Nd_Fe_B粉末颗粒间的磁团聚现象及有限元模拟计算_何叶青
文章编号:1001-9731(2002)02-0154-03
Nd-Fe-B粉末颗粒间的磁团聚现象及有限元模拟计算
何叶青1,周寿增2,宋 琪1,白 山1,胡伯平1
(1.北京中科三环高技术股份有限公司,北京100080;2.北京科技大学新金属材料国家重点实验室,北京100083)
摘 要: 用扫描电镜(SEM)观察了Nd-Fe-B磁粉颗粒之间的磁团聚现象。对呈自然松散状态的N d-Fe-B磁粉的磁化曲线测量结果表明,磁团聚现象是造成N d-Fe-B磁粉难以充分取向的重要原因。用有限元数值分析方法对N d-Fe-B磁粉颗粒之间的磁团聚相互作用进行了模拟计算。结果表明,随着N d-Fe-B粉末颗粒间距的减小,颗粒之间的磁团聚作用力明显增大。当Nd-F e-B粉末中存在α-F e时,颗粒之间的磁团聚作用力明显高于无α-Fe时的磁团聚力。由于大部分有效取向外磁场被磁团聚效应抵消了,用通常的取向外磁场(≤2.0T)难以使Nd-Fe-B 磁粉充分取向。
关键词: N d-Fe-B粉末;磁团聚;有限元;磁场取向
中图分类号: T M271 文献标识码:A
1 引 言
烧结Nd-Fe-B磁体的取向度对磁体的磁性能有着重大影响[1],已有的工作表明[2],在Nd-F e-B磁粉的取向压型过程中,通常的取向静磁场(≤2.0T)难以使磁粉充分取向;Y. K aneko[3]等人观察到,即便取向外磁场增加到8T,获得的N d-F e-B烧结磁体取向度仍达不到理想状态。本文观察了Nd-Fe-B 粉末颗粒之间的磁团聚现象,并用有限元数值分析方法对其进行了二维模拟计算。结果表明,存在于N d-Fe-B粉末颗粒与颗粒之间强烈的磁团聚效应,是造成通常取向静磁场难以使磁粉充分取向的原因。
2 实验方法
将成分为(N d0.95Dy0.05)15.5(Fe0.99Al0.01)78.0B6.5(原子分数)的铸锭,在纯度为99.99%N2保护下用气流磨粉碎成平均粒度为4.8μm的粉末。用SEM观察磁粉的团聚状况,用振动样品磁强计测量在自然松散状态下磁粉的磁化曲线。另将粉末在1.9T静磁场下进行取向压型,经1100℃气淬炉烧结后,制作成直径为12.5mm,高为32mm的圆柱形磁体,切割成直径为3mm,高为5mm的圆柱形样品后,用11.0T强脉冲磁场磁强计测量磁体的磁滞回线。
3 结果与讨论
3.1 N d-Fe-B粉末颗粒的磁团聚现象
图1给出了(Nd0.95Dy0.05)15.5(Fe0.99Al0.01)78.0B6.5气流磨粉末的低倍形貌。可以清楚地看到,在N d-Fe-B粉末颗粒间存在强烈的团聚现象。图2a是呈自然松散状态的Nd-Fe-B磁粉的磁化曲线,图2b是用强脉冲磁场测量的用该磁粉制备的烧结态磁体的磁滞回线的一象限部分。可以看到,该磁体的饱和磁极化强度为1.4T,而在图2a中,即便磁粉处在自然松散状态,当外磁场增加到约1.7T时,磁粉的磁极化强度仅为1.29T,远未磁化到饱和。对于呈完全自然松散状态的磁粉,颗粒与颗粒之间的机械阻力和摩擦力是很小的。说明Nd-Fe-B粉末颗粒与颗粒之间的磁团聚力非常强,通常的取向静磁场(≤2.0T)难以平衡该团聚力,因而即便是呈完全自然松散状态的磁粉,也难以被磁化到饱和。为进一步了解Nd-Fe-B粉末颗粒之间的磁团聚现象,下面我们用有限元数值分析方法对其进行二维模拟计算。
图1 (Nd0.95Dy0.05)15.5(Fe0.99Al0.01)78.0B6.5气流磨粉末的团聚形貌
Fig1M icrograph of(Nd0.95Dy0.05)15.5(Fe0.99A l0.01)78.0B6.5jet milling
powders
图2 呈自然松散状态的(Nd0.95Dy0.05)15.5(F e0.99Al0.01)78.0B6.5
(a)粉末的磁化曲线(b)烧结磁体的磁滞回线
Fig2M agnetization curve and hysteresis loop of(Nd0.95Dy0.05)15.5
(F e0.99Al0.01)78.0B6.5po wders and sintered magnet respec-
tively(a)M agnetization curve of loose powder s;(b)Hys-teresis loop of sintered mag net
3.2 Nd-Fe-B粉末颗粒磁团聚的有限元数值计算
3.2.1 计算原理与边界条件
任意一磁路问题都可归结为求解安培方程:
基金项目:国家自然科学基金资助项目(69878011)收稿日期:2001-01-07
o∫C H(r)·d l=∫S J(r)·n d a(1)式中H(r)为磁场强度,J(r)为电流密度,r是用沿座标轴的单位矢量写出的距离矢量(r=r x e x+r y e y+r z e z),n是垂直于表面S的单位矢量,C为包围表面S的线积分路径。引入矢量位A (r):
B(r)=×A(r)(2)将磁力线定义为处处与磁感应强度相切的线,磁感应强度的方向与磁力线方向相同,其大小与磁力线的密度成正比。对于二维平面问题,磁力线方程满足[4]:
B×d l=0(3)即:
d y d x =
B y
B x
(4)
考虑B(r)为位于x-y平面内的二维矢量,可以将矢量位A(r)选择为垂直于该平面,只有A z分量为非零值,故有:
B=×A(r)=A z
y
e x-
A z
x
e y(5)
将(5)式中B(r)的分量代入(4)式可得:
A z
x d x+A z
y d y=d A z
=0(6)
该式表明,引入矢量位A(r)后,A z=常数的轨迹即为磁力线。考虑
γ(|B(r)|)B(r)=μ0H(r)(7)式中γ(B(r))为介质的磁阻率,μ0为空气的导磁率。将其代入(1)式,有:
o∫Cγ(|B|)×A·d l=μ0∫S J·d a(8) 这样,按上式解出A z,便可由(5)式求出B(r)。
用有限元方法求解磁路问题时,将整个待求解的区域划分成有限个规则三角形的网格,并假定在每一个三角形小区域内,介质的磁阻率为常数。在每一个网格点上按(8)式建立方程,在边界条件约束下,对在所有网格点上所建立的方程组进行迭代求解。
本计算问题的边界条件是:(1)在已知永磁体退磁曲线的情况下,任意形状磁体的磁阻率可由退磁曲线给定[5]。(2)根据磁力线连续原理,在铁磁材料与空气的分界处,B的法向分量连续,即:
B1n=B2n(9) (3)在本问题中,假定至少有一个磁粉颗粒的易磁化轴在y方向(见图3),故可在本问题的外轮廓边界上定义两类自然边界条件[6]:
定义上边界与下边界为Neumann型边界,磁力线垂直于这些边界,即B t=0;
定义左边界与右边界为Dirichlet型边界,磁力线平行于这些边界,即B n=0。
用美国Los Alamos国家实验室开发的软件LA NL/PO IS-SON SUP PERF ISH求解本问题。
3.2.2 计算结果与讨论
假定有3个边长为3μm的正六边形Nd-Fe-B颗粒,它们彼此相距0～1μm并成如图3所示的磁团聚状态,其易磁化轴与x 轴的夹角分别为150°、270°和30°。并假定:
(1)忽略系统中颗粒与颗粒之间的机械阻力、摩擦力、以及细颗粒在较粗颗粒表面的吸附,也就是说只考虑磁粉颗粒之间的磁团聚效应。
(2)假定图3中的颗粒都是单畴体
。
图3 Nd-Fe-B磁粉的二维团聚模型,3个正六边形颗粒的边长均为3μm
Fig3Planar model of magnetic ag glomeration of N d-Fe-B par ticles, all sides of the hex ag ons are3μm
前面我们已经测出(Nd0.95Dy0.05)15.5(F e0.99A l0.01)78.0B6.5烧结磁体的饱和磁极化强度为1.4T,从尽量接近实际考虑,我们假定图3中的单个Nd-Fe-B颗粒的磁性能为:B r=1.4T,H cb =1081.6kA/m,μrec=1.03,其退磁曲线为直线。
图4 用有限元模拟的N d-Fe-B粉末颗粒的磁团聚状态(磁力线分布)
Fig4Calculated magnetic flux contour of the N d-Fe-B particles by finite element method
图4a给出了用有限元方法计算的3个颗粒均为Nd-F e-B 时的磁状态图,图4b是其中有一个颗粒为α-Fe时的磁状态图。图5给出了当3个颗粒的气隙间距为0.2μm时,在有α-F e和无α-Fe两种情况下,图3中上下二个颗粒的气隙中心磁场的分布状况(即图3中从位置A到B的磁场分布)。可以看到,有α-Fe 和无α-F e时,磁粉颗粒间气隙磁场的大小及其分布都存在较大差别。对于如图3所示的上下二个颗粒间的气隙区域(见图3中的阴影部分),气隙磁场能为[4]:
E g=
1∫
s
∫μ0H2g(x,y)d x d y(10)当沿图3中y方向施加一个与团聚磁场H g方向相反的均匀外磁场H ex时,该磁场在气隙中所施加的能量为:
E H=
1
2∫s
∫μ0H2ex d x d y=12μ0H2ex·S(11)式中S为图3中阴影部分的面积。为打开图3所示的上下二个颗粒间的磁团聚,则应满足:
12
∫s
∫
μ0H 2
g (
x ,y )d x d y =1
2μ0H 2ex
·S (12
)
图5 当3个颗粒的气隙间距为0.2μm 时,在有α-Fe 和无α-Fe
两种情况下,图3中上下二个颗粒的气隙中心从位置a 到b 磁场的分布情况
F ig 5Field distribution in fig 3w hose position is from a to b w hile
air gap is 0.2μm 图6给出了在有α-Fe 和无α-Fe 两种情况下,为打开如图3所示的上下二个颗粒之间的磁团聚,沿y 方向所需施加的最小均匀外磁场H ex 随颗粒间距的变化情况。可以看到,随着N d -F e -B 粉末颗粒间距的减小,颗粒之间的磁团聚作用力明显增大。
图6 在有α-F e 和无α-Fe 两种情况下,为打开如图3所示的上
下二个颗粒间的磁团聚,沿y 方向所需施加的最小均匀外磁场H ex 随颗粒间距的变化情况
F ig 6Relationships of minimum field w hich is applied to break the
mag netic agglomeration between the top and bottom particles in fig 3,when there exists α-Fe or not 另外,当N d -Fe -B 粉末中存在α-Fe 时,颗粒之间的磁团聚作用力明显高于无α-Fe 时的磁团聚力。从图6中还可以看到,当Nd -F e -B 磁粉颗粒的间距为0.2μm 时,存在α-Fe 与无α-Fe 时为打开如图3所示的上下二个颗粒间的磁团聚,沿y 方向所
需的最小均匀外磁场分别为H α-Fe ex =1.09T 和H T1
ex =0.85T ,这一数值已接近烧结Nd -Fe -B 实际生产设备的取向静磁场的50%～60%。而要打开图3中左边颗粒与下颗粒之间的磁团
聚,则所需的沿y 方向的最小外磁场为H ex /co s60°,即H α-Fe
ex =2.
18T 和H T1ex =1.70T ,该数值已与烧结N d -Fe -B 实际生产设备的取向静磁场的大小接近。这说明,我们在前面所观察到的在1.7T 外磁场下,处在自然松散状态的磁粉仍达不到磁饱和,以及我们曾经观察到的在金属模压工艺条件下,取向外磁场增大到1.2T ,磁体的磁性能即已趋近饱和[2]的主要原因,是由于Nd -Fe -B 磁粉颗粒之间存在着强烈的磁团聚相互作用。也就是说,在通常的取向外磁场下(≤2.0T ),由于大部分有效取向外磁场被N d -F e -B 磁粉颗粒之间的磁团聚效应抵消了,因而难以使磁
粉充分取向。要想获得具有理想取向度的烧结N d -Fe -B 磁体,
必须施加更强的取向外磁场,通常的≤2.0T 取向外磁场是远远不够的。也说明Y .Kaneko 等人[3]报道的在橡皮模强脉冲磁场取向压型过程中,取向外磁场与烧结Nd -F e -B 磁体取向度的关系是可信的。
4 结 论
N d -Fe -B 磁粉颗粒之间存在着强烈的磁团聚相互作用,是造成自然松散状态的磁粉难以被磁化到饱和的重要原因。用有限元数值分析方法对Nd -Fe -B 磁粉之间的磁团聚相互作用进行的模拟计算表明,随着粉末颗粒间距的减小,颗粒之间的磁团聚作用力明显增大。当Nd -Fe -B 粉末中存在α-Fe 时,颗粒之间的磁团聚作用力明显高于无α-Fe 时的磁团聚力。由于大部分有效取向外磁场被Nd -F e -B 磁粉颗粒间的磁团聚效应抵消了,用通常的取向外磁场(≤2.0T )难以使磁粉充分取向。参考文献:
[1] 周寿增,董清飞.超强永磁体———稀土铁系永磁材料[M ].北京:
冶金工业出版社,1999.
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[6] 倪光正,钱秀英,等.电磁场数值计算[M ].北京:高等教育出版
社,1996.
作者简介:何叶青 (1964-),男,湖南省双峰县人,博士,课题领域为烧结钕铁硼稀土永磁,多年从事钕铁硼永磁材料的制造技术,生产管理及永磁器件的磁路设计工作。
Magnetic agglomeration interaction among particles of Nd -Fe -B powders and its finite element calculation
HE Ye -qing 1,ZHOU Shou -zeng 2,SONG Qi 1,BAI Shan 1,H U Bo -ping 1
(1.Beijing Zhong K e San Huan High -T ech Co .,Ltd .,Beijing 100080,China ;
2.State Key Laboratory for Advanced M etals and M aterials ,University of Science and Technology Beijing ,Beijing 100083,China )A bstract :Strong ag glomeration interactio n between Nd -Fe -B powders w as observed by SEM .It is show n by magnetizing measurements that the natural loose powders can not be saturated even the applied field reaches 1.7T .Finite element method was applied for calculatio n of the mag netic agglo meration interaction between N d -Fe -B powders .I t is indicated that the magnetic agglo meration interaction may increase g reatly if the gap of the par ticles decreases as well as α-F e par ticles exist in Nd -Fe -B powders ,and this may do severe damage to the aligning of the pow ders .During pressing ,a great part of the applied field is balanced by the ag glomeration interaction .And a static mag netic field of ≤2.0T can no t saturate even the loosely fed powders .Key words :Nd -Fe -B powders ;magnetic agglomeration ;finite element method ;f ield aligning
间断有限元方法
2016年夏季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:间断有限元方法及其应用 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科: 学生姓名: 学号 学生类别 考核结果阅卷人
1．引言 间断Galerkin(DG)方法兼有有限元与有限体积方法的特征。如同一般有限元方法那样，DG方法利用单元多项式空间作为近似解和检验函数空间，但是与传统的有限元方法不同,有限元函数空间基函数都是完全间断的分片多项式，各个单元之间的通信也需要像有限体积方法那样通过在单元边界上构造合适的数值流通量来实现。因此DG方法既保持了一般有限元方法和有限体积方法的优点，又克服了各自的不足。该方法可采用局部高阶插值的方法构造基函数，具有灵活处理边界条件以及可显式求解间断问题的能力，克服了一般有限元方法不适于间断问题的缺点,以及有限体积方法必须通过扩大模板进行重构来提高精度的不足。因此间断Galerkin(DG)方法的出现拓展了传统有限元方法的应用范围,改 善了人们对传统有限元方法的认识。 2．DG的基本概念 间断Galerkin方法最早由Reed和Hill在1973年为解决中子输运方程问题而提出。随后众多学者对间断有限元方法提出了改进和发展特别是90年代以来,以Cockbum和舒其望为代表提出了Runge-Kutta间断Galerkin(RKDG)方法，该方法结合TVD(TVD:Total Variation Diminishing) Runge-Kutta 时间离散方法和间断有限元求解一维双曲守恒律方程（组）以至于高维双曲守恒律方程（组），能够适合复杂计算区域和边界条件，可以精确的捕捉激波和接触间断。它不但在光滑区域可以保证高精度，而且在间断区域可以保持数值无振荡，分辨率高，可以证明收敛到熵解。这些优点使得RKDG成为计算流体力学流行的方法之一，并被广泛应用到气象学、海洋学、湍流、电磁学、石油勘探、水动力学等离子物理和图像处理等领域。 同样是在20世纪70年代,内惩罚(IP: Interior Penalty)类方法被独立地提出来求解摘圆和抛物方程。内惩罚方法后来也被归为间断Galerkin方法一种，本文记为内惩罚间断Galerkin(IPDG)方法。内惩罚间断有限元的发展与同时代求解双曲守恒律的间断有限元方法保持相对对立，该方法的侧重点在于选择合适的惩罚项保持格式的稳定性，而不在于如何构造数值流通量。基于DG方法求解双曲守恒律的巨大成功，许多学者考虑运用DG方法的思想求解扩散方程，但如果只是简单地将DG方法推广到扩散方程得到的数值格式并不准确。例如考虑一维热传导
有限元理论方法
关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；
有限元法的基本思想及计算 步骤
有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列
基于有限元的电磁场仿真与数值计算介绍
鼠笼异步电动机磁场的有限元分析 摘要 鼠笼异步电动机具有结构简单、价格低廉、运行可靠、效率较高、维修方便等一系列的优点，在国民经济中得到广泛的应用。工业、农业、交通运输、国防工程以及日常生活中都大量使用鼠笼异步电动机。随着大功率电子技术的发展，异步电动机变频调速得到越来越广泛的应用，使得鼠笼异步电动机在一些高性能传动领域也得到使用。 鼠笼异步电动机可靠性高，但由于种种原因，其故障仍时有发生。由于电动机结构设计不合理，制造时存在缺陷，是造成故障的原因之一。对电机内部的电磁场进行正确的磁路分析，是电机设计不可或缺的步骤。利用有限元法对电机内部磁场进行数值分析，可以保证磁路分析的准确性。本文利用Ansys Maxwell软件，建立了鼠笼式异步电机的物理模型，并结合数学模型和边界条件，完成了对鼠笼式异步电动机的磁场仿真，得到了物理模型剖分图，磁力线和磁通分布图，为电机的进一步设计研究提供了依据。 关键词：Ansys Maxwell；鼠笼式异步电机；有限元分析
一、前言 当电机运行时，在它的内部空间，包括铜与铁所占的空间区域，存在着电磁场，这个电磁场是由定、转子电流所产生的。电机中电磁场在不同媒介中的分布、变化及与电流的交链情况，决定了电机的运行状态与性能。因此，研究电机中的电磁场对分析和设计电机具有重要的意义。 在对应用于交流传动的异步电机进行电磁场的分析计算时，传统的计算方法因建立在磁场简化和实验修正的经验参数的基础之上，其计算精度就往往不能满足要求。如果从电磁场的理论着手，研究场的分布，再根据课题的要求进行计算，就有可能得到满意的结果。电机电磁场的计算方法大致可以分为解析法、图解法、模拟法和数值计算法。数值解法是将所求电磁场的区域剖分成有限多的网格或单元，通过数学上的处理，建立以网格或单元上各节点的求解函数值为未知量的代数方程组。由于电子计算机的应用日益普遍，所以电机电磁场的数值解法得到了很大发展，它的适用范围超过了所有其它的解法，并能达到足够的精度。对于电机电磁场问题，常用的数值解法有差分法和有限元法两种。用有限元法时单元的剖分灵活性大，适用性强，解的精度高。因此我们采用有限元法对电机电磁场进行数值计算。 Maxwell2D 是一个功能强大、结果精确、易于使用的二维电磁场有限元分析软件。在这里，我们利用Ansys的Maxwell2D 有限元分析工具对一个三相四极电机进行有限元分析，构建鼠笼式异步电机电动机的物理模型，并结合电机的数学模型、边界条件进行磁场分析。
西工大-有限元试题(附答案)
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
有限元分析软件比较分析
有限元分析软件 有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50 年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC 四个比较知名比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS 在非线性分析方面有较强的能力目前是业内最认可的两款有限元分析软件，ANSYS、MSC 进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA 以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。 结构分析能力排名：ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS 流体分析能力排名：ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS 耦合分析能力排名：ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS 性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC ABAQUS 软件与ANSYS 软件的对比分析： 1．在世界范围内的知名度：两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。ANSYS 软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉，它在计算机资源的利用，用户界面开发等方面也做出了较大的贡献。ABAQUS软件则致力于更复杂和深入的工程问题，其强大的非线性分析功能在设计和研究的高端用户群中得到了广泛的认可。由于ANSYS 产品进入中国市场早于ABAQUS，并且在五年前ANSYS 的界面是当时最好的界面之一，所以在中国，ANSYS 软件在用户数量和市场推广度方面要高于ABAQUS。但随着ABAQUS北京办事处的成立，ABAQUS软件的用户数目和市场占有率正在大幅度和稳步提高，并可望在今后的几年内赶上和超过ANSYS。 2．应用领域：ANSYS 软件注重应用领域的拓展，目前已覆盖流体、电磁场和多物理场耦合等十分广泛的研究领域。ABAQUS 则集中于结构力学和相关领域研究，致力于解决该领域的深层次实际问题。 3．性价比：ANSYS 软件由于价格政策灵活，具有多种销售方案，在解决常规的
电磁仿真算中的有限元法
1电磁仿真算法中的有限元法 1.1常规的电磁计算方法简介 从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。 ⑴矩量法 矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。 (2)单矩法 单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。 (3)时域有限差分法 时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
有限元试题及答案
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
有限元分析在结构分析和计算机仿真中的应用
第20卷增刊重庆交通学院学报2001年11月VoI.20Sup.JOURNAL OF CHONGOING JIAOTONG UNIVERSITY NoV.， ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2001文章编号：1001-716 （2001）S0-0124-03 有限元分析在结构分析和计算机仿真中的应用" 韩西，钟厉，李博 （重庆交通学院结构工程部级重点实验室，重庆400074） 摘要：简要论述了有限元分析方法在结构分析和计算机仿真的发展趋势和应用情况. 关键词：有限元分析；结构分析；计算机仿真 中图分类号：TU311.41文献标识码：B 自1943年数学家Courant第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片连续函数的最小位能原理求解St.Venant扭转问题以来，许多数学家、物理学家和工程师由于各种原因都涉及过有限单元的概念.但由于即使一个小规模的工程问题，用有限元分析都将产生较大的计算工作量.直到1960年后，随着计算机技术的发展，有限元分析这门特别依赖数值计算的学科才真正进入了飞速发展阶段.到目前为止，有限元法已成为最强有力的数值分析方法之一，在固体力学、流体力学、机械工程、土木工程、电气工程等领域得到了广泛的应用.由于其所涉及问题和算法基本上全部来源于工程实际、应用于工程中，其解决工程实际问题的能力愈来愈强.由于计算机技术作为有限元分析的计算平台和应用支撑工具，故有限元分析成为CAE（Computer Aided Engineering，计算机辅助工程）这一学科类的主要研究内容.与此同时，由于有限元分析所建模型具有和实际结构相对应的几何、材料、力学特性，对实际结构具有“真实”的模拟特性，和单纯的几何仿真有着本质的区别，所以可以称之为“真实的仿真”（ReaIity SimuIation），可以想象，其模型和计算的数据量将比单纯的几何仿真要大得多，当前，计算机并行多处理器技术正迅猛发展，如SGI OONU-MA体系使计算能力达到工程应用水平，极大地促进了有限元分析计算的发展［2］. 1现状与发展趋势 1.1现状 1956年，Tuner，CIough等人将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，并用于分析飞机结构，这是现代有限元法第一次成功的尝试.他们第一次给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答，其研究工作打开了利用计算机求解复杂平面问题的新局面.1963~1964年，BesseIing、MeIosh 和Jones等证明有限单元法是基于变分原理的Ritz 法的另一种形式，从而使Ritz分析的所有理论基础都适用于有限元法，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法. 几十年来，有限元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题；分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘塑性和复合材料等；从固体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域.在工程分析中的作用已从分析比较扩展到优化设计并和CAD（计算机辅助设计）结合越来越紧密. 有限元分析理论的逐步成熟主要经历了60年代的探索发展时期，70~80年代的独立发展专家应用时期和90年代与CAD相辅相成的共同发展、推广使用时期. 有限元分析作为一种强有力的数值分析方法，在结构分析和仿真计算中有着极大的应用价值.目前，结构仿真中的静力分析、动力分析、稳定性计 "收稿日期：2001-03-19 作者简介：韩西（1964-），男，重庆人，工学博士，副教授，主要从事振动工程、结构损伤识别、结构动力及计算机仿真分析研究.
对有限元方法的认识
我对有限元方法的认识 1有限元法概念 有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常称为控制方程（Governing equation）。 针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。 有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。 有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。 这种思想自古有之：古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。 国际上早在 60 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序。“有限单元”是由Clough R W于1960年首次提出的。但真正的有限元分析软件是诞生于 70 年代初期，随着计算机运算速度的提高，内、外存容量的扩大和图形设备的发展，以及软件技术的进步，发展成为有限元分析与设计软件，但初期其前后处理的能力还是比较弱的，特别是后处理能力更弱。
有限元原理与步骤
2.1.1 有限元法基本原理（Basic Theory of FEM） 有限元法的基本思想是离散的概念，它是指假设把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，选择合适的单元类型。这样组成有限的单元集合体并引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体[24][25]。 有限元法从选择基本未知量的角度来看，可分为三类：位移法、力法和混合法。以节点位移为基本未知量的求解方法称为位移法；以节点力为基本未知量的求解方法称为力法；一部分以节点位移，另一部分以节点力作为基本未知量的求解方法称为混合法。由于位移法通用性强，计算机程序处理简单、方便，成为应用最广泛的一种方法[26]。 有限元法的求解过程简单、方法成熟、计算工作量大，特别适合于计算机计算。再加上它有成熟的大型软件系统支持，避免了人工在连续体上求分析解的数学困难，使其成为一种非常受欢迎的、应用极广泛的数值计算方法[27]。 2.1.2 有限元法基本步骤（Basic Process of FEM） 有限元法求解各种问题一般遵循以下的分析过程和步骤[28][29]： 1. 结构的离散化 结构的离散化是进行有限元法分析的第一步，它是有限元法计算的基础。将结构近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的计算模型，习惯上称为有限元网格划分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来，而单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定。所以有限元法分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同种材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果是近似的。显然，单元越小（网格越密）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增大，因此结构的离散化是有限元法的核心技术之一。有限元离散过程中又一重要环节是单元类型的选择，这应根据被分析结构的几何形状特点、载荷、约束等因素全面考虑。 2. 位移模式的选择 位移模式是表示单元内任意点的位移随位置变化的函数，位移模式的选择是有限元特性分析的第一步。由于多项式的数学运算比较简单、易于处理，所以通常是选用多项式作为位移函数。选择合适的位移函数是有限元分析的关键，它将决定有限元解的性质与近似程度。位移函数的选择一般遵循以下原则（有限元解的收敛条件）：
ansys有限元计算
1.1 课程设计的意义、目的 1）ANSYS模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性（固有频率和振型），即结构的固有频率和振型，他们是承受动态载荷的重要参数，也可作为其他动力学分析的起点，是进行谱分析或模态叠加法普响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。模态分析在动力学分析过程中必不可少的一个步骤，在谱响应分析、瞬态动力学分析的分析过程中均要求先进行模态分析才能进行其他步骤。 2）根据课堂讲授内容，学生做相应的自主练习，消化课堂所讲解的内容；通过调试典型例题或习题积累调试ANSYS程序的经验；通过完成课程设计中中的编程题，逐渐培养学生的编程能力、用ANSYS解决实际问题的能力。 1.2课程设计研究的内容 求解外受两端压力带孔薄板的系统或局部的位移、应变、应力。 ANSYS详细设计步骤 1问题分析 如图所示，E=30e6,两端压力100，中心孔内线压分布力500向外。中心孔直径为5。板厚为1。
基于ANSYS分析的简要步骤 (1)启动ANSYS，进入ANSYS界面。 (2)定义工作文件名 GUI : Utility Menu > File > Change Jobname 单击Utility Menu菜单下File中的Change Jobname按钮，会弹出Change Jobname对话框， 输入有限元分析作为工作文件名，单击Ok。 (3)定义分析标题 GUI:Utility Menu > File > Change Title 在弹出的对话框中，输入cui作为分析标题，单击OK。 (4)重新显示 GUI: Utility Menu>Plot>Replot 单击该按钮后，所命名的分析标题和工作文件名会出现在ANSYS中。 (5)选择分析类型 在弹出的对话框中，选择分析类型，由于此例属于结构分析，故选择Structural 这一项，单击OK。 (6)定义单元类型 GUI:Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete 单击弹出对话框中的Add按钮，弹出单元库对话框，在材料的单元库中选择Plane82单元。即在左侧的窗口中选取Solid单元，在右侧选择8节点的82单元，然后单击OK。
Cahn-Hilliard方程的隐显BDF2方法
Cahn-Hilliard 方程的隐显BDF2方法 饶 婷, 王晚生 (长沙理工大学 数学与统计学院, 长沙 410114) 摘 要: Cahn-Hilliard 方程作为一类重要的四阶扩散方程已成为偏微分方程研究领域一个倍受关注的问题. 本文考虑带有Neumann 边界的Cahn-Hilliard 方程的隐显BDF2半离散格式和全离散格式, 并证明了该格式是质量守恒的. 关键词: Cahn-Hilliard 方程; 质量守恒; 隐显BDF2格式; 全离散 中图分类号: O241.8 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2018)02-0009-03 IMEX-BDF2 Method for Cahn-Hilliard Equation RAO Ting, WANG Wansheng (School of Mathematics and Computational Science, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China) Abstract : The Cahn-Hilliard equation, as an important class of fourth-order diffusion equations, has become a major concern in the field of partial differential equations. In this paper, the Cahn-Hilliard equation with Neumann boundary is considered to be discretized by implicit-explicit BDF2 method. It is proved that the scheme preserves the property of mass conservation. Key words : Cahn-Hilliard equation; mass conservation; implicit-Explicit BDF2; full-discrete schemes Cahn-Hilliard 方程是一个描述两种金属物质混合时随温度变化发生亚稳相分离现象的四阶非线性抛物方程. 最初是由 Cahn 和Hilliard [1]于1958年在研究热力学中两种物质(如合金、聚合物等等)之间相互扩散现象时提出的. 后来用于描述生物种群竞争与排斥现象, 固体表面上微滴的扩散等许多扩散现象的研究中也提出了同样的数学模型. 近些年来, 越来越多的学者关注Chan-Hilliard 方程, 对Chan-Hilliard 方程的解的性质做了大量的研究工作, 获得了比较丰硕的成果. 例如, 在1996年Chen [12]等人得到了Chan-Hilliard 方程解的摄动性质; Carlen 和Bricmont [8,9]分别研究了Chan-Hilliard 方程解的稳定性质; Chen 和Zheng [10,11]等人在研究Chan-Hilliard 方程解的渐进性质方面做了大量的工作, 等等. 关于Chan-Hilliard 方程的数值解法方面的研究也越来越受到重视. 例如, Elliott 和Larsson [4]在1992 年考虑Cahn-Hilliard 方程的有限元方法, 并给出了有限元逼近的误差估计. 1998年, Chen 和Shen [5]提出Cahn-Hilliard 方程的谱方法格式, 并证明了该格式独有的高精度与数值稳定性. 2008年, He 和Liu [13]考虑 Cahn-Hilliard 方程的Galerkin 谱方法格式, 并证明了该格式的稳定性和收敛性. Feng 和Karakashian [15,16]等人在2007年提出采用局部间断Galerkin 方法(LDG)和全离散动态网格的间断Galerkin 方法研究Cahn-Hilliard 方程. 2016年, Wang 、Chen 和 Zhou [1721]，采用混合有限元方法的后处理技术求解Cahn-Hilliard 方程, 且数值解继承了原有的质量守恒性质和能量递减性质, 最后还获得了相应的误差估计 以及负范数的误差估计等等. 本文在上述研究的基础上, 采用隐显BDF2方法研究Cahn-Hilliard 方程, 并讨论该格式是否保留了方程原有的质量守恒性质. 1问题和记号 首先考虑Cahn-Hilliard 模型方程: 收稿日期: 2018-03-24 基金项目: 国家自然科学基金项目(11771060, 11371074) 作者简介: 饶 婷(1994? ), 女, 湖南常德人, 硕士研究生. 主要研究方向: 微分方程数值解 通讯作者: 王晚生(1977? ), 男, 湖南株洲人, 教授. 主要研究方向: 微分方程数值解 第31卷 第2期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.31No.2 2018年6月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Jun. 2018
有限元分析方法
百度文库- 让每个人平等地提升自我 第1章有限元分析方法及NX Nastran的由来 有限元分析方法介绍 计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。 有限单元法的形成 近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，诞生了商业化的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科——计算机辅助工程CAE（Computer Aided Engineering）。这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面和易用性，使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员，CAE在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE工程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。许多行业中已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。CAE仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性： ?CAE仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。 ?虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。 ?大幅度地降低产品研发成本。 ?在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。 ?能够快速对设计变更作出反应。 ?能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。 ?能够精确预测出产品的性能。 ?增加产品和工程的可靠性。 ?采用优化设计，降低材料的消耗或成本。 ?在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。 ?模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。 ?进行机械事故分析，查找事故原因。 当前流行的商业化CAE软件有很多种，国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国1
有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
有限元法与有限差分法的主要区别
有限元法与有限差分法的主要区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有La grange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插