几何画板的作用与应用

几何画板的作用与应用

摘要：“几何画板”具有功能强大、操作方便、易学易用、制作课件简便快速等特点，能够动态地保持几何关系，帮助学生深刻理解数学规律，有效突破教学难点。

关键词：几何画板动态效果做中学直观形象

信息技术的发展，深刻影响着教学手段的变革。熟练应用信息技术辅助学科教学，

成为广大教师的强烈愿望。对广大中小学教师来说，真正能够利用信息技术有效辅助教学，首先需要选择一个好的应用平台，“几何画板”正是这样一个平台。

“几何画板”是从美国引进的工具平台类优秀教学软件，具有功能强大、操作方便、易学易用、制作课件简便快速等特点。它能够动态地保持几何关系，帮助学生深刻理解数学规律，有效突破教学难点，因而深受广大师生的喜爱和欢迎。对于广大中小学数学教师来说，学习和使用几何画板就象学习和使用直尺和圆规一样容易，稍加培训就可基本掌握。一个能够熟练使用几何画板的老师，可以根据需要在课堂上当堂用几何画板制作课件。可以说，“几何画板”是目前所有教育类软件中最适合中小学数学教师使用的软件之一。

几何画板功能简介

几何画板是一个十分优秀的教育软件，熟悉几何画板，掌握几何画板的功能能够基本满足中学数学辅助教学的需要。这里结合中学数学的教学内容简单介绍几何画板的一些功能，使读者对几何画板在教学中有哪些应用有一个大概的了解。

1．动态的图形功能

几何画板，顾名思义是“画板”。像许多Windows环境下的绘图软件一样，也提供了画点、画线和画圆的工具。线分为线段、射线和直线，画出的圆是正圆，这实际上提供了计算机上的直尺和圆规。

几何画板的【构造】菜单可以帮助用户快速地绘制常用的尺规图形，比如平行线、垂线、以圆心和给出的半径画圆等，因此能画任意一种欧几里得几何图形，而且注重数学表达的准确性。

几何画板所作出的图形是动态的，可以在图形变动时保持设定不变的几何关系。如设定某线段的中点后，线段的位置、长短、斜率变化时，该点的位置变化，但永远是该线段的中点；设定为平行的直线在动态中永远保持平行。如图1-6-1所示，当拖动点P任意改变圆内的相交弦AB和CD的交点P 的位置时，动态显示PA×PB、PC×PD的数值总相等，准确地表达了相交弦定理，

如果把点P拖到圆外，又可以表现割线定理。由于能“在运动中保持给定的几何关系”，就可以运用几何画板在“变化的图形中，发现恒定不变的几何规律”，给我们开展“数学实验”，进行探索式学习提供了很好的工具。

2．简便的动画功能

几何画板可以针对几何教学的要求制作动画（animation）和移动（movement）对象，可以表现几何体的运动。如图1-6-2所示，三棱柱的一个角被“切割”下来，可以通过按钮控制它的分离与拼合。利用这一功能，还可以让几何体转动起来产生三维效果的直观图，培养空间想象能力。如图1-6-3所示，单击【运动点】按钮，三棱锥就开始转动起来，还可以控制转动的快慢或者暂停。

3．有趣的变换功能

几何画板提供了平移、旋转、缩放、反射等图形变换功能，可以按指定的值或动态的值对图形进行这些变换，也可以使用由用户定义的向量、角度、距离、比值来控制这些变换。如图1-6-4所示，△C'D'E'由△CDE关于线段AB反射得到，拖动图中的任意一点，△CDE与△C'D'E'

均关于直线AB对称，线段CC'、DD'与AB垂直，被AB平分。这样一来用几何画板就可以研究运动、变换等一些非欧几里得几何问题。

几何画板还能对动态的对象进行“追踪”，并能显示该对象的“踪迹”，如点的踪迹、线的踪迹，形成曲线或包络。如图1-6-5所示，当点B绕点A以定长旋转时，追踪它形成其踪迹——圆。这又为平面解析几何中的轨迹教学提供了极好的工具。

利用这一功能，可以使学生预先猜测轨迹的形状，还可以看到轨迹形成的过程以及轨迹形成的原因，为观察现象、发现结论、探讨问题创设了较好的情境。

4．方便的计算功能

几何画板提供了度量和计算功能，能够对所作出的对象进行度量，如度量线段的长度，度量弧长、角度、面积等。还能够对度量出的值进行计算，包括四则运算、函数运算，并把结果动态地显示在屏幕上。当被测量的对象变动时，显示它们大小的这些数量也随之改变，可以动态地观察它们的变化或者关系。这样一来，像研究多边形的内角和之类的问题就非常容易了。许多定量研究也可以借助几何画板来进行。

5．独特的自定义工具

自定义工具就是把绘图过程（步骤）自动记录下来，形成一个工具（给出工具名），并随文件保存下来，以后可以使用这个工具进行绘图。比如，课前把画正方体的过程记录下来，制作成一个名为“画正方体”的工具，用这个工具在课堂上再画一个正方体只要几秒钟。

我们可以把画椭圆、画双曲线、画抛物线或者一些常用图形的制作过程分别记录下来，建立自己的工具库，这可以大大增强几何画板的功能。

用这一功能还可以揭示他人用几何画板制作课件的过程，向他人学习制作经验，提高制作水平，还可以进一步用来进行课件制作方法交流、研究。

6．丰富的图像功能

几何画板支持直角坐标系和极坐标系，支持由y=f（x），x=f（y），r=f（θ），θ=f（r）确定的图像或曲线。

只要给出函数的表达式，几何画板能画出任何一个初等函数的图像，还可以给定自变量的范围。如果需要进行动态控制，可以作出含若干个参数的函数图像，如函数y＝ax2的图像（见图1-6-6）。当用鼠标拖动点A移动时，a的值（点A 的纵坐标）与抛物线的开口大小也随之变动。也可以作出一个形状不变、位置可以任意改变的函数图像以便进行图像变换的研究，如利用与y＝ax2的图像形状相同的图像可以说明函数y=a（x–m）2+n的图像与y＝ax2图像的关系。还可以用几何画板作出由离散的点组成的函数图像，如图1-6-7就是数列的图像。几何画板支持在同一个坐标系中作出若干个函数的图像，这样就可以进行比较，利用它们讨论方程、不等式解的情况，促进“数形结合”。比如，同时作出函数y ＝ax，y＝log （a＞0，a≠1）的图像讨论方程ax＝log（a＞0，a≠1）解的情况。图1-6-8显示，当0＜a＜1时，方程ax＝log 的解可能是3个。

用几何画板可以画分段函数的图像，而且可以画出分任意段的分段函数的图像。

几何画板支持多种坐标系的选择，不但可以作出直角坐标系下方程所表示的曲线，也可以作出极坐标系下方程表示的曲线（如作出直角坐标系下的双曲线、极坐标系下的玫瑰线）。不仅能制作出由普通方程给出的曲线，也能作出由参数方程给出的曲线。

几何画板还支持在同一个画板中同时定义几个

坐标系，可以定义其中一个为当前坐标系，这样，同一个点可以有几个不同的坐标。

7．开放的其他功能

几何画板符合Windows应用程序的一贯风格，可以为文字选择字体、字型、字号、颜色，可以为图形设置颜色，而且可以把颜色与数字关联起来，当数字改变时颜色也发生变化，比如函数图像移动时，颜色也在改变。可以为图形、图像增加一段文字说明，而且几何画板 4.0以上版本支持对文本进行数学格式的排版。

几何画板还有Link功能，支持与URL链接，直接打开.htm文件；还可以直接调用Windows的其他应用程序或者打开某个文件（比如打开某个.doc文件或者另一个.gsp文件）；或者链接音频文件播放声音，等等。既可以与其他软件很好地配合起来使用，还可以把几何画板文件保存为.htm文件，支持网络发布。

几何画板可以通过Windows的剪贴板方便地与其他应用程序交换信息。如把几何画板制作的图形粘贴到Word文本中，也可以把其他程序中的文本、图片粘贴到几何画板中来。

几何画板提供了“隐藏/显示”功能，能够把不必要的对象暂时隐藏起来，然后又可以根据需要显示出来，形成对象间的切换。

一个文档容许由若干页组成，页间可以通过按钮切换，例如可以为你的课件增加一个“使用说明”。

8．及时的帮助功能

和其他Windows的应用程序一样，如果不清楚怎样做某件事，可以打开【帮助】菜单，得到及时的帮助。在操作过程中，单击【帮助】（若存在）按钮也可以得到及时的帮助。几何画板还提供了对象属性（单击右键）的查询或编辑，它能提供某对象的有关信息，某些属性还可以及时修改。比如某个点是自由的还是一条线段与一条直线的交点；某个按钮是由哪些按钮组成，每一个按钮能够完成什么样的操作等，这对于分析图形之间的逻辑关系，了解作图过程是非常有用的。再比如，对【运动点】按钮可以修改运动属性，而不必再重新制作该按钮。

此外，用几何画板还可以研究几何分形与函数迭代等问题，也可以用曲边梯形的面积表现定积分的几何意义。

可以说，几何画板是这样一个工具：

一个有力的探索工具，可以用它去发现、探索、表现、总结数学规律。

一个优秀的演示工具，能准确、动态地表达以及演示数学问题。

一个便捷的交流工具，特别适合用于问题的交流、研究和讨论，有“动态黑板”之美誉。

一个简便的使用工具，功能强大却使用方便。

一个重要的反馈工具，提供多种方法帮助教师了解学生的思路和对概念的掌握程度。

《几何画板》在初中数学课堂教学中的应用

1、激发学生的对数学的学习兴趣，让学生在“做中学”

传统的教育模式留给学生的印象是枯燥和抽象的。绝大部分的学生对数学敬而远之，甚至是惧怕和厌恶，特别是在初中接触了几何与函数之后。这种情绪极大地压抑了学生的学习潜力。《几何画板》具有强大的动态变化功能，一流的交互功能，能以浓缩的形态给学生提供数学背景，通过学生的参与和亲手操作，枯燥抽象的内容变成生动形象的图形，原本不明白或不甚明白的概念等变得一目了然。以往用圆规、三角板绘制几何体，是不动的一个图形，几何画板运用动态的几何图形培养了学生空间想象的能力。

当我们使用《几何画板》动态地、探索式地表现直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，还有象圆锥的侧面展开图等等，都能把形象变直观，实现空间想象能力的培养，原本静止枯燥的数学课变成了生动、活泼、优美感人的舞台，学生情绪高涨，专注、渴求和欣喜的神情挂在脸上，作为老师的我们感到无限欣慰，《几何画板》一时成了师生的热门话题。使学生深刻体会到：“自己的眼睛可以看到自己在现实生活中看不到的一面”、“数学原来也能这样来学”、“想不到数学还真有趣”……

兴趣是学生学习的最好的老师，是原动力。实践证明使用《几何画板》探索学习数学不仅不会成为学生的负担，相反使抽象变形象，微观变宏观，给学生的学习生活带来极大的乐趣，学生完全可以在轻松愉快的氛围中获得知识。

2、利用《几何画板》动态展示教学内容或数学问题，把抽象的数学教学变得形象、直观。

动态展示教学内容或数学问题，能够化抽象为具体，化具体为形象，因而，使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，增强教学的趣味性。数形结合思想是一个非常重要的数学思想。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”《几何画板》为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅对几何模型的绘制提供信息，同时，可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质。在引入《几何画板》之后，可以测量各种数值以及进行各种函数运算，在图

形的变化过程中，数量变化特征也可以直观地展现在学生眼前，“以形助数”，“用数解形”，这在传统教学中无法办到。如在“二次函数y=ax2+bx+c 的图像”一节中，如何向学生说明y=ax2、y=ax2+k 、y=a （x-h ）2、y=a （x-h ）2+k 等函数图像的相互关系一直是传统教学中的重点和难点，学生难以理解，教师也难以用文字语言说明。通过《几何画板》只需用鼠标上下移动点a 、h 、k ，y=ax2、y=ax2+k 、y=a （x-h ）2、y=a （x-h ）2+k 等函数图像便可一目了然，难题也就迎刃而解，学生也在a 、h 、k 的变化过程中加深对二次函数的理解。利用《几何画板》反复动态演示y=ax2、y=ax2+k 、y=a （x-h ）2、y=a （x-h ）2+k 等函数图像的相互变换，学生便可比较顺利地掌握二次函数的图像上下左右平移的知识难点。

3、利用《几何画板》进行数学实验，让学生自主 “研究数学”

几何画板是一种适合数学教学的简单工具，我要在开始的时候利用几节课或兴趣小组活动中教会学生使用《几何画板》的基本功能和数学内涵，上数学课(特别是函数、几何课)的时候学生自己动手分析会产生意想不到的效果，用《几何画板》可以教师演示，也可以学生实验，自己探索。在教师的引导下，《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境，学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景从而更有助于学生对数学的学习和理解，同时《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现在的数学教学不仅要培养学生计算、演泽等具有根本意义的严格推理的能力，还培养学生尝试归纳、“假设——检验”、简化然后复杂化，寻找相似性等非形式推理或似真推理的能力。实验方法在数学科学中的作用愈来愈被重视，除了直接观察、假想试验，统计抽样等方法也日益被采用。而《几何画板》的使用，使学生进行数学实验多了一件有用的工具，使得在课堂上让每个学生进行数学实验成为可能。这种数学实验，对学生主体意识的形成，主动参与数学实践本领的提高，自行获取数学知识的能力培养，都将发挥作用。例如：（1）在计算机上用《几何画板》软件画任意一个三角形，再画出它的三条中线，有什么规律？（三角形三条中线交于一点）然后拖动三角形的顶点A 随意改变所画的三角形的形状，看看这个规律是否改变。 Rt A B C

D E F A B C D E

F F E D C B A

（2）在计算机上用《几何画板》软件画任意一个三角形，量出它的各内角并计算它们的和，然后拖动顶点改变所画三角形的形状，再量出变化后的各内角计算内角和。从而得出“三角形内角和等于180度”这一结论。

C

B A

C B

C B A

4、利用《几何画板》搭建验证问题和揭示问题本质的技术平台。

在解决数学问题中，由于问题本身的抽象性和推理的复杂性，花费了很多时间都未能把问题证明出来，此时，产生对问题的疑义并对问题真实性进行验证是一种极为可能并欲想去做的事。验证一方面可以缓解心理紧张和心理焦虑，变换思维角度，对问题进行再认识；另一方面可以调节心理平衡，重塑解题信心。学生在通过实验验证得出问题是真实的时，将会激发起信心，增强解决问题的动力。从而，有效地克服推理过程中产生的心理障碍。例如研究函数图象的性质，特别是增减性，是教学中的难点，有了《几何画板》，我们就很容易解决这一问题。

（1）一次函数：在坐标系内，任作一条直线，很容易得到它的解析式，我们拖动直线，就可以看到它的k 和b 在不断变化，学生们自己操作，仔细研究，就可以总结出，k 、b 大小与图象所经过的象限的关系。如下图，如果，拖动直线上的点P ，则它的横坐标和纵坐标都在同时变化，变化趋势明显。这样，当k>0和k<0时，极易掌握一次函数的增减性。

（2）二次函数：在研究二次函数图象的增减性时，我们拖动抛物线上点P ，可以很形象地看到，y 随着x 的增大，一会儿增大，一会儿减小。问及同学们它的分界线在哪里，再次研究后都能回答是抛物线的对称轴。

5、关于《几何画板》在初中数学教学应用的几点体会

y=-1.54x+1.491

1

1、《几何画板》运用于教学中的前景展望。作为一种新的认知工具的独特优势，是任何传统的教学手段和模型所无法替代的，而且有良好的教学效果，必能得到广泛的使用，前途光明。设想，如果学生能进一步掌握操作技能，在教师的引导下，自行构建模型，然后通过类比，优化模型，找到解决问题的途径，将起到事半功倍的成效。也为教育的一大目标，学会自己学习，发展自己的实现奠定基础。这也是需要广大数学教师进一步探讨的问题。

2、《几何画板》也不能走入误区,它与初中数学整合，其主体还是数学教学，而不是《几何画板》，或为了使用技术而使用技术，应以实现数学目标为最根本的出发点，以改善学习者的学习为目的，恰当合理地使用《几何画板》。特别切忌在使用传统教学手段能够取得良好效果，生硬地使用《几何画板》。如果在设计上我们仅限于把课程内容转换成精美的课件并以良好的传递方式直接播放给学生，那这种整合只是表面层次上的整合，是封闭的，学生的学习仍是接受性的，并不利于学生对深层次知识的探讨也不会引发学生高水平的思维。如何在教育教学中适当地使用《几何画板》这种教育手段，使之充分发挥作用，提高教学效率，突破重点和难点，更好地为数学教学服务，如何让学生学好、学活、学深并培养学生的综合能力，才是《几何画板》与数学教学整合的核心。

总之，信息技术与数学教学的有机整合，标志着一个新的以教育技术的变革来推动教育本身变革的时代已经到来，《几何画板》只是其中一个成功的典范。而先进的教育技术的开发，必将为数学教学方法进一步改革和深化，使教学模式发生翻天覆地的改变，必将迎来数学教育的又一个春天。