菱形证明专题训练

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1. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形.

【答案】∵AB∥CD,

∴∠BAE=∠DCF.

∵DF∥BE,

∴∠BEF=∠DFE,

∴∠AEB=∠CFD.

又∵AE=CF,

∴△AEB≌∠CFD,

∴AB=CD.

∵AB∥CD,

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵AC平分∠BAD,

∴∠BAE=∠DAF.

又∠BAE=∠DCF,

∴∠DAF=∠DCF,

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∴AD=CD,

∴四边形ABCD是菱形.

2. 如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC.

求证:

(1)四边形EBFD是菱形;

【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，

∴B,D,O三点共线且BD=DO=CO=AO.

在矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO.

在△CFO和△AEO中，

∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO.

又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形.

∵BO=CO，∠COB=60°，

∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°.

∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.

∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.

∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.

∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.

(2)MB∶OE=3∶2.

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【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上.

∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上.

∴BF是线段OC的垂直平分线.

∴∠FMO=∠OMB=90°.

∴∠OBM=30°.∴OF=BF.

∵∠FOC=30°，∴FM=OF.

∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.

即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.

3. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD 的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD 是菱形.

【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形.

∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,

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∴平行四边形BGFD是菱形.

4. 如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.

求证:OE=BC.

【答案】∵DE∥AC,CE∥BD,

∴四边形OCED是平行四边形.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,OB=OD,

∴∠BOC=∠COD=90°,

∴四边形OCED是矩形,

∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,

∴BC=,OE=,

∵DE=OC.

∴OE=BC.

5. [2015·兰州中考,25] (9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.

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(1)求证:AD=BC ;

【答案】作BM ∥AC

,BM 交DC 的延长线于点M ,则∠ACD=∠BMD. 1分

∵AB ∥CD ,BM ∥AC ,

∴四边形ABMC 为平行四边形. 2分 ∴AC=BM. ∵BD=AC ,∴BM=BD. ∴∠BDM=∠BMD. ∴∠BDC=∠ACD. 在△BDC 和△ACD 中,

∴△BDC ≌△ACD. 4分 ∴BC=AD. 5分

(2)若E ,F ,G ,H 分别是AB ,CD ,AC ,BD 的中点.求证:线段EF 与线段GH 互相垂直平分. 【答案】连接EG ,GF ,FH ,HE. 6分

∵E ,H 为AB ,BD 的中点,∴EH=AD.

同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.

∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.8分

∴四边形EGFH为菱形,

∴EF与GH互相垂直平分.9分

6. [2015·长春中考,18] (7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形.

【答案】因为AF∥CD,FG∥AC,

所以四边形ACGF是平行四边形①,

又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC,

所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,

由①②得四边形ACGF是菱形.

7. [2010·上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.

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(1)在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；

【答案】

∵∠BAE＝∠DAE，

∠DAE＝∠BEA，

∴∠BAE＝∠BEA，AB＝BE＝AD，

AD∥BE，∴四边形ABED的平行四边形，又AB＝AD，

∴四边形ABED为菱形

(2)∠ABC＝60°，EC＝2BE，求证：ED⊥DC.

【答案】过D作DF∥AE，则DF＝CF＝1，

∴∠C＝30°，而∠DEC＝60°，

∴∠EDC＝90°，∴ED⊥DC.

8. [2010·沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形.

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【答案】∵点E ，F 分别为AB ，

AD 的中点

∴AE ＝AB ，AF ＝AD (2分)

又∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ＝AD

∴AE＝AF(4分)

又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O

∴O为BD的中点

∴OE，OF是△ABD的中位线(6分)

∴OE∥AD，OF∥AB

∴四边形AEOF是平行四边形(8分)

∵AE＝AF

∴四边形AEOF是菱形(10分)

9. [2010·安徽中考，20]如图，AD∥FE，点B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.

(1)求证：四边形BCEF是菱形；

【答案】∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.

∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.

∴BF＝EF

∵BF＝BC，∴BC＝EF.

∴四边形BCEF是平行四边形

∵BF＝BC，

∴四边形BCEF是菱形(5分)

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(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.

【答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE，

∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED.(8分)

又∵AC＝2BC＝BD，(9分)

∴△ACF≌△BDE.(10分)

10. [2013·长沙中考，24]如图，在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O.

(1)求证：△ABN≌△CDM；

【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，

BN＝BC＝AD＝DM，

∴△ABN≌△CDM(SAS).

(2)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长.

【答案】∵M，O分别为AD，ND的中点，

∴AN∥MO且AN＝2MO，

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∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四边形CDMN是菱形，

在Rt△MOD与Rt△NEC中，

∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，

∴MO＝NE.

根据菱形的性质可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷tan30°＝，

即AN＝2.

11. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点

E,DF⊥BC于点F,求证:四边形AEFD是菱形.

【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,

∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.

又∠ABE=∠FBE,BE=BE,

∴△ABE≌△FBE.

∴∠BAE=∠BFE.

又∠BAE=90°-∠ABC=∠C,

∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.

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∵DF ⊥BC ,AH ⊥BC ,∴AE

∥DF. ∴四边形AEFD 是平行四边形. 又AD=DF ,∴四边形AEFD 是菱形.

12. [2012·南宁中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD ,AD ＝2,AB ＝4,将纸片折叠,使顶点A 与边

CD 上的点E 重合,折痕FG 分别与AB ,CD 交于点G ,F ,AE 与FG 交于点O .

图1图2

(1)如图1,求证：A ,G ,E ,F 四点围成的四边形是菱形； 【答案】证法一：

证明：在矩形ABCD 中,CD ∥AB ∴∠1＝∠3(1分)

由折叠可知：AG ＝EG ,∠1＝∠2 ∴∠2＝∠3 ∴EF ＝EG (2分) ∴EF ＝AG

∴四边形AGEF 是菱形(3分) 证法二：

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证明：连接AF ,由折叠可知

OA ＝OE ,AG ＝EG (1分) 在矩形ABCD 中,AB ∥CD ∴∠AEF ＝∠EAG ∵∠AOG ＝∠EOF

∴△AOG ≌△EOF (ASA )(2分) ∴AG ＝EF

∴四边形AGEF 是菱形(3分)

(2)如图2,当△AED 的外接圆与BC

相切于点N 时,求证,点N 是线段BC 的中点； 【答案】证明：连接ON ,O 是Rt△ADE 外接圆圆心.

∵⊙O 与BC 相切于点N ∴ON ⊥BC (4分)

在矩形ABCD 中,DC ⊥BC ,AB ⊥BC ∴CD ∥ON ∥AB ∴＝(5分)

∵OA＝OE∴CN＝NB

即N为BC的中点(6分)

(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.

【答案】解法一：

过点O作OM⊥AB于点M,则四边形OMBN是矩形

设⊙O半径为x,则OA＝OE＝ON＝x(7分)

∵AB＝4,AD＝2 ∴AM＝4－x

由第2问得,NB＝OM＝1

在Rt△AOM中,OA2＝AM2＋OM2

∴x2＝(4－x)2＋12∴x＝(8分)

AM＝4－＝

∵∠FEO＝∠OAM

又∵∠FOE＝∠OMA＝90°

∴Rt△EFO∽Rt△AOM

∴＝∴＝(9分)

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∴OF＝∴FG＝2OF＝(10分)

解法二：

延长NO交AD于点M

∴四边形ABNM是矩形

∴AM＝BN＝AD＝1

∵O为Rt△ADE外接圆圆心

∴OA＝OE＝ON

设ON为x,则OM＝4－x(7分)

在Rt△AMO中,AM2＋OM2＝OA2

即12＋(4－x)2＝x2

x＝(8分)

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∴OM＝4－＝

∵FG⊥AE,MN∥DC∴∠FEO＝∠MOA∠AMO＝∠EOF＝90°∴△EOF∽△OMA

∴＝∴＝(9分)

∴OF＝FG＝2OF＝(10分)

13. [2013·葫芦岛中考,20] (本小题满分8分)

如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.

(1)求证:△ABD≌△EBD;

【答案】如图,

∵AD∥BC,

∴∠1=∠DBC.

∵BC=DC,∠2=∠DBC.

∴∠1=∠2.2分

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又∵∠BAD=∠BED=90°,

BD=BD,∴△ABD≌△EBD.4分

(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.

【答案】由第1问得,AD=ED,∠1=∠2.

∵EF∥DA,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.

∴EF=ED.5分

∴EF=AD.6分

∴四边形AFED是平行四边形.

又∵AD=ED.

∴四边形AFED是菱形.8分

14. [2013·贵阳中考，20]

已知：如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.

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(1)求证：AE ＝EC ； 【答案】

证明：连接AC .

∵BD 是菱形ABCD 的对角线， ∴BD 垂直平分AC . ∴AE ＝EC .

(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置说明理由.

【答案】点F是线段BC的中点.

理由：∵菱形ABCD中，AB＝BC，

又∵∠ABC＝60°.

∴△ABC是等边三角形，∠BAC＝60°.

∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.

∴AF是△ABC的角平分线.

∵AF交BC于点F，

∴AF是△ABC的BC边上的中线.

∴点F是线段BC的中点.

15. [2012·上海中考,23]已知：如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠BAF＝∠DAE,AE与BD交于点G.

(1)求证：BE＝DF；

【答案】∵四边形ABCD为菱形,

∴AB＝AD＝BC＝CD,

∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB,

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v1.0 可编辑可修改∠ABE＝∠ADF

∵∠BAF＝∠DAE,

且∠BAF＝∠BAE＋∠EAF,

∠DAE＝∠DAF＋∠EAF

∴∠BAE＝∠DAF.

∴△ABE≌△ADF(ASA).

∴BE＝DF.

(2)当＝时,求证：四边形BEFG是平行四边形.

【答案】在菱形ABCD中,ADBC,

∴∠DAE＝∠BEA,∠ADB＝∠EBD.

∴△AGD∽△EGB.

∴＝.

又∵＝,BE＝DF,

∴＝＝＝

∴GF∥BE.

∴∠DGF＝∠DBC.

∵∠DBC＝∠CDB,

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