高考物理中的数学方法(一)全解析版

1.(2014上海)如图，在竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻

质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h.当B静止在与竖直反向夹角

θ=30°反向时，A对B的静电力为B所受重力的倍，则丝线BC长度

为.若A对B的静电力为B所受重力的0.5倍，改变丝线长度，是B

仍能在θ=30°处平衡.以后由于A漏电，B在竖直平面内缓慢运动，到θ=0°

处A的电荷尚未漏完，在整个漏电过程中，丝线上拉力大小的变化情况

是。

解:当静止在与竖直方向夹角方向时,对的静电场力为所受重力的倍,

对受力分析,,与,将与合成,则有:;

解得:，

根据几何关系,可知,;

当对的静场力为所受重力的0.5倍,B仍能在30°处平衡,

长与AC长之比;

当在漏电过程中,电场力在渐渐变小,直到为零,而拉力的大小却不变;

由题意可知,此时AB与BC垂直,BC长度小于AC,

根据长度之比等于力之比的关系,可知,线的拉力小于此时的重力;

当达到处,线子的拉力等于重力,则拉力变大,

故答案为:;先不变,后增大.

2．（2017天津）明代学者方以智在《阳燧倒影》中记载：“凡宝石面凸，则光成一条，有数棱则必有一面五色”，表明白光通过多棱晶体折射会发生色散现象。如图所示，一束复色光通过三棱镜后分解成两束单色光a、b，下列说法正确的是（）

A．若增大入射角i，则b光先消失

B．在该三棱镜中a光波长小于b光

C．a光能发生偏振现象，b光不能发生

D．若a、b光分别照射同一光电管都能发生光电效应，

则a光的遏止电压低

【答案】D。根据几何关系有：α＋β＝A，根据折射定律：sin i＝n sinα，

增大入射角i，α增大，β减小，而β增大才能使b光发生全反射，

所以A错。波长长的折射率小，a的波长长频率低，B错D对。横

光都能发生偏振现象，C错。

1.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同

答案：C

2．(2017全国Ⅰ)（多选）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角α（

π

2

α>）。现将重物向右

【答案】AD

【解析】由题意可知，重物在运动过程中受重力，MN绳拉力T MN，OM绳拉力T OM，T MN与

T OM夹角保持不变。在某一时刻三个力受力分析示意图如图所示

将此三个力平移为矢量三角形如图所示

因为mg大小方向不变。T MN与T OM的夹角不变，故可将三个力平移入圆中，mg为一条固定的弦（固定的弦所对应的圆周角为定值）。

上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程中( )

A．MN上的张力逐渐增大

B．MN上的张力先增大后减小

C．OM上的张力逐渐增大

D．OM上的张力先增大后减

由图可得T MN从0逐渐变为直径，故T MN逐渐增大，A对B错，T OM先从弦变为直径再变为弦，故T OM先变大后变小，C错D对，故选AD。

（1）从图中可以看出，在t＝2 s内运动员做匀加速运动，其加速度大小为

设此过程中运动员受到的阻力大小为f，根据牛顿第二定律，有mg－f＝ma

得f＝m(g－a)＝80×(10－8) N＝160 N

格合起来算一格，两个半格算一格）每格面积为4m2，14s内数得的格数大约为40格，所以14s内运动员下落的高度为：h=40×2×2m=160m

根据动能定理，有

所以有

(3)14 s后运动员做匀速运动的时间为

运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间

t总＝t＋t′＝(14＋57) s＝71 s

2.如图（a）所示，倾斜放置的光滑平行导轨，长度足够长，宽度L=0.4m，自身电阻不计，上端接有R=0.3Ω的定值电阻．在导轨间MN虚线以下的区域存在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度B=0.5T的匀强磁场．在MN虚线上方垂直导轨放有一根电阻r=0.1Ω的金属棒．现将金属棒无初速释放，其运动时的v-t图象如图（b）所示．重力加速度取g=10m/s2．试求：

（1）斜面的倾角θ和金属棒的质量m；

（2）在2s～5s时间内金属棒动能减少了多少？此过程中整个回路产生的热量Q是多少（结果保留一位小1.总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直

升机上跳下,经过2 s拉开绳索开启降落伞,如图所

示是跳伞过程中的v-t图,试根据图象求：(g取10

m/s2)

(1)t=1 s时运动员的加速度和所受阻力的大小.

(2)估算14 s内运动员下落的高度及克服阻力做的

功.

(3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间.

（1）在0～2s时间内，金属棒受力如图所示，合力为：F合=mgsinθ

根据牛顿第二定律得：F合=ma

由图象知：a=6m/s2。解得：θ=37°

在t=5s之后金属棒做匀速运动，且v

2

=6m/s；金属棒受力平衡，沿轨道平面有

,解得m=0.1kg

(2)2s～5s内金属板初速度v

1

=12m/s，v2=6m/s，动能减少量Δ

由动能定理

安

2s～5s内金属棒位移为v-t图象相对应的“面积”，为：

S=（15×6+23）×1×0.2m=22.6m，金属棒的位移为s=22.6m

功是能量转化的量度，在2s～5s过程金属棒克服安培力做功W安=Q

代入数据解得：Q=19.2J

答：（1）斜面的倾角θ为37°，金属棒的质量m为0.1kg；

（2）在2～5s时间内金属棒的动能减小量为5.4J，整个回路产生的热量Q是19.2J（19.2J-18.7J都对）。

1.(普陀二模2017)如图，穿在一根光滑固定杆上的小球A、B通过一条跨过定滑轮的轻质细绳连接，B球的质量为m，杆与水平方向成θ角，不计所有摩擦，当两球静止时，OA绳与杆的夹角为θ，OB绳沿竖直方向。此时，细绳对小球的拉力为_______，A球的质量_______。

根据共点力平衡条件，得： T=m B g

【解法一】

a

b c

α

β

m

，，

【解法二】

(1)设小球摆到的最大角度为α，根据动能定理得，FLsinα﹣mgL （1﹣cosα）=0，

又F=mgtanθ，解得α=2θ，即在C 点的速度为零．可知小球先加速后减速，故A 、C 正确．

(2)或者根据动能定理：

，解得 ，所以小球先加速，

后减速，故A 、C 正确；

在B 点，小球的速度不为零，则向心加速度不为零，所以加速度不为零，故B 错误． 在C 点，速度为零，小球受重力和拉力，沿绳子方向的合力为零，则小球所受的合力为mgsin2θ﹣mgtanθcos2θ=mgtanθ，则C 点的加速度为gtanθ，故D 正确． 故选：ACD ．

, ，

3．（2012上海）如图，质量分别为m A 和m B 的两小球带有同种电荷，电荷量分别为q A 和q B ，用绝缘细线悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平位置，细线与竖直方向间夹角分别为θ1与θ2（θ1＞θ2）。两小球突然失去各自所带电荷后开始摆动，最大速度分别为v A 和v B ，最大动能分

答案：

ACD 分析：对小球，均受重力mg 和水平库仑力F 和细线的拉力T ，根据平衡条件可知：F ＝mgtanθ，根据牛顿第三定律可知F A ＝F B ，又因为θ1＞θ2，所以有m A ＜m B ，与电量q 无关，故选项A 正确；选项B 错误；当两球所带电荷突然失去后，库仑力突然消失，两球将分别绕悬点摆动，摆动过程中只有各自的重力做功，以开始时两球的水平连线所在水平面为零势能面，则有E A ＝E B ，根据机械能守恒定律可知，摆到最低点时速度最大，动能亦最大，有：mgl(1－cosθ)＝

，解得： ，根据图中几何

关系可知：l A cosθ1＝l B cosθ2，结合θ1＞θ2，可以判断出l A ＞l B ，有v A ＞v B ，故选项C 正确；运用半角公式，

别为E kA 和E kB 。则（ ）

（A ）m A 一定小于m B （B ）q A 一定大于q B （C ）v A 一定大于v B （D ）E kA 一定大于E kB

2.(2015上海)如图，质量为m 的小球用轻绳悬挂在O 点，在水平恒力F=mgtan θ作用下，小球从静止开始由A 经B 向C 运动。则小球（ ） A 先加速后减速 B 在B 点加速度为零 C 在C 点速度为零 D 在C 点加速度为gtan θ

显然有：F A l A cosθ1＝F B l B cosθ2、＞，所以有：E kA＞E kB，故选项D正确。

4．（2012上海）在“利用单摆测重力加速度：的实验中

（1）某同学尝试用DIS测量周期。如图，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆

下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。图中磁传感器的引出端

A应接到__________。使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球

位于__________。若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周

期的测量值为__________（地磁场和磁传感器的影响可忽略）。

（2）多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T后，分别取L

和T的对数，所得到的lg T-lg L图线为______（填“直线”、“对数曲线”或“指数曲

线”）；读得图线与纵轴交点的纵坐标为c，由此得到该地的重力加速度g＝__________。

答案：数据采集器，最低点（或平衡位置），，（2）直线，

（1）只有小球在最低点时，磁感应器中的磁感强度才最大；连续N个磁感应强度最大值应有N-1个时间间隔，这段时间应为（N-1）/2个周期，因此

（2）根据：，取对数得：因此图象为一条直线；图象与纵坐标交点为C，则整理得：

1.（2015上海）两辆完全相同的汽车，一辆满载，一辆空载，所受的阻力与质量成正比，且与速度大小成正比，在相同的平直公路上行驶，则（）

（A）它们具有相同的最大速率（B）最大速率与质量成反比

（C）它们具有相同的最大动能（D）最大动能与质量成反比

2

1.图甲所示，为测定物体冲上粗糙斜曲能达到的最大位移．x与斜面倾角θ的关系，将某一物体每次以不变的初速率v0沿足够长的斜面向上推出，调节斜面与水平方向的夹角θ，实验测得x与斜面倾角θ的关系如图乙所示，g取10m/s2，根据图象可求出（）

A、物体的初速率v0=3m/s

B、物体与斜面间的动摩擦因数

μ=0.75

C、当θ=30°时，物体达到最大位移后将沿斜面下滑

D、取不同的倾角θ，物体在斜面上能达到的位移x的最小值x min=1.44 m

解：A、由图可知，当夹角θ=0时，位移为2.40m；而当夹角为90°时，位移为1.80m；则由竖直上抛运动规律可知：v02=2gh；解得：故A错误；

B、当夹角为0度时，由动能定理可得：，解得：μ=0.75，故B正确；

C、若θ=30°时，物体受到的重力的分力为；

摩擦力°；一般认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力；故小球达到最高点后，不会下滑，故C错误；

D、

解得：，当θ+α=90°时，sin（θ+

α）=1；此时位移最小，x=1.44m；故D正确；

故选：BD．

2.（2017全国Ⅱ）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物

答案：B

【解析】设轨道半径为R，物块到达最高点的速度为v1，平抛时间t，最远位移为s。则

当s有最大值时，

3．（2012上海）如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为 ，棒左

侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为R 0。以ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B 。在t ＝0时，一水平向左的拉力F 垂直作用于导轨的bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a 。

（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式； （2）经过多少时间拉力F 达到最大值，拉力F 的最大值为多少？

（3）某一过程中回路产生的焦耳热为Q ，导轨克服摩擦力做功为W ，求导轨动能的增加量。

总

（2）导轨受安培力

由牛顿第二定律 （3）设此过程中导轨运动距离为s ，由动能定理W 合＝?E k ，摩擦力为F f ＝μ（mg ＋F A ），摩擦力做功为

W ＝μmgs ＋μW A ＝μmgs ＋μQ ，s ＝W －μQ μmg ，?E k ＝Mas ＝Ma

μmg （W －μQ ）