高中数学导数典型例题精讲详细版
导数经典例题精讲
导数知识点
导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1
lim
0n n
→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=
.
两个重要的极限
：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x
x e x →∞??
+= ???
(e=…). 函数极限的四则运算法则：若0
lim ()x x f x a →=，0
lim ()x x
g x b →=，则 (1)()()0
lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0
lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0
lim 0x x
f x a
b g x b
→=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞
==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞
?=?(3)()lim 0n n n a a
b b b
→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常
数)
)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）
00000()()()lim
lim x x x x f x x f x y
f x y x x
=?→?→+?-?''
===??. .瞬时速度：00()()
()lim lim
t t s s t t s t s t t t
υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()()
()lim lim
t t v v t t v t a v t t t
?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()()
lim lim
x x y f x x f x x x
?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数
(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='
(4)
x x 1
)(ln =
'；e a x x
a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则
（1）'
'
'
()u v u v ±=±.（2）'
'
'
()uv u v uv =+.（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 复合函数的求导法则
设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.
【例题解析】 考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1． ()f x '是3
1()213
f x x x =
++的导函数，则(1)f '-的值是
． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2
2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q
故填3.
例2.设函数()1
x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.
1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 综上可得M P 时, 1.
a ∴>
考点2 曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.已知函数32
11()32
f x x ax bx =
++在区间[11)
-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求2
4a b -的最大值；
（II ）当2
48a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数
()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），
求函数()f x 的表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：（I ）因为函数32
11()32
f x x ax bx =
++在区间[11)
-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，
设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=
-，且2104x x <-≤．于是
2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．
（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21
(1)32
y a b x a =++--，
因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21
()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++-
-在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121
(1)3232
x ax bx a b x a =
++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．
若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由2
48a b -=，得1b =-，故3
21()3
f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++-
- 2133
(1)[(1)(2)]322
a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．
当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设2
33()1222a a h x x x ?
??
?=++
-+ ? ?????
，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102
a
h =?++
=，
所以2a =-，又由2
48a b -=，得1b =-，故3
21()3
f x x x x =
--． 例4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.
例5．过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +2
5=0相切的直线的方程为 ( )
A.y =-3x 或y =31x
B. y =-3x 或y =-31x
C.y =-3x 或y =-31x
D. y =3x 或y =31x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.
2x y -++=∴-圆心为 故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222??- ?
??由 故选A.
例 6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.
解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为
))(2(2)2(1112
1x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①
曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即
a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得
1,12
22121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x
若△=0)1(244=+?-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.
∴当时21-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最
值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式;
2. 求函数的值域;
3.解决单调性问题;
4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.
例8 .设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围．
思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b 的值． 解答过程：（Ⅰ）2
()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=??++=?
，．
解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3
2
()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈
，
时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈
，
，有2()f x c <恒成立， 所以 2
98c c +<，
解得
1c <-或9c >，
因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，．
例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。 解答过程：由24030
x x +≥+≥??
?得，x ≥-2，即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=
+-+=
+-++?+12412323242243
，
又2324282324
x x x x x +-+=
++++， ∴当x ≥-2时，y '>0，
∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数，而f ()-=-21，∴=+-+y x x 243的值域是
[,)-+∞1.
例10．已知函数()θθcos 163cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．
（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；
（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值. （Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2x x θ==.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当cos 0θ>时，随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：
x 0 + 0 - 0 +
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数()f x 在cos 2x θ=处取得极小值cos f()2θ，且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+.
要使cos ()02f θ>，必有213cos (cos )044θθ-->，可得30cos 2θ<<.
由于30cos 2
θ≤≤，故3116
2
2
6
ππππθθ<<<<或.
错误！未找到引用源。当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：
+
0 -
0 +
极大值
极小值
因此，函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且3(0)cos .16
f θ=
若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零.
综上，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为311(,)(,)62
2
6
ππππ?.
（错误！未找到引用源。）解：由（错误！未找到引用源。）知，函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)
2θ+∞内都是增函数。
由题设，函数()(21,)f x a a -在内是增函数，则a 须满足不等式组
210
a a a -<≤ 或
211
21cos 2
a a
a θ
-<-≥ 由（错误！未找到引用源。），参数时311(,)(,)6226ππππθ∈?时，30cos 2θ<<.要使不等式121cos 2a θ
-≥关于参数θ恒成立，必有3214
a -≥，即438
a +≤.
综上，解得0a ≤或4318a +≤<.
所以a 的取值范围是43(,0)[,1)8
+-∞?.
例11．设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1ax f x a x -=≥-+
（1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减， （2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a
=
'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表
—
0 +
极小值
从上表可知
当1(1,)x a ∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a -上单调递减.
当1(,)x a
∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a
+∞上单调递增.
综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.
当0a >时，函数()f x 在1(1,)a
-上单调递减，函数()f x 在1(,)a +∞上单调递增.
例12．已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(),1-∞上
()'0f x >，在()1,2上()'0f x <，在()2,+∞上()'0f x >,
故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减， 因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x = （Ⅱ）'2()32,f x ax bx c =++
由'
''f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5， 得320,
1240,5,a b c a b c a b c ++=??
++=??++=?
解得2,9,12.a b c ==-=
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23
2
m a b m c m ==-=
由(1)5f =，即325,32m m m -+=得6,m =
所以2,9,12a b c ==-=
例13．设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；
（Ⅱ）设0>a ，()x e a x g ??
? ?
?+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－
x ,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－
3＝0，即得b ＝－3－2a ， 则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3
－x
＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－
x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－
x . 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则
在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么
f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －
1>0，f (3)＝a ＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又225()()4
x g x a e =+在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋4
25，（a 2＋4
25）e 4]，
由于（a 2＋425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须
（a 2＋4