Banach空间中的弱收敛性及应用

泛函分析知识点

泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2 第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球定义设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限定义若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集定义若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集定义设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。第三节连续映射 1.定义设X=(X,d),Y=(Y , ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足 ()0,d x x δ < 的x ，有 ()~ 0,d Tx Tx ε <，

模式识别复习重点总结

1.什么是模式及模式识别？模式识别的应用领域主要有哪些？模式：存在于时间，空间中可观察的事物，具有时间或空间分布的信息；模式识别：用计算机实现人对各种事物或现象的分析,描述,判断,识别。模式识别的应用领域：（1）字符识别；（2）医疗诊断；（3）遥感； (4）指纹识别脸形识别；（5）检测污染分析，大气，水源，环境监测；（6）自动检测；（7 ）语声识别，机器翻译，电话号码自动查询，侦听，机器故障判断；（8）军事应用。 2.模式识别系统的基本组成是什么？（1）信息的获取：是通过传感器，将光或声音等信息转化为电信息；（2）预处理：包括A\D,二值化，图象的平滑，变换，增强，恢复，滤波等, 主要指图象处理；（3）特征抽取和选择：在测量空间的原始数据通过变换获得在特征空间最能反映分类本质的特征；（4）分类器设计：分类器设计的主要功能是通过训练确定判决规则，使按此类判决规则分类时，错误率最低。把这些判决规则建成标准库；（5）分类决策：在特征空间中对被识别对象进行分类。 3.模式识别的基本问题有哪些？（1）模式(样本)表示方法：（a ）向量表示；（b ）矩阵表示；（c ）几何表示；（4）基元(链码)表示；（2）模式类的紧致性：模式识别的要求:满足紧致集，才能很好地分类；如果不满足紧致集，就要采取变换的方法,满足紧致集（3）相似与分类；(a)两个样本x i ，x j 之间的相似度量满足以下要求： ① 应为非负值 ② 样本本身相似性度量应最大 ③ 度量应满足对称性 ④ 在满足紧致性的条件下，相似性应该是点间距离的单调函数 (b) 用各种距离表示相似性（4）特征的生成:特征包括：(a)低层特征;(b)中层特征;(c)高层特征（5）数据的标准化:(a)极差标准化；(b)方差标准化 4．线性判别方法（1）两类：二维及多维判别函数，判别边界，判别规则二维情况：（a ）判别函数： ( ) （b ）判别边界：g(x)=0; （c n 维情况：（a ）判别函数：也可表示为： 32211)(w x w x w x g ++=为坐标向量为参数，21,x x w 12211......)(+++++=n n n w x w x w x w x g X W x g T =)(为增值模式向量。，＝为增值权向量，T n n T n n x x x x X w w w w W )1,...,,(),,...,,(21121+=+

泛函分析部分知识点汇总

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。一、度量空间的进一步例子 1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立，则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间（1）离散的度量空间设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点，令称为离散的度量空间。（2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令称为序列空间。（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A) 中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数及由于，所以这是X 上的可积函数。令（5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列设是（X ，d ）中点列，如果存在，使则称点列是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列的极限。收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()| f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x

刑法因果关系的认定

刑法因果关系的认定——以刑事审判指导案例为中心的考察作者：杨海强文章来源：《中国刑事法杂志》2014年第3期点击数： 1467 更新时间：2014/9/29 ★★★ 一、研究方法与样本（一）研究方法人文知识的产生有两种路径：一是唯理主义，认为知识通过逻辑推理而得；二是经验主义，认为知识源于经验而非天赋。⑴具体到刑法学研究中，我国刑法理论的发展主要遵循前者的方法，注重理论思辨和逻辑推演。而后者指从现实问题出发，对司法活动的经验进行归纳总结，其是司法官智慧的结晶。因此从判例中汲取营养，提炼理论、构建理论是理论发展的一个重要增长点。在国外，理论和判例相互滋养、互惠互利，许多重大理论源于判例的推动。这样的知识增长方式不但有利于改善我国理论界往往步人后尘的尴尬，而且具有极强的针对性和本土性，并因此

而具备解决问题有效性和实用性。在中国古代，法律的生成有两种方式：一是理性主义模式，主要指制定律典；二是自然而成的经验主义路线。指在成文法之外的经由司法实践摸索、积累、检验后形成的判例。⑵我国是大陆法系国家，前者是我国立法的主要方式。但现在随着我国案例指导制度的建立，后一种方式，即重视司法活动的价值，审视指导性案例的裁判理由，提炼相关裁判要旨，是发展、完善我国法律规则体系的重要渠道，对我国以后的司法实践具有重要的指导作用。因此，经由司法工作人员的智慧锤炼而成的实践理性是一块膏腴之地，其闪现的司法工作人员的理性之光既是萃取理论的富矿，也是提炼裁判要旨、形成司法规则的活水。既有利于指导司法审判，也有利于构建新的理论。因此判例研究方法是一项重要的研究范式。因果关系认定问题是我国理论界传统的争点和难点，随着国外相关理论的纷至沓来，该问题处于风口浪尖，更成为理论聚讼的纷争之地。且目前我国立法和司法解释并未确立因果关系认定的规则，司法裁判无据可依，该问题的解决更多依赖司法官的自由裁量。这种情况下另辟蹊径的指导案例研究便具备了鲜活的生命力。（二）研究样本本案的研究样本是在我国刑事审判中具有指导作用的案例。

度量空间中的紧致性

定义7.5.1 定理7.5.2 作业 §7.5度量空间中的紧致性本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．本节研究这个问题并给出肯定的回答．定义7.5.1 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．集合A的直径diam（A）定义为 diam(A)=sup{ρ(x,y)|x,y∈A}若A是有界的 diam(A)=∞ 若A是无界的定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖．实数λ＞0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A）＜λ，则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中． Lebesgue数不一定存在．例如考虑实数空间R的开覆盖 {(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+} 则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数．（请读者自补证明．）定理7.5.1[Lebesgue数定理] 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数．证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何i∈Z+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）＜1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中．

如何发现和确认事物间的因果联系

如何发现和确认事物间的因果联系？ ——关于A药能医治B病的标准一、因果关系的发展所谓“因果关系”，即原因与结果之间相互依存的关系，是人类在长期的社会生活和生产实践中(通过对事物之原因与结果及其相互关系的长期认识)逐渐总结出来的一个理解事物和预计事物变化发展的基本法则，它在我们的生产、生活和科学研究中有着极广泛的运用，乃人类认识未知世界和获得客观知识的重要依据。而原因与结果范畴则是对世间事物运动变化之过程所皆具的先后二态的哲学抽象——先者名因、后者名果，合称因果关系，为—事物演化的基本法则。从概念关系上看，原因、结果、因果关系这三者实际上是互不分离的——所谓原因，它乃是某结果的原因，亦即因果关系中的原因或因果关系的前件；同理，结果也只能是某原因的结果，即因果关系的后件；而因果关系，也即原因与结果的相互关系。虽然原因与结果这对范畴已经得到古今哲学的长期研究，前人也对因果关系概念下过许多定义，但直至今天，人们对于因果关系的看待和把握仍然很不统一，已有的因果定义并无一个普遍的公认，众说纷纭，在理论和实践上引起了许多争论和混乱。古代三大哲学的因果思想中，都没有明确的因果关系定义，而且具体的因果用义也不确定。有时原因与结果是指实体而言，有时则指的是性质，在古印度因明学和中国墨家逻辑学中又将因果分别视为理由、条件与推断；在古希腊哲学中，最初的原因概念包含在对世界本原的探求之中，或者说，原因就是本原[1]；后来，亚里士多德提出著名的“四因说”，但无一个统一的因果定义；到了近代，伽利略赞同亚里士多德的动力因概念而摒弃了目的因，并具体把引起物体作加速运动的“力”(外力)作为原因[2]。这是“狭义原因”的早期形式。有案可稽的因果关系概念之完整定义最先见于霍布斯的著作，他把原因定义为主动者和被动者双方所具的有关偶性(性质)的总和，而把结果定义为在被动者里面产生的偶性[3]；从而，因果关系就是相互作用物的“件质”在被动物中“产生”新的“性质”。同时，霍布斯还具体将原因视为能力，将结果视为活动，而他所言的原因乃是包括了内因和外因的完全原因。此后，洛克、休谟、康德、拉普拉斯、罗素、黑格尔等也相继给出各自的关于因果关系定义。在现行的马克思主义哲学教科书上也有因果范畴，其因果关系的一般形式是：在自然界和社会中，每一个或每一些现象，都会引起另一个或另一些现象的产生，反过来说，任何现象的产生都是由先前一些现象所引起的；其中，引起一

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式）则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。（这个定义是证明度量空间常用的方法）

注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界

拓扑学第四章-紧致性

第四章紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。 §4-1 度量空间(,)X d 中紧性（简单复习）定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的；如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。 ●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）（1）有限子集总是列紧的。（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。（3）若A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ? A 是闭集。（5）列紧的度量空间必是可分的。 ●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。是X 的一族开集，满足U U A ∈?，则称为A 在X 中的开覆盖；若中只有有限个子集，称为有限开覆盖；若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间?紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。 §4-2 拓扑空间的紧性

距离空间泛函分析第四章习题第一部分(1-18)

第四章习题第一部分(1-18) 1. 在1中令1(x , y ) = (x y )2，2(x , y ) = | x y |1/2，，问1, 2 是否为1上的距离 [解] 显然1, 2满足距离空间定义中的非负性和对称性．但1不满足三角不等式：取点x = 1, y = 0, z = 1，则 1(x , z ) = 4 > 2 = 1(x , y ) + 1(y , z )，所以1不是 1 上的距离。而x , y , z 1 ， 2 (x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==2 (x , z ) + 2 (z , y )；所以2是1上的距离． 2. 设(X , )是距离空间，令 1 (x , y ) = n y x ),(ρ，x , y X ．证明(X , 1 ) 也是距离空间． [证明] 显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性，故只需证明1满足三角不等式即可．实际上x , y , z X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , )是距离空间，证明 | (x , z ) (y , z ) | (x , y )，x , y , z X ； | (x , y ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )，x , y , z , w X ． [证明] x , y , z , w X ，由三角不等式有 (x , y ) (x , z ) (y , z ) (x , y )，故第一个不等式成立．由第一个不等式可直接推出第二个不等式： | (x , y ) (z , w ) | | (x , y ) (y , z ) | + | (y , z ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )． 4. 用Cauchy 不等式证明(| 1 | + | 1 | + ... + | n | )2 n (| 1 |2 + | 1 | 2 + ... + | n |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | i |，b i = 1，i = 1, 2, ..., n 即可． 5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做． 6. 设(X , d )是距离空间，A X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集． [证明] 若A = ，则int(A ) = ，结论显然成立．若A ，则x A ，r > 0使得S (x , r ) A ．对y S (x , r )，令s = r d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) S (x , r )

Eviews格兰杰因果关系检验结果说明

Eviews格兰杰因果关系检验结果说明一、经济变量之间的因果性问题计量经济模型的建立过程，本质上是用回归分析工具处理一个经济变量对其他经济变量的依存性问题，但这并不是暗示这个经济变量与其他经济变量间必然存在着因果关系。由于没有因果关系的变量之间常常有很好的回归拟合，把回归模型的解释变量与被解释变量倒过来也能够拟合得很好，因此回归分析本身不能检验因果关系的存在性，也无法识别因果关系的方向。假设两个变量，比如国内生产总值GDP和广义货币供给量M，各自都有滞后的分量GDP （-1），GDP（-2）…，M（-1），M（-2），…，显然这两个变量都存在着相互影响的关系。但现在的问题是：究竟是M引起GDP的变化，还是GDP引起M的变化，或者两者间相互影响都存在反馈，即M引起GDP的变化，同时GDP也引起M的变化。这些问题的实质是在两个变量间存在时间上的先后关系时，是否能够从统计意义上检验出因果性的方向，即在统计上确定GDP是M的因，还是M是GDP的因，或者M和GDP互为因果。因果关系研究的有趣例子是回答“先有鸡还是先有蛋”的问题。1988年有两位学者Walter N. Thurman和Mark E. Fisher用美国1930——1983年鸡蛋产量（EGGS）和鸡的产量（CHICKENS）的年度数据，对此问题进行了统计研究。他们运用格兰杰的方法检验鸡和蛋之间的因果关系，结果发现，鸡生蛋的假设被拒绝，而蛋生鸡的假设成立，因此，蛋为因，鸡为果，也就是先有蛋。他们并建议作其他诸如“谁笑在最后谁笑得最好”、“骄傲是失败之母”之类的格兰杰因果检验。二、格兰杰因果关系检验

经济学家开拓了一种可以用来分析变量之间的因果的办法，即格兰杰因果关系检验。该检验方法为2003年诺贝尔经济学奖得主克莱夫·格兰杰（Clive W. J. Granger）所开创，用于分析经济变量之间的因果关系。他给因果关系的定义为“依赖于使用过去某些时点上所有信息的最佳最小二乘预测的方差。” 在时间序列情形下，两个经济变量X、Y之间的格兰杰因果关系定义为：若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X有助于解释变量Y的将来变化，则认为变量X是引致变量Y的格兰杰原因。进行格兰杰因果关系检验的一个前提条件是时间序列必须具有平稳性，否则可能会出现虚假回归问题。因此在进行格兰杰因果关系检验之前首先应对各指标时间序列的平稳性进行单位根检验(unit root test)。常用增广的迪基—富勒检验(ADF检验)来分别对各指标序列的平稳性进行单位根检验。格兰杰因果关系检验假设了有关y和x每一变量的预测的信息全部包含在这些变量的时间序列之中。检验要求估计以下的回归：（1）（2）其中白噪音u1t和u2t假定为不相关的。式（1）假定当前y与y自身以及x的过去值有关，而式（2）对x也假定了类似的行为。对式（1）而言，其零假设H0：α1=α2=…=αq=0。

泛函分析度量空间知识和不动点的应用

泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结一、度量空间的例子定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。若对于任何x,y,z 属于X ，有（I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ；（Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ）则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间：证明极限有二种方法： 1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞ =0，则称点列{} n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。即若n x M ∈，n=1、，2……， n x x →，则x M ∈。给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间n R 是可分空间，坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。l ∞ 是不可分空间。三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法： 1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0 x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ 0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有 (,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。 2、对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 得某个δ—邻域V 使TV ?U ，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。 3、定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，d ）中的映射，那么T 在0 x X ∈连

拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域

第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性 §1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离 d(x,y)= 。无论是几维空间，它的距离都有下面的性质： 1. d(x,y)≥0 , ?x,y∈n R; 2. d(x,y) = 0 ?x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) ?x,y∈n R; 4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ?x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征。将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。（一）度量空间 1.定义定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有 ①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ?x = y ； ②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ； ③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z) 则称ρ是集合X中的一个度量。

幼儿对因果关系和可逆关系推理的发展

守恒实验:幼儿对因果关系和可逆关系推理的发展实验报告摘要：本研究以幼儿园3-8岁儿童共66名作为被试，通过开展皮亚杰守恒实验中的长度守恒，物质守恒和液体守恒，考察了不同年龄段儿童守恒能力的发展情况；并通过对于儿童在解释中提供的理由的分析考察了学前儿童对因果关系和可逆关系推理的发展。结果表明：年龄导致小班与大班中班之间在守恒实验的成功率上有显著的差异，而中班与大班的差异则不明显；儿童在中班便具备了一定的守恒能力，守恒能力的体现中，因果关系和可逆关系推理的发展起到了一定的作用。关键词学前儿童守恒因果关系可逆关系 1引言皮亚杰将儿童的认知发展分为划分为四个阶段,即感知运动阶段(0~2岁),前运算阶段(2~7岁),具体运算阶段(7~11岁),形式运算阶段(11~15岁)。而儿童思维在从前运算阶段发展到具体运算阶段的过程中，守恒观念的建立具有十分重要的意义。因此，许多心理学家都对“守恒”研究加以重复和检验，据估计达 3000 种以上。【1】守恒是指物体从一种形态转变为另一种形态时,它的物质含量没有改变。在前运算阶段,儿童较婴儿有了更高的思维能力,然而,如皮亚杰指出,这一阶段的儿童还不能掌握守恒的原则,这时的儿童仅仅注意到事物的一个方面而忽视其他方面。当物体外形发生了一定变化时,他们还不能把握该物体所具有的不变的某一特质。【2】本研究从长度、物质、体积三个角度出发，通过对处于前运算阶段和具体运算阶段之间的儿童进行研究，对皮亚杰的理论进行检验，并对儿童的回答进行分类分析，考察儿童对因果关系和可逆关系的推理的发展。根据皮亚杰的理论，我们预期，年龄对于儿童是否具有守恒能力有较大影响，大班（7-8岁）应当有一部分儿童具备守恒能力。 2实验方法 2.1被试本研究开展于2016年3月，共包括66名幼儿园儿童。其中，大班26人（男11人，女15人），年龄6-8岁（平均值6.92岁），中班14人（男8人，女6人），年龄5-7

泛函分析习题1

线性与非线性泛函分析◇ - 1 - 习题1 1.(张燕石淼)设在全体实数R 上，定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和 (2) (,)d x y ，证明(1)(,)ρR 不是度量空间；(2)(,)d R 是度量空间． 2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间，:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足 ,x y f ?∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+，令(,)((,))d x y f x y ρ=，证明X d (,)为度量空间． 3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间，证明,,,x y z w X ?∈有 (,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+． 4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=，对于 123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ，定义11(,)12k k k k k k x y d x y x y ∞ =-=+-∑ ．证明 X d (,)为度量空间． 5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =，对于任意的,()x y X n ∈，定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数，例如在(3)X 中，(110,111)1d =， (010,010)0d =(010,101)3d =．证明((),)X n d 为度量空间． 6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间， A X ?且A ≠φ．证明A 是开集当且仅当A 为开球的并． 7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间．那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集． 8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列．证明(),n n n a d x y =是收敛列． 9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间，在X Y ?上定义度量 112212121 ((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+，其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈?，1p ≥为正数．证明 X Y ?是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间． 10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间，{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集，证明1n n G ∞ = 也是X 中的稠密子集． 11.(王胜训闫小艳)设n A ?R ，证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集． 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间，A X ?且A φ≠．证明（1）{|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集．（2）{|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集，其中0ε>．

第4讲：因果关系与知识

第四讲：因果关系与知识 (2010-04-01 00:23:33) 今天所要了解的内容中既包含了问题，又包含了解答。问题有两个：1）我们是否能为因果关系提供依据？2）我们能否进行确定的经验推理，从而获得经验知识？这两个问题的关联可以用逻辑的形式来说明。如果把一个经验推理写成从“A”推出“B”的形式，那么要能够这样推理，我们需要两个前提，一个是“A”，另一个是“A蕴涵B”。其中后一个前提所表示的就是因果关系。如果能够为这个前提提供依据，也就能够保证这个前提为真。关于前一个问题，休谟给出了否定的回答。按照常理，如果否定了1），那么对后一个问题也就会给出否定的回答。由于所有不是经过直接的观察而获得的经验知识（而这包含了所有有意思的知识）都是建立在经验推断的基础上的，对2）的否定回答就使我们陷入了关于经验知识的怀疑论。这是人们不情愿看到的。鉴于这种后果，前一个问题就被称为“休谟问题”。休谟问题使休谟名垂青史，包括康德在内的后来很多人都致力于思考这个问题。不过，休谟本人对2）给予了肯定的回答，看起来，休谟认为自己实际上解决了休谟问题。这种解决休谟在《人类理解研究》中称为“怀疑论的解决”。 1.知识要得到知识，需要两个必要条件（当然，这不排除其他条件的可能性），其一是推理，其二是信念。知识的表述形式就是，在观念间建立连接。例如“三角形内角和是两个直角”在“三角形内角和”与“两个直角”这两个观念间建立连接，而“刘翔是上海人”就把“刘翔”这个观念和“上海人”这个观念连接起来了。观念间的连接被休谟认为就是推理。[1] 知识的另外一个必要条件是信念。随意想象的东西也是观念，但知识是为人所相信的观念，这样的观念就是信念。因此，要探究知识，就要考虑什么样的观念才能构成信念。休谟对建立观念连接的方式进行了区分。一种连接是一旦给出观念就可以建立的连接，这种连接就是观念的连接。另外一种连接则关系到这两个观念涉及到的事物是否连接起来了，因而被称为事实的连接。由于这些事物是通过印象进入心灵的，它们之间的连接就体现

泛函分析第七章习题解答125

第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ）因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3．设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=

《点集拓扑学》第7章 §7.5 度量空间中的紧致性

§7.5度量空间中的紧致性本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．本节研究这个问题并给出肯定的回答．定义7.5.1 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．集合A的直径diam（A）定义为 diam(A)=sup{ρ(x,y)|x,y∈A}若A是有界的 diam(A)=∞ 若A是无界的定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖．实数λ＞0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A）＜λ，则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中． Lebesgue数不一定存在．例如考虑实数空间R的开覆盖 {(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+} 则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数．（请读者自补证明．）定理7.5.1[Lebesgue数定理] 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数．证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何i∈Z+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）＜1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中．在每一个之中任意选取一个点,由于X是一个序列紧致空间，所以序列有一个收敛的子序列．由于A是X的一个开覆盖，故存在A∈A使得y∈A，并且存在实数ε＞0使得球形邻域B（y，ε）A．由于，所以存在整数M ＞0使得当i>M时．令k为任意一个整数，使得k＞M+2/ε,则对于任何有

因果关系与对称性原理及其电磁学应用

题目因果关系与对称性原理及其电磁学应用学生姓名詹斌专业名称物理学指导教师王参军学号200791014058 2009年12月30日

因果关系与对称性原理及其电磁学应用摘要:利用电磁场的原始定义,讨论了电势和矢势等描述电磁场系统的物理量在空间反射、时间反演操作下的变换性质,利用对称性原理讨论了某些对称条件时电磁场的分布情况,指出只有严格意义上的物理定律才能应用对称性原理. 关键词:因果关系;对称性原理;电磁场;反演操作

The cause and effect and the principle of symmetry and it’s a pplication in the electromagnetic fields Abstract :By utilizing the original definition of the electromagnetic fields , the trans formation property of the electromagnetic field’ s state functions under the space operaxion or time operation is discus sed. The eletromag2netic field’s distribution from t he charge’ s distributio n is got after the principle of symmetry is utilized. Finally it is pointed out that only the really physics law can be discussed using the principle of symmetry. Key words :the cause and effect ;the principle of symmetry ;electromagnetic field ;under operation