河北省石家庄市高三数学高中毕业班第一次高考模拟考试(理)人教版

试卷类型：A

2010年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷

数 学(理科)

说明：

1．本试卷共4页，包括三道大题．22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案． 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A 在一次试验中发生的概率 是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k

n p k (1-p)

k

n - (k=0，l ，2，…，n)

球的表面积公式S=4πR 2其中R 表示球的半径 球的体积公式V=

3

4

πR 3其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1．下列函数中，周期为π的是

A ．y=sin

2x

B ．y=sin2x

C ．y=cos 4

x

D ．y=tan2x

2．已知数列{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=15，a 4=7，则S 6的值为 A ．30 8．35 C ．36 D ．24 3．已知函数f(x)的反函数f

1

-(x)的图象经过4(1，O)点，则函数y= f(x-1)的图象必过点

A ．(1，1)

B ．(0，1)

C ．(一1，2)

D ．(一l ，1)

4．动点P 到A(0，2)点的距离比它到直线l ：y=-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为 A ．y 2

=4x B ．y 2

=8x C ．x 2

=4y D ．x 2

=8y 5．设(1-2x)10

=a 0 + a 1x + a 2x 2

+…+ a 10x 10

，则a 1+

22a +232a +…+9

102a 则的值为 A ．2 8．-2 C ．2043 D ．2046

6．若定义在[-1，1]上的两个函数f(x)、g(x)分别是偶函数和奇函数，且它们在[0， 1]上的

图象如图所示，则不等式

)

()

(x g x f <0的解集为

A ．(-31,0)∪(31,1)

B ．(-31,3

1) C ．（-1，-31)∪(31,1) D ．(-3

1

，0)

7．过直线y=x 上一点P 引圆x 2+y 2-6x+7=0的切线，则切线长的最小值为

A ．

2

2 B. 22

3 C ．210 D.2

8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则A 1E 与BD 所成角的余弦值为

A ．

53 B. 1030

C ．

4

3

D ．77

9．等腰直角三角形ABC 中，A=

2

π

，AB=AC=2，M 是BC 的中点，P 点在?ABC 内部或其 边界上运动，则即BP ·AM 的取值范围是

A ．[-l ，0]

B ．[1，2]

C ．[-2，-1]

D ．[-2，0] 10．函数f(x)=sinx+2x f '(

3

π) ，f '(x)为f(x)的导函数，令a=-21

，b=log 32,则下列关系

正确的是

A ．f(a) > f(b)

B ．f(a) ＜ f(b)

C ．f(a) = f(b)

D ．f(|a|) ＜ f(b)

11．如图，棋盘式街道中，某人从A 地出发到达B 地．若限制行进的方向只能向右或向上，那么不经过E 地的概率为

A ．

21 B ．73 C ．53 D. 5

2

12．椭圆22a x +22

b

y =1(a>b>0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设

∠ABF=α，且α∈[

12π,4

π

]，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．[

22,1 ) B ．[22,36] C ．[36，1) D ．[2

2,23]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分． 13.复数

i

i

++13的虚部为 14．已知集合A={x ︱︱x-a ︱≤l}，B={x ︱0652

≥--x x }，若A ∩B=φ，则实数a 的取值范围是

15．奇函数f(x)的图象按向量a 平移得到函数y=cos(2x 一3

π

)+1的图象,当满足条件的 ∣a ∣最小时，a =

16．三棱锥A —BCD 内接于球0，BC=AD=32，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=

2

π

，顶点 A 在面BCD 上的射影恰在BC 上，。一动点M 从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经 过其它兰个顶点后回到出发点，则动点M 经过的最短距离为

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤r 17．(本小题满分l0分)

如图，已知平面四边形ABCD 中，?BCD 为正三角形，AB ＝AD=1，∠BAD=θ，记四边 形ABCD 的面积为S.

(I)将S 表示为θ的函数；

(Ⅱ)求S 的最大值及此时θ的大小．

18．《本小题满分12分)

已知公比q 为正数的等比数列{n a }的前n 项和为n s ，且4245s s =． (I)求q 的值；

(Ⅱ)若()

*

-∈≥+=N n n S q b n n ,2,1且数列{n b }也为等比数列，求数列{(2n 一1)n b }

的前n 项和n T ．

19.(本小题满分l2分)

为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每 次投中记l 分，投不中记一1分，统计平时的数据得如图所示频率分布条形图．若在某场训练中，该运动员前n 次投篮所得总分司为n s ，且每次投篮是否命中相互之间没有影响．

(I)若设3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望； (Ⅱ)求出现28=S 且()3,2,10=≥i S i 的概率。

20．(本小题满分12分)

如图，平行六面体ABCD —1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=3

π 其中AC 与BD 交于点G ，1A 点在面ABCD 上的射影0恰好为线段AD 的中点。

(I)求点G 到平面11A ADD 距离；

(Ⅱ)若G D 1与平面11A ADD ，所成角的正弦值为4

3， 求二面角1D -OC-D 的大小．

21．(本小题满分12分)

如图，已知双曲线122

22=-b

y a x (b>a>O)且∈a [1，2]，它的左、右焦点分别为21,F F ，左、

右顶点分别为A 、B ．过2F 作圆2

2

2

a y x =+的切线，切点为T ，交双曲线于P,Q 两点.

(I) 求证：直线PQ 与双曲线的一条渐近线垂直；

(II)

若M 为2PF 的中点，0为坐标原点，∣OM ∣-∣MT ∣=1，∣PQ ∣=λ∣AB ∣，求实数λ的取值范围．

22．(本小题满分l2分)

已知过原点（0，0）作函数，()()

a x x e x f x

+-=2

的切线恰好有三条，切点分别为

()()()332211,,,,,y x y x y x ，且321x x x

(I)

求实数a 的取值范围；

(Ⅱ)求证：1x <-3．

2010年石家庄市第一次模拟考试

理科数学答案

审核：魏会阁 校对：李茂生

一选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

（A 卷答案）:1-5 BCADB 6-10 ACBDA 11-12 DB （B 卷答案）:1-5 DCABD 6-10 ACDBA 11-12 BD 二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分 13． 1- 14. {|05}a a << 15. ,112π??

-

???

16. 4π 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解：(Ⅰ)在ABD ?中，由余弦定理得θcos 222

-=BD ,……………………….1分 又ABD BCD S

S S ??=+=sin

)cos 22(21sin 21θθ-+3

π

……………………………3分

所以sin()3

S θπ

=-+

，(0,)θ∈π ……………………………….5分 （Ⅱ） (,0∈θπ ） 2333

θπππ∴-

<-<，……………………………….7分 所以当2

3

1S 652

3

+=

=

-

取得最大值，最大值为时，时，即πθπ

π

θ. …10分 18．解（Ⅰ）若1=q ， 则12105a S = ,14164a S = ,

,01≠a ∴4245S S ≠，不合题意. ……………………………………………….2分

若1q ≠，由4245S S =得q q a q q a --?=--?1)1(41)1(54121，∴,4

12

=q 又,0>q

∴2

1

=

q . ……………………………………………………………………………..5分 (Ⅱ)21111)21(221211])21(1[21--?-+=--+=n n n a a a b ，…………………………….7分

由{}n b 为等比数列知：02211=+a ，得 4

1

1-=a ，

∴n n n b 2

1

)21(412=?=-. ….........................................................................................9分

则n n n T 21

225232132-++++=

， ① 1322

12232232121+-+-+++=n n n n n T ， ② ①-②得-=3n T 23

2

n

n +. ………………………………………………………………..12分 19. 解：（Ⅰ）分析可知ξ的取值分别为1，3. …………………………………………..2分

22223312212(1)()()()(),33333p C C ξ∴==+=

33121

(3)()(),333

p ξ==+=…………………………………………………………….4分

ξ∴的分布列为

215

13.333

E ξ=?+?= ………………………………………………………….6分

（Ⅱ）若28=S ，说明前八次投篮中，五次投中三次未投中，又)3,2,1(0=≥i S i 所以包含两种情况.

第一种情况：第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意两次未投中.

此时的概率为232152121233333P C ??????????= ????? ? ?

??????????=3

5253132??

? ?????? ??C . ………………..8分 第二种情况：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中.此时的概率为

3

3

32622123333P C ????????= ??? ? ?

????????=3

5363132??

? ?????? ??C . ……………………………………..10分 所以出现82S =且0(1,2,3)i S i ≥=的概率为：=+=21P P P 7

320320

32187

=. …….12分 20．解：(Ⅰ) 连结BO ,取DO 中点H ，连结GH , 因为1A O ⊥平面AC ,所以平面1AD ⊥平面AC ， 又底面为菱形，O 为AD 中点， 所以BO ⊥平面1AD ， 因为GH ∥BO ，

所以GH ⊥平面1AD ，…………………….3分

又GH =

1

2

BD =32， ξ

1 3

P

23 13

所以点G 到平面11ADD A 的距离为3

2

. …………………………………………..5分 (Ⅱ)方法一：

分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系， 则 13(,,0)2G -

，1(2,0,)D a -，所以133

(,,)22

D G a =-，

面1AD 的一个法向量()

=0,3,0n ，

所以123

32cos ,=33

D G a ?+ n = ，解得1a =，…………………………………7分

因为面OCD 的一个法向量为(0,0,1)=n ，………………………………………………8分 设面1OCD 的一个法向量为(,,)x y z =p ，则1(2,0,1)OD =-，(2,3,0)OC =-，

则有10;0.

OC OD ??=???=??p p 所以23020x y x z ?-+=?

?-+=??，

取3x =

，(3,2,23)=m ， …………………………………………………………10分

则23257

cos ,1919

<>=

=p m ， 所以二面角1D OC D --的大小为257

arccos

19

. ………………………………… 12分 方法二:连结1D H ,由（1）可知1GD H ∠为直线

1D G 与平面1AD 所成角.

则113

sin 4

GH GD H D G ∠=

=

， 所以12D G =………………………….6分

过1D 做11D O 垂直AD ,交其延长线于1O 点，连结1O G ,在1O DG ?中，

11,O D DG ==123

GDO π

∠=

，所以1OG =， 那么在直角三角形11D O G ，11D O =1，………………………………………….8分 过1O 做1O M CO ⊥于点M ，连结1D M ，

则11D MO ∠为所求二面角的平面角， ………………………………………….9分 连结1CO ,则1OO 1O C ⊥，且1OO =2

，1OC = 则在△1OO C

中，1O M =

，………………………………………………..11分

所以11111tan 6

D O D MO O M ∠=

=

， 所以所求二面角1D OC D --

的大小为arctan

6

……………………………12分 21．解：（Ⅰ）双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的渐近线为b

y x a

=±，

设直线PQ 的方程为()y k x c =-,(不妨设0

2

2

x y a +=相切，

∴

a =，即22

2a k b =，直线PQ 的斜率a

k b =-，…………………….3分 因为一三象限的渐近线为

b a

， 1a b

b a

-?=-. 所以直线PQ 与双曲线的一条渐近线垂直；……………………………………….5分

（Ⅱ）2222()1y k x c x y a b

=-???-=??得22222222222

()20b a k x a k cx a k c a b -+--=，

设1122(,),(,)P x y Q x y ,

则221222222222

122222a k c x x b a k a k c a b x x b a k ?-+=??-?--?=?-?

，

所以||PQ =222222(1)||ab k b a k +=-2

22

2ab b a =-，…….7分

因为11||||2OM PF =

,221

||||2

F M PF =, 2211

||||(||||)2

F M OM PF PF a -=-=，

||||1OM MT -=,代入上式得2||||1F M MT a -=+,

又22||||||F M MT F T b -===，

所以1b a =+. ……………………………………………………………………..9分

因为||2AB a =，2

22

2||ab PQ b a

=-， λ222

22(1)12121

b a a b a a a +==

=+-++，………………………………………….10分 令21,t a =+则1

,2t a -=

[3,5]t ∈，11214t t λ??=+-+????

，

因为1

t t +在[3,5]为增函数，所以49,35λ??∈????

. ……………………………..12分 22. 解(Ⅰ)

)1()(2'-++=a x x e x f x ，

设切点为),(00y x ，则切线方程为))(1()(002

002000x x a x x e a x x e y x

x

--++=+--，

代入（0，0）得003

0=-+a ax x ， 由题意知满足条件的切线恰有三条，

则方程03

=-+a ax x 有三个不同的解. …………………………………………….2分

令a ax x x g -+=3

)( , a x x g +=2

'

3)(.

当0≥a 时,）上增函数，

是（∞+∞-≥)(,0)('

x g x g ，则方程03=-+a ax x 有 唯一解, ………………………………………………………………………………………..3分

当

0

0)('a x x g -

±==得, ）上是减函数）上是增函数，在（和（在3

,3,3)3,()(a

a a a x g ---+∞----∞要

使方程03=-+a ax x 有三个不同的根，只需???????

?->???

?

??--.03;03a g a g

?????????<--+???? ?

?->-???

?

??--???? ??--.033;0333

3

a a a a a a a a ……………………………………………….5分 解得4

27

-

321))()((,

则 a x x x x x x x x x =++=++323121321,0，a x x x =321. 由0,0,004

27

321>><<-

2222232

322322212322≥++++=++=+x x x x x x x x x x x x x x x ,

又因为32x x ≠所以

81

12123

22>+x x x ）（, 21

2322811x x x >+,…………………………………………………………………10分 又

11113

21=++x x x , 所以)111(2111)111(

2

331212322212321x x x x x x x x x x x x +++++=++ 1111111211123

2221232221321321232221=++∴++=+++++=

x x x x x x x x x x x x x x x

又21

21212322219811111x x x x x x =+>++=

, 39121-<>∴x x 即………………………………………………………………..12分

法二a ax x x g -+=3)(

,

,(),

0x g x g ?→-∞→-∞> ?

, 由函数连续性知3

1a

x -

-<<∞-,………………………………………8分 27

4

a <-

，(3)2740,g a ∴-=-->……………………………………10分

且3-< 31-<∴x . ……………………………………………………………………...12分