发生的情况下。
期望值
随机变量的平均值，或期望值，通常 表示为E(X)。
方差
衡量随机变量偏离其期望值的程度。
CHAPTER 03
频率稳定性的影响因素
系统因素
设备稳定性
设备的稳定性和可靠性对频率稳 定性有重要影响。设备故障或异 常运行可能会导致频率波动，影
案例三：运动状态的频率稳定性研究
运动状态下的频率稳定性研究
对于运动状态下的系统，如机械振动、电磁振荡等，频率的稳定性是保证系统稳定运行的关键。
提高运动状态下的频率稳定性的方法
提高运动状态下的频率稳定性需要从多个方面入手，如优化机械结构设计、选择合适的材料、进行动 态调整等。
案例四：工业生产过程中的频率稳定性控制
频率稳定性案例分析
案例一：通信系统的频率稳定性优化
频率稳定性在通信系统中的重要性
在通信系统中，频率的稳定性直接影响到信号的传输质量和速度。频率不稳定 会导致信号失真、传输错误等问题，从而影响通信质量。
频率稳定性优化的方法
为了提高通信系统的频率稳定性，可以采用多种方法，如采用高精度的频率源 、进行频率校准、采用稳定的传输介质等。
要点一
工业生产过程中的频率稳定性控 制
在工业生产过程中，尤其是化工、制药等领域，生产过程 中对于温度、压力、流量等参数的频率稳定性要求较高。
浅谈频率和概率的关系
浅谈频率和概率的关系作者：周颜萍来源：《初中生世界·八年级》2014年第04期在学习的过程中，同学们对于概率知识并不陌生，因为我们从小学就开始体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，并能计算一些简单事件发生的可能性. 进入初中以后，我们在具体情景中开始了解概率的意义，初步了解频率与概率的关系. 但是多数同学只记住了用列举法求随机事件的概率，甚至相当一部分同学认为随机事件都是等可能事件，以为解决概率问题都可以套公式计算. 另外，同学们往往只知道用随机事件发生的频率估算概率，并不清楚频率和概率之间的区别. 下面我们就一起来看看频率和概率之间到底有什么关系吧！在多次随机试验中，随着试验次数的增加，如果事件A出现的频率稳定于某个常数q，并且0≤q≤1，则在数学上我们定义事件A的概率为 p，记作P（A）=q，称之为概率的统计定义. 概率的统计定义提供了一个具体值，并且在试验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值，这是概率统计定义最有价值的地方. 由于教材的限制以及初中生的认知水平等原因，理解概率的统计定义是一个难点，如下问题很值得我们探究：①定义中说到的存在“某个常数”到底是一个怎样的数？②能够求出这个常数吗？③既然存在着这个常数，为什么又要求这个常数的近似值呢？④定义中的“稳定于”该怎样去理解呢？要解决上述问题，首先必须了解概率的统计定义的基本内容和其中的一些关键词语，充分理解概率的统计概念的内涵.1. 频率稳定于概率是对大量的试验而言的概率论里研究的随机试验，可以在相同条件下重复进行，如果某个试验只能进行一次，那么某一事件A要么肯定会发生，要么就不会不发生，在这样的条件下得出的结果根本无随机性可言，更谈不上发生的可能性的大小了. 事实上，频率稳定于概率这个结论是针对大量的试验而言的. 如果在试验次数不多的前提下，用频率来估计概率是不太合适的. 例如，只做了10次抛掷均匀硬币的试验，其中有7次正面朝上，就认为正面朝上的概率大约为0.7，其误差就较大了，所以频率稳定于概率是对大量的实验而言的.2. 频率与概率既有密切的联系，又有本质的区别由于概率是通过大量重复试验统计的，所以在利用概率思想进行决策时，会产生理解上的困难. 因此，只有深刻理解概率与频率的关系以及概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义.（1）概率是随机事件的本质属性，完全决定于事件的本身，是先于试验而客观存在的，它不会随着试验次数的增加而发生变化. 如抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率是0.5，与做多少次试验无关.（2）频率是个随机变化的数值，在开始试验之前是不能确定的，事件发生的频率反映在n次重复试验中，试验结果和总的试验次数n有关，即重复试验的总次数n不同，结果（频率）可能不同，而且即使重复试验的次数n相同，事件出现的次数k也可能不同，结果（频率）也就可能不同. 频率是一个随着试验次数的增加可能发生变化的统计量.（3）在大量的重复试验中，事件发生的频率会趋近于概率. 在实际问题中，通常在某随机事件概率未知的前提下，我们正是通过多次重复试验，求得随机事件的频率，并用它来估计随机事件发生的概率.（4）事件发生的频率客观上能够体现事件概率的含义，即在多次重复试验中，一个事件发生的频率越大，说明在一次试验中该事件发生的可能性越大；如果重复试验中事件发生的频率越小，说明该事件再一次试验发生的可能性越小. 反过来，事件发生的概率也应该体现在事件的频率上，即事件的概率越大，在重复试验中，该事件发生得越频繁，频率也越大；同样如果事件A的概率较小，它在重复试验中的频率也较小. 这说明概率的现实意义是可以用频率来解释的，它能帮助人们做出合理的决策，但这并不意味着可以用频率来代替概率.（5）尽管某个事件发生的概率较大，也就是说该事件发生的可能性较大，但是，在一次或几次试验中该事件也可能不发生. 同样，尽管某个事件的概率较小，但是在一次试验中该事件也可能发生. 这正是事件的随机性与概率的确定性的区别. 概率只是一种理论上的推断事件发生可能性的大小，并不是真实发生的结果，如在购买彩票的过程中，购买一张彩票中特等奖的概率很小，但不意味着就一定不会中奖.3. “稳定于”的实际意义频率“靠近”概率是可以直接观察到的一种客观现象，而通过实践又可以证实，概率很接近1的事件在一次试验中几乎一定会发生，这就是为什么可以“用频率估计概率”的理由.4. 定义中的“常数”本质是一种理论上的推断概率实际上是频率的科学抽象. 在概率的统计定义中，只说到存在“某个常数”，并没有说到如何求这个常数，即求概率值. 无论是谁去抛一枚均匀的硬币，在试验次数很大时，正面朝上的频率，都会在常数0.5附近摆动. 在大量的实验结果中，正面朝上和反面朝上的比例约为1∶1，古今中外的多次随机实验的结果中，这一比值大致相同，这个结果是不会以人的意志为转移的. 这些事实让我们相信，事件发生的概率是客观存在的. 但无论是根据概率的统计定义或公理化定义，我们都是在承认事件发生的概率是客观存在的前提下进行的. 因此，随机事件的概率本质上是以大量随机试验为基础，然后在此基础上的一种理论上的推断，也就是说概率实际是频率在理论上的一种期望值，这个理论上的期望值，严格来说是无法通过具体试验精确地确定的，即使重复试验的次数再多也不能做到，因此我们只能由此粗略地确定一个近似值. 当然，当试验次数很大时，我们可以得到比较接近准确值的“近似值”，而在实践中，较高精度的近似值可以帮助我们来进行判断和分析.5. 实验次数越多，频率就会越接近概率的说法不一定正确用频率估计概率，有人认为“试验次数越多，用频率估计概率就越准确”. 这样的叙述严密吗？极端特例：掷一枚硬币两次，得到正面朝上的频率为0.5，而掷1 000次硬币，理论上仍有可能得到频率为1. 说明“试验次数越大，估计就越准确”，这样的表述不严密.随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验中呈现出的固有规律，我们称之为随机现象的统计规律. 因而在一般情形下，观察与试验是认识随机现象和发现与解决概率问题的一种有效方法.（作者单位：江苏省常州钟楼实验中学）。
10.3.1频率的稳定性(上课课件)
第十章 概率
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，
我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男
婴的比率，精确到0.001)；
(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这
小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率
1
100
2
100
3
100
…
合计
每组中4名同学 的结果一样吗?
为什么会出现 这样的情况?
第十章 概率
比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情 况下，事件A发生的频率.
(1)各小组的试验结果一样吗?为什么会出现这种情况? (2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律?
只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象 条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了,那么应该认 为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可 以认为预报不太准确.
第十章 概率
课堂检测
1.下列说法正确的是( D )A．由生物学知道生男生女的概
本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获
赔金额为4 000元的概率．
第十章 概率
第十章 概率
规律方法
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用 此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时， 频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频 率，然后用频率估计概率．
北师大版七年级下册数学《频率的稳定性》概率初步教学说课课件
验条件下,对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据:
种子
数n
发芽
数m
发芽频
率
30
75
130
210
480
856
1 250
2 300
28
72
125
200
457
814
1 187
2 185
0.933 3 0.960 0 0.961 5 0.952 4 0.952 1 0.950 9 0.949 6 0.950 0
D．小明步行的速度是每小时50千米
4.从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1 000
2 000
5 000
发芽种子粒数
85
298
652
793
1 604
4 005
发芽频率
0.850
0.745
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为______.(精确到0.1)
0.5
2.如图,转动转盘,指针指向阴影部分的可能性为 a,指向空白
部分的可能性为 b,则( C )
A.a>b
B.a<b C.a=b
D.无法确定
3.已知一个布袋里装有 2 个红球,3 个白球和 a 个黄球,这些球
除颜色外其余都相同.若从该布袋里任意摸出 1 个球,是红球
的概率为 ,则 a 等于( A )
6.2 频率的稳定性
学习目标
1、学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养
频率与概率的关系公式
频率与概率的关系公式
在概率论中，频率与概率之间的关系可以通过大数定律来解释。
大数
定律指出，当重复进行一些随机实验时，频率会逐渐趋近概率。
也就是说，随着实验的次数增加，事件发生的频率会越来越接近其概率。
假设事件A发生的次数为n，总实验次数为N。
频率可以表示为
f(A)=n/N
而概率可以表示为
P(A) = lim(N -> ∞) n/N
这里的lim表示当N趋近于无穷大时，n/N的极限值。
也就是说，当
实验次数足够多时，事件A发生的频率会逐渐趋近于事件A发生的概率。
除了大数定律，还有一些其他的关系公式可以描述频率与概率之间的
关系。
1.绝对频率与相对频率：
绝对频率是指事件发生的实际次数，而相对频率是指事件发生的次数
与总次数的比值。
绝对频率可以表示为
f(A)=n
相对频率可以表示为
f(A)=n/N
2.概率与频率的关系：
当实验次数足够大时，频率会逐渐趋近于概率。
也就是说，频率可以作为概率的估计值。
这可以表示为
P(A)≈f(A)
这个公式说明了频率可以用来估计概率，但是只有当实验次数足够多时才能得到比较准确的结果。
3.几何概率与频率的关系：
在几何概率中，事件的概率可以通过对事件发生的次数进行标准化得到。
这里的标准化是指将事件发生的次数除以总次数。
所以，事件的几何概率可以表示为
P(A)=f(A)/N
这个公式说明了几何概率与频率之间的关系，几何概率可以通过频率来计算。
《频率的稳定性》概率初步
03
频率的稳定性的计算方法
频率的稳定性的计算公式
频率稳定性计算公式
频率稳定度通常用频率偏移与标称频率的比 值表示，即 Δf/f。其中，Δf是实际频率与标 称频率的偏差，f是标称频率。频率稳定度 越高，意味着频率偏差越小，信号质量越佳 。
频率稳定度的单位
频率稳定度的单位通常是赫兹（Hz），也 可以用百分比表示。在用百分比表示时，频
在物理学、经济学、工程学等领域中，频率的稳定性被广泛应用于信号处理、数据分析、模型预测等 方面。
频率的稳定性的重要性
频率的稳定性是时间序列数据的一个重 要特征，它可以反映出一个系统的内在 规律和性质。
在数据分析中，频率的稳定性对于预测未来 的趋势和变化具有重要意义，因为稳定的频 率可以提供更可靠和精确的预测结果。
THANKS
感谢观看
率稳定度 = (Δf/f) × 100%。
频率的稳定性的计算实例
要点一
例子1
一个10 MHz的信号源，其频率稳定度为10 Hz，那么 它的频率偏差为 Δf = 10 Hz，标称频率 f = 10 MHz 。根据频率稳定度的计算公式，其频率稳定度为 (Δf/f) × 100% = (10 Hz/10 MHz) × 100% = 0.01%。
03
风险管理模型
频率稳定性对于构建风险管理模型也 至关重要。这些模型通常基于历史数 据和分析，以预测和减轻潜在的市场 风险。
在气象预报中的应用
气候预测
频率稳定性在气候预测中发挥重要作用。通过对历史气象数据的频率分析，可以预测未来一段时间内 的天气趋势，为农业、交通和能源等行业提供决策依据。
天气预报
06
频率的稳定性在概率初步中的应 用
在金融风险管理中的应用
概率的稳定性
同一情况下
条件
试验次数足够多
计算
概率的取值范围
利用多次重复试验的频率来估计事件的概率
频率的稳定性概念及理解
频率与概率的概念
概率的取值范围
0
1 2
50%
1 ( 100 %)
不可能 发生
可能发生
必然 发生
事件A不可能发生概率为p(A)=0 假设事件为A
事件A必然发生概率为p(A)=1
事件A可能发生概率为0≤p(A)≤1
1、小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字她把卡片放在 一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：
实验次数 3的倍数的 频数 20 5 40 13 60 17 80 26 100 32 120 36 140 39 160 49 180 55 200 61
3的倍数的 0.25 频率
5．随意抛掷两个均匀的骰子，Ｐ（朝上面的点数之和为１） 0 ＝＿＿＿；
5
27
6.关于频率和概率的关系，下列说法正确的
是（ B） A.频率等于概率 B.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D.试验得到的频率和概率不可能相等
主讲：林鹤
概率的取值范围
利用多次重复试验的频率来估计事件的概率
频率的稳定性概念及理解
频率与概率的概念
频率与概率的概念
m 1、在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则 n
称为事件A发生的频率。 2、一般的大量试验中，我们常用不确定事件A发生的 频率来估计事件发生的概率。
概率的取值范围
利用多次重复试验的频率来估计事件的概率
0.325 0.283 0.325 0.320 0.300 0.279 0.306 0.306 0.305
高中数学必修二课件：频率的稳定性
【解析】 由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某 个事件A发生的频率f(n)，随着n的逐渐增加，频率f(n)逐渐趋近于概率．故选D.
【解析】 随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误； 随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正 确； 频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验 次数无关，故③④错误； 由频率与概率的关系可知⑤正确．
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
又从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频 数m＝40，由概率的统计定义可知P(A)≈54000，②
思考题2 (1)某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一
定能击中9次？
【思路】 某射手击中靶心的概率为0.9只是击中靶心的可能性的大小．而 射击10次，击中的次数有可能小于9，有可能等于9，还有可能为10.
【解析】 从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击 10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为0.9n， 其中n为射击次数，而且当n越大时，击中的次数就越接近0.9n.
【解析】 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大 小，即合格的概率．故选D.
题型三 用频率估计概率
例3 (2020·北京，节选)某校为举办甲、乙两项不同的活动，分别设计了相
应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学
七年级历史下册6.2频率的稳定性拓展知识概率的统计定义素材北师大版(new)
概率的统计定义在相同条件下，进行重复随机试验,如果随着试验次数的增多，事件A出现的频率稳定于某一常数p,则称这个常数p为事件A的概率。
记作p(A)=p,这就是概率的统计定义﹝Statistical Definition of Probability﹞。
当试验次数相当大时,频率稳定于某一常数这一性质,最初是在人口统计方面注意到的。
除了在人口统计方面，法国的蒲丰﹝1707—1788﹞和英国统计学家皮尔逊﹝1857—1936﹞还做了大量的掷钱、掷骰子的试验，证明了当试验次数相当大时，频率稳定于某一常数.下面是他们掷钱试验的结果:尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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频率的稳定性频率与概率 教学PPT课件
表中的数据支持你发现的规律吗?
学习新知
1、 在实验次数很大时事件发生 的频率，都会在一个常数附近摆动， 这个性质称为 频率的稳定性。 2、我们把这个刻画事件A发生的 可能性大小的数值，称为 事件A发生的概率，记为P(A)。 一般的，大量重复的实验中，我们常用不 确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概 率。
正面出现 的频率 m/n 0.5069
0.5005 0.4979
德∙摩根 4092 费 勒 10000
历史上掷硬币实验
试验者
皮尔逊 皮尔逊 维 尼 罗曼诺 夫斯基
投掷 次数n 12000 24000 30000 80640
正面出现 次数m 6019 12012 14994 39699
正面出现 的频率 m/n 0.5016 0.5005 0.4998 0.4923
掷硬币实验
(2)累计全班同学的试验结果, 并将实 验数据汇总填入下表：
实验总次数 正面朝上 的次数 正面朝上 的频率 正面朝下 的次数 正面朝下 的频率 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 10 22 32 41 47 57 67 79 89 99
10 18 28 39 53 0.5
第六章 频率与概率
频率的稳定性
频率：在n次重复试验中，不确定事件 A m 发生了m次，则比值 n 称为事件 发生的频率。
小明共做了400次掷图钉游戏，并记录了 游戏的结果绘制了下面的折线统计图，观察 图像，钉尖朝上的频率的变化有什么规律？
钉尖朝上的频率
1.0 0.8 0.6 0.4
0.2
20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
6、小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 的概率为 2 ,那么，抛掷100次硬币，你 能保证恰好50次正面朝上吗？
随机事件必然事件不可能事件关系频率的稳定性频率和概率的区别与联系
一、频率的稳定性即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率；二、“频率”和“概率”这两个概念的区别是频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
三、随机事件的定义：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
必然事件的定义：必然会发生的事件叫做必然事件；不可能事件：肯定不会发生的事件叫做不可能事件；概率的定义：1.在大量进行重复试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动。
这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
2.m，n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。
3.因0≤m≤n，所以，0≤P（A）≤1，必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。
四、随机事件概率的定义：对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，事件A发生的频率总是接近于区间[0，1]中的某个常数，我们就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
五、必然事件包括不可能事件吗必然事件不包括不可能事件。
必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。
必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定为必然事件。
不可能事件：概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。
必然事件和不可能事件统称为确定事件。
概率论术语：表示在一定条件下，必然出现的事情。
如从混有四件次品的产品中任意抽取五件，那么“其中必有一件是正品”就是一个必然事件。
是随机事件的一种极端情形。
必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定为必然事件连续型随机变量X，取值为样本空间中任意有限个点的概率为0，从整个样本空间剔除这有限个点，取到'非该有限个点'概率依然为1。
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浅谈怎么理解频率稳定在概率
概率是研究随机现象的一门学科。
随机现象跟我们其他的现象，或者跟确定性现象有什么不同呢？
第一，就是它的不确定性，也就是在相同的条件下做一件事，可能是这个结果，也可能是那个结果。
举例说，掷一枚硬币，事先谁也无法预料，到底是正面朝上还是反面朝上。
第二，就是要能够重复做实验，或者说近似地认为它可以重复做实验，不是说所有的不确定性都是用概率来解决的。
那么重复做实验以后，人们发现每一次虽然无法确定，但是重复做实验中，它会呈现一种稳定性。
所以有人把它叫做偶然中的规律性，我觉得是有一定的道理。
如果一点规律都没有的话，可能就不会有这个学科的产生了。
那么，怎样理解频率稳定在概率，是不是试验次数越多越接近二分之一，有的学生提到的：我们猜想的是10个硬币中应该出现5正5反，结果却出现了9正1反这样的极端情况，这是为什么？现在就很好理解了，因为它是不确定的，既可以出现9正1反，甚至也可能会出现0正10反，当然这种可能性就比较小，这正是不确定性的一种体会。
所以我们在教学中就可以往这方面引导：同样的
做10次，为什么我们的结果会不一样。
那么，这么不确定，怎么理解正面朝上的概率是1/2呢。
首先把频率和概率这两个概念分清楚。
频率，是正面朝上的次数/实验总次数，它是不确定的，因为你每次做的情况不一样，当然正面朝上的次数可能不一样，再除以总次数，可能是不一样的，频率是可以变化的，概率是一个确定的值，一定要注意这个不一样，有的时候我们喜欢说概率也是不确定的，这是一种混淆，我想慢慢学习弄清楚就可以了。
什么叫大量重复实验频率稳定在概率，并不是说我做了一万次以后，统计那时候的正面朝上的次数就正好是五千次，并不是这样。
而是说有这么一个趋势，所以在做概率实验中，有一个小的误区，就是现在也累加，但是就只看最后的结果。
比如说做了三百次实验，算完了以后把最后三百次中的正面朝上和反面朝上拿出来，结果一个160多，一个130多，好像不是1/2，觉得差得还挺多。
它不是一定就是1/2，而是说这个趋势，开始的时候波动可能是比较大的，到后来也有波动大的情况但是非常少了，它逐步逐步就稳定在这样的一种情况，即正面朝上的频率稳定在1/2。
而且并不是实验次数越多就一定是越接近。