函数极值的求法及其应用

目录

摘要 (2)

ABSTRACT (2)

第一章引言 (4)

第二章一元函数的极值 (5)

2.1极值的充分条件 (5)

2.2几种特殊函数的极值 (8)

第三章多元函数的极值 (12)

3.1无条件极值 (13)

3.2条件极值 (15)

第四章函数极值的应用 (19)

参考文献 (24)

致谢 (25)

函数极值的求法及其应用

曾浪

数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵

摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。

关键词：函数；极值；应用

The extreme of function of religion and its application

Zeng Lang

Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui

Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.

Key word: function; the extreme; application

The extreme of function of religion and its application

Zeng Lang

Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui

Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.

Key word: function; the extreme; application

第一章引言

函数极值问题在我们学习和生活中都会常常遇到。那么什么是极值呢？现实生活中我们常常遇到的如何使用料最省、路径最短等这样的问题，就属于极值问题。

在学习生活中，我们常常遇到这样的问题：如证明在圆的所有外切三角形中，正三角形的面积最小；给定某个特定的函数，求它在某个区间的极值等问题。对极值问题的研究，在很早以前就有了痕迹。早在古希腊时，数学家们就研究了等周问题。在欧几里得的名著《几何原本》中，实际上已经证明了很多几何问题。

在生活中也存在很多求极值的问题。我们都知道蜂房的构造是很吸引人的。十八世纪初，法国学者马拉尔琪曾经测量蜂房的尺寸，发现六角形窝洞的六个角都有一致的规律：钝角等于109o28′，锐角等于70o32′。法国物理学家列奥缪拉由此得到启发：蜂房的形状是不是用料最省，容积最大呢？列奥缪拉去请教巴黎科学院院士数学家克尼格。这位数学家计算的结果是，要用最少的材料，制作成容积最大的菱形容器，它的角度应该是109o26′和70o34′。这与蜂房的角度仅差2′。苏格兰数学家马克劳林又认真再计算一次，得出的结果竟然和蜂房的实际角度完全一致。后来发现，克尼格并没有错，而是他用的对数表印错了。一九六四年二月，著名数学家华罗庚在对北京市中学生作报告时指出，蜂窝的构造问题，正确的提法应该是：在密峰的身长，腰围确定的情况下，尖顶六棱柱用料最省。这样的提法不仅是纯粹的空间形式与数量关系的数学问题，而且这与生物体有机体统一起来了。

从这里我们可以看到，函数极值问题联系着我们的学习和生活。学习中遇到的极值问题我们在学习导数和微积分相关知识后就可以解决了，生活中的碰到很多的实际问题都可以先建立起数学模型，再转变为我们数学中的问题来解决。

第二章一元函数的极值

在说函数极值之前我们先来谈谈函数。函数的定义如下:设给定两个变量x 和y，其变动区域为M和N,如果M中的每一个x值，总有一个确定的y值（在N内）和它对应，则变量y称为变量x的函数。我们从函数的定义我们可以看到，函数主要由三部分组成，变量x的取值范围M，我们称它为函数y的定义域，函数y的取值范围N，我们称它为函数的值域，而函数y与x之间的一一对应关系，我们一般用表示。

我们生活中的很多实际问题可以归类转化为与函数有关的问题。那么首先我们先来了解函数极值。什么是极值呢？假设函数在的某领域内有定义，如果的值小于（或者大于）在附近的所有各点的函数值，那么称是函数的极小值（或极大值），记作,(或), 在大学数学里，极值的概念就更为精密了。若函数y=在（a , b）上有定义且连续，对于一点有某一领域(-δ，+δ)完全含于（a , b）内，对于任意的x(-δ，+δ)，总存在，则称y=在处取得极大值，如果总存在，则称y=在处取得极小值。这是最为严格意义上的极值定义即概念。下面我们从书中的定理入手介绍函数极值的求法。

2.1极值的充分条件

我们学过费马定理知道了如何判别极值，费马定理表述如下：如果函数在

可导，且为的极值点，则。这也告诉我们可导函数在点取极值的必要条件是。

定理2.1 ：设在点连续，在某邻域上可导。

（i）若当时，当时，则在点取得极小值。

（ii）若当时，当时，则在点取得极大值。

评价：华东师范大学版数学分析此定理给出了简单函数的极值的求法及其判别，下面我们举几个例子。

例1 求函数的极值。

解：因为函数在上有定义且连续，由题意可以得到，令得，当时，，函数递减；当时，

函数递增。所以函数在处取得极小值，

分析：此题展示了如何求已知的一元函数的极值问题，运用到的知识有函数导数的关系，函数的单调性。我们在求简单的函数的极值时，一般可以先求导函数，令导函数等于零，在求出稳定点，最后判断是极大值还是（极小值）。

例 2 如果函数既有极大值，又有极小值，a 应该满足什么条件？

解：由题意可以得到，因为函数有两个极值。所以方程有两个实数根，所以

，

所以求得。既a的取值范围为

.

解析：本题在已知函数在有极值的情况下，考察它的导数的到的特性。把极值问题转化为一元二次方程的根的判别式的问题，这样我们就跟清楚了。

例3 函数，求极值。

解：由题意，令得稳定点，列表讨论如下：

x -1 1

- 0 + 0 -

↘极小值为-2 ↗极大值为2 ↘

由表格我们可以清楚的看到，函数的极小值为，极大值为.

解析：对于复杂函数求极值，我们可以先求出导函数和稳定点，再列出表格，我们就可以的到极值了。

总结：利用一元函数极值的第一充分条件求极值很简单，所对应的函数都是一阶可导的。那么如果是二阶可导的函数呢？我们将在下面讨论。

定理2.2：设在某领域上可导，在出二阶可导，且，。

（i）若，则在取得极大值；

（ii）若，则在取得极小值。

例4 求的极值点和极值.

解：当时，

令，求得稳定点.

又因为.

因此由定理2.2得为的极小值点。极小值.

分析：此题解决了一阶导数不能求出函数极值的问题，若函数二阶可导，我们可以根据函数在某点的二阶导数的正负性，确定函数在这个点取得极大值还是极小值。

如果我们求出二阶导数仍然没有办法判别出函数的极值，那么我们可以借助更高阶的导数来判别。

定理 2.3：设在的某邻域存在直到n-1阶导函数，在处n阶可导，且 (k=0,1,2…,n-1),,则

（i）当n为偶数时，在处取得极值，且当，则在取得极大值；，则在取得极小值；

（ii）当n 为奇数时，在处不取得极值。

分析：此定理是定理2的扩充。教材没给出证明。那么证明如下：

证明：因为在处的n阶泰勒公式为:

.

由于 (k=0,1,2…,n-1),所以有：

(1)

又因为，，当时，和

是同号的。当n为奇数时，不能判断它的正负，故不能取得极值；当n 为偶数是总是正的。所以当时，函数取得极大值；当时，取得极小值。

例5 求函数的极值

解：，令

得稳定点.

又，所以，不是的极值点；,故是的极大值点，

极大值，，是的极小值点，极小值为.

到这里判定极值的充分条件就说完了。那么我们会想会不会遇到有些函数不能够用这些方法呢？答案是肯定的。我们看看下面的函数。

，

很显然，我们可以看到函数在的处任意阶倒数都等于0，所以不能用判定极值的充分条件。

2.2 几种特殊函数的极值

我们中学阶段我们都学过二次函数，我们知道一元二次函数求极值的方法有很多。我们就一起来探讨：

1.一元二次函数的一般式为

，当时有极值；

当时，有极大值；当时，有极小值。而且我们知道一元二次函数

的极值有且只有一个。我们画出二次函数的图像就知道，二次函数的图像是一条抛物线，开口方向向上（或向下），因此它只有一个顶点，这些不难从图上看出。

图2.2.1 图2.2.2

那么我们如何来求出二次函数的极值呢？最简单的方法就是图像法，从图像中可以直观地看到。图像的最高点就是函数的极大值，图像的最低点就是函数的极小值。下面说说不用画出函数图像就可以求出函数的极值。

（1）配方法：对于二次函数，我们经配方的

变形后变为：

当时，函数有极大值,

当时，函数有极小值，.

（2）判别式法：因为二次函数的极值只有一个，我们把函数式子变形之后再求二次函数的极值还可以发现用判别式法：的极值，我们可以把方程改写为：

显然这是关于的一元二次方程。其x必有实数根。则判别式:

，解出y得：

若，则；若，则。

（3）导数法：第一节已经介绍了，这里不再叙述。

了解了一元二次函数的极值的求法后，我们遇到的很多一元函数都可以利用换元法将问题转化为与一元二次函数有关问题来求解。现在我们一起来解决下面几个实际问题。

例1 求函数的最值。

分析：这是有关三角函数求最值的问题，很显然我们都知道我们要把这个化为如下两种形式：.但是这个题我们很难出化解出这样的形式，那么还有没有其他的思路呢？

解：

因为的值域是，所以当，;当

，

分析：本题我们把本属于求三角函数的最值问题经过恒等变形转化为求二次函数最值问题，显然变得一目了然了。

例2 求出函数的极值.

解：将函数配方得，所以当时，函数取得极小值，

极小值为.

分析：在求二次函数最值问题一定注意函数的定义域，以及在区间中的最值问题.

2.形如有理分函数的极值。

观察这种函数我们会发现是与二次函数有关的。将函数变形为：

这是关于x的一元二次方程，若y有极值，则x必有实数解。那么关于x的一元

二次方程的判别式：

解出y的值。从而求函数的极值。

这种方法这是用最高次幂为二次的函数，因为是根据

判别式来讨论函数的值域的问题，因此只能解决最值问题。

例3 求函数的极值。

解：我们把函数变形为如下一个关于x的一个一元二次方程：

(1)

若方程（1）有实数解x,则判别式:

,

因此对一切实数x，y都恒成立。即y的值域为。所以y没有极值，

也没最值。如图：图2.2.2

例4求函数的最值.

解：将函数变形为 .

若方程有实数解，则

,

解得.所以y说我最值就求出来了.

3.形如函数的极值.

首先，我们要注意此类函数的定义域，即。我们函数变形为：

，两边同时平方整理后得到关于x的一元二次方程：

一般的，如果，且x有实数解。则判别式：

解出该不等式的解集就是函数的值域，就可以求出函数的极值了。

例5 求函数极值。

解：函数的定义域为.将移项后再平方得：

这是关于x的一次方程，因此不能用判别式求解。很显然，,即.

所以，又。所以，.

解得.即函数的值域为.

分析：此题利用函数的定义域解出了函数的值域，从而知道了函数的最值。

例6求函数极值.

解：解不等式.我们可以知道此函数的定义域为

现在把函数变形为.

两边同时平方整理得：（1）

由题可知，x有实数解。则关于x的一元二次方程（1）的判别式

解得：.所以当时，函数有最大值-3；当时，

函数有最小值-2.

第三章多元函数的极值

多元函数可以说是一元函数的推广，它和与一元函数有很多类似的地方，也保留了很多一元函数所具备的性质。而多元函数的极值问题是学习了多元函数微分学之后需要学习的一个重要应用。它解决了生活中的很多实际问题。

我们先来看看多元函数的定义。这里我们先从二元函数开始，n元函数我们可以类似的推广。二元函数的定义是：如果对于变量的变化区域内的每一对数值，依照某种确定的规律或者法则，都对应一个确定的值z,则称z是

的（二元函数），记作，或者等。当然变量叫做自变量，而自变量的取值范围叫做函数的定义域。而与相对应的函数值所组成的集合，叫做函数的值域。

二元函数（一般地说多元函数）在给定区域上的最大值或最小值可以在该区域的某一内点上达到，也可以在边界点达到。所以多元函数的极值可以定义为：设函数定义在区域（G）上，又设是这区域的一个内点，若

，，其中是任意的。只要充分小，则我们称函数在点达到极大值（极小值）。而称为极值点。这些都与一元函数有类似之处，那么多元函数的极值问题会不会也有相似之处呢？下面我们一起来看看如何来求函数的极值的？

3.1 无条件极值

与一元函数一样，我们先来看多元函数极值的必要条件。如果某一点是函数的极值点，那么它该满足些什么？

定理3.1 若函数在点存在偏导数，且在处取得极值，则有：,

反之若函数在点满足上式，则称为的稳定点。这里和一元函数一样，极值点一定是稳定点，而稳定点不一定是极值点。我们知道求一元函数的极值有很多种方法。那么多元函数呢？我们就一起来探讨吧！

如果用微分法求函数的极值，我们要先先求出函数的稳定点，那么我们求出函数的稳定点一定是函数的稳定点吗？答案是不一定。判断是不是函数的极值点，书上给出了办法：引进一个矩阵，若具有二阶连续偏导数，我们记

它称为在点的黑塞 Hesse）矩阵。下面这个定理给出了判断稳定点是不是函数的极值点

定理3.2 （二元函数极值的充分条件）假设二元函数在某点的某邻域上具有二阶连续的偏导数，且是的稳定点。则当是正定矩阵时，在点取得极小值；当是负定矩阵时，在点取得极大值；当是不定矩阵时，在点不取极值。

定理3.2我们改写成如下的更容易理解的形式，若二元函数在点

的某邻域上具有二阶连续的偏导数，且是的稳定点。则有：

（i）当，时，在点取得极小值；

（ii）当，时，在点取得极大值；

（iii）时，在点不取极值；

（iv）时，不能肯定在点是否取得极值。

这个定理该如何来运用它呢我们一起来看看下面几个例子.

例1 求函数的极值。

解法一：由题意得：,得稳定点，

又，，，。，

所以函数在点处取得极小值, 极小值.

解法二：

，

所以当且时，即时，函数有最小值是

4.

分析：此题是典型的二元函数的求极值的问题，我们给出的两种解法，很显然

利用上面的定理3.2更为简单。

例2 讨论函数是否存在极值。

解：根据题意，，得稳定点.

又，，，所以.由极值的充分条件可知，原点不是的极值点。但是在R上处处可微，所以没有极值点。

例3求函数极值。

解：由题意得：,由此得到稳定点

又，，，所以.所以函数在稳定点处取得极小值。

我们看到我们求二元函数的极值与一元函数的极值有类似之处，但是我们发现我们二元函数还需要判定函数的极值点，显得较为难些，因为极值点有可能不只一个，而一元函数的极值点只有一个。而我们求二元函数的最值时虑边界上的点，较一元函数也更为复杂。

3.2 条件极值

在前面我们求函数的极值，都是在函数的定义域内来求的，限制条件也只有定义域。那么我们在生活中遇到的实际问题的限制条件也许不知一个。肯恩会有很多个，这样需要我们考虑的就更多了。在很多限制条件下求函数的极值，我们称为条件极值。我们先从一个常规的例子入手。

例如要设计一个容积为V的无盖的长方体水箱，问长，宽，高各是多少时，其表面积最小？若转化为数学问题，则可以转化如下：设长方体的长，宽，高各

是,在体积一定的情况下，求的极小值。那么我们如何来求出这个函数的极小值呢？我们仔细观察发现就会知道，这个函数是三元函数，我们可以利用消元法条件极值变为无条件极值。如下：

这是关于的二元函数的无条件极值问题，利用前面的知识就可以求解了。那么还有没有更为简单的方法呢？这里我们引用教材中的一种不需要依赖消元法就可以求出条件极值的方法：

拉格朗日乘数法：设都为简单的二元函数，欲求函数的极值，其中受条件的限制。若存在某一常数，使得在处满足：

（1）

现在引入辅助变量λ和辅助函数，则（1）式可以表示成：

（2）

这样就把条件极值问题转化为（2）式的无条件极值了。这里L称为拉格朗日函数，λ称为拉格朗日乘数。其中拉格朗日函数

其中为拉格朗日乘数，因此教材中给出了一下定理：

定理 3.2 条件的限制下，求函数的极值问题，其中与在区域D上有一阶连续的偏导数。若D的内点上述的极值点，且雅可比矩阵：

的秩为m，则存在m个常数，使得为拉格朗日函数的稳定点，即为个方程：

的解。

现在我们用这个方法来求解本节首先提出的问题：这里所求的拉格朗日的函数是

,

对函数L求偏导数，令它们等于0得到：

(3)

求解方程组（3）的解，得

，,

所以水箱的表面积在容积一定的情况下存在最小值。当高为，长和宽为高的2倍时，表面积最小，.我们在看看下面几个例子。

例1 已知，求的极值。

解法一：

所以,当，函数有极大值，

将带入得.

解法二：求函数条件的极值。所以应用拉格朗日乘数法为：

,对L求偏导数在令其等于0得：

解方程组,所以当时，取得极大值，极大值.

分析：此题解法一是不容易想到的解法，具有技巧性；而解法二利用拉格朗日乘数法过程虽然复杂，但是思路更为清晰，更易让人理解。因此我们遇到较为复杂的问题时我们可以考虑解法二。

例2 求函数在条件的约束下的极值。

解：作拉格朗日函数如下：

，求L的偏导数并令其等于0得：

由前三式消得：，在消去λ得：

所以求得，或或 .将带入条

件函数解得。由此得出：

.

同样将或带入条件函数也是一样的结果。由于函数在有界闭集

上必有最值。所以

, .

分析：此题是典型的利用拉格朗日乘数法求解条件极值的问题，我们会发现利用常规的解法很难解出这道题。

第四章函数极值的应用

在前面我们了解了多种函数极值的求法，那么如何

运用它们来解决实际问题呢？下面我们从生活中的实际问题入手。

一、函数极值在生活中的应用

例1 现在运输一批货物从A城运往B城，A、B两城相距。已知轮船运费的价格是元/km ，火车运费的价格是元/km .现在要在运河边上找到一合适的一点M，修建铁路MB，使得点A到点M再到点B的总运费最省。

分析：此题的关键在于怎样来寻找点M，怎样来建立函数关系式。因为M点是活动的，故我们可以设.这样我们就可以建立起函数关系式了，从而将题目中的实际问题转化为我们可以研究的数学问题。图4.1

解：设，这我们假设

则,所以总运费

求出导数得,

令得到： .由题意知负值不合

题意。所以当时，

函数有极值。即时，用费最省。

所以点M该建在距离点C处。

例2 我们都熟悉在很多城市中的大广场上，都有很高的灯柱，这个灯柱很高，也很亮。那么用我们数学观点看待的话就转化为在半径为R的圆形广场中央0，竖立一顶端P装有弧光灯的灯柱0P，经研究已知底面上某点Q处的照度I与光线的投射角（PQ与底面在Q点处法线的夹角，它等于角OPQ，如图4.2所示）的余弦成正比，与该出到光源的距离平方成正比，为使广场边缘的圆形道路有最大的照度，灯柱的高度应为多高合适？

解：我们设灯柱高为h,则灯到广场边缘的距离为：图4.2

由题意我们容易得到光线的投射角.故广场上某点的照度为：

观察这个等式我们结合题意我们会发现，这是以I为目标函数，h为自变量（其中k是与光源强度有关的正的常数），它是定义域为的可导函数。其导数为：

令得，目标函数有唯一稳定点.

因为只有唯一稳定点，根据题意，可知I的最大值存在，故灯柱的高度应取.