高中数学-《指数与指数幂的运算》课件
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高中数学课件——指数及指数幂的运算
an
可知：0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没意义.
性质：(整数指数幂的运算性质对于有 理指数幂也同样适用）
前提
aras ars (a 0, r, s Q)
(a r )s a rs (a 0, r, s Q)
(ab)r arbr (a 0,b 0, r Q)
思考：
缺少 a 0这个前提后是否仍然成立呢？
公式：
a n a n
a
当n为奇数时
n
an
| a
|
aa, ,aa00时时当n为偶数时
分数指数幂
m
规定：a n n am (a 0, m, n N *,且n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示；
（2）根式与分式指数幂可以互化.
规定:
m
a n
1
m
(a
0, m, n
N *,且n
1)
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
1)
1 3
(2a 3b 4
)
(a
1 1
2b 3
)6
(3a
2 1
3b 4
)
例5、计算下列各式
1)( 3 25- 125) 4 25 2) a2 (a 0)
a 3 a2
注意：利用分数指数幂进行根式运算 时，先将根式化成有理指数幂，再根 据分数指数幂的运算性质进行运算。
计算： [(
错误解： 2 1 ( 3) 2 ( 3)1 1 3
3
)
2
]
1 2
正确解：
1
32
1
1
32
1 3
3 3
3 3
例2、求值
2
高中数学 2.1.11《指数与指数幂的运算》课件 新人教A版必修1
0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
高一数学人必修课件指数与指数幂的运算
在不考虑固定资产预计净残值的情况下，根据每年年初固定资产净值和
双倍的直线法折旧率计算固定资产折旧额的一种方法。这种方法前期折
旧额较大，后期较小。
04
指数函数及其性质
指数函数的图像与性质
指数函数的定义
形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的函数叫做指数函数。
指数函数的图像
指数函数的图像是一条从原点出 发，沿x轴正向或负向无限延伸 的曲线。当$a>1$时，图像上升 ；当$0<a<1$时，图像下降。
高一数学人必修课件 指数与指数幂的运算
汇报人：XX
20XX-01-21
目录
• 指数与指数幂的基本概念 • 指数与指数幂的运算法则 • 指数与指数幂在实际问题中的应用 • 指数函数及其性质 • 指数方程与不等式
01
指数与指数幂的基本概念
指数的定义及性质
指数是正整数时，表示相同因 数的连乘，如a^n = a × a × ... × a（n个a）。
注意运算时底数和指数的范围，以及 运算结果的合理性。
运算规则包括同底数幂相乘、幂的乘 方和积的乘方。
指数函数的定义及性质
指数函数的定义
y = a^x（a > 0且a ≠ 1）是指数函数。
指数函数的性质包括
函数图像过定点（1,1），当a > 1时，函数在R上是增函数；当0 < a < 1时， 函数在R上是减函数。
$A = P(1 + frac{r}{n})^{nt}$，其中$A$表示未来值，$P$表示本金，$r$表示年 利率，$n$表示每年计息次数，$t$表示时间（年）。通过该公式可以计算投资在 复利下的未来值。
连续复利
当计息次数趋于无穷大时，即$n to infty$，复利公式变为$A = Pe^{rt}$，其中 $e$是自然对数的底数。连续复利更适用于连续增长的情境。
2.1.1指数与指数幂的运算课件人教新课标
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为 16的4次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为 16的4次方根表示为
例如：27的3次方根表示为
－32的5次方根表示为
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减，大约每经过5730 年衰减为本来的一半，这个时间称为“半
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
提问： 什么？
的意义是
讲授新课
根式： (1)求： ①9的算数平方根，9的平方根； ②8的立方根，－8的立方根； ③什么叫做a的平方根？a的立方根？
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数． 记作：
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数． 记作：
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
叫做根式， n 叫做根指数， a 叫做被开方数．
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
② 当n为任意正整数时，
例1 求下列各式的值：
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
1
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
人教版高中数学新教材必修第一册课件：4.1指数与指数幂的运算1
典型例题
a, (当n为奇数)
n
an
| a |
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ;
2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
4. (a b)2 (a b).
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
a3 a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
2
a2 a3
2 2
a 3
8
a3;
11
41
2
a 3 a (a a3 )2 (a3 )2 a3.
方法总结
1.根指数化为分数指数的分母，被 开方数(式)的指数化为分数指数的 分子． 2.在具体计算时，通常会把根式转 化成分数指数幂的情势，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题．
1
cc55
5
c 4
(c
0).
我们规定正数的正分数指数幂的意义是 :
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1).
正数的负分数指数幂的意义是 :
m
a n
1
m
a 0, m, n N*,且n 1
an
学习新知
整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用,即对于任意有理数r， s，均有下面的运算性质：
an bn
(b
0).
学习新知 根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其
中n＞1，且n∈N*.
xn a
x n a ; (当n是奇数)
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算课件 新人教A版必修
5
1 2
;(3)
(
1 2
)
5
;(4)
(1 8
6 1
)
3 4
.
例2 化简下列各式的值
21
11
15
(1) (2 a3b 2)( 6 a2b 3) ( 3 a6b 6)(a ,b 0 )
(2)(m14n83)8(m,n0)
(3) 325125425
(4) a2 (a 0)
a 3 a2
小结作业:
1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂. 2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再 根据运算性质进行计算，计算结果一般用分 数指数幂表示.
那么5
2
5 22
的大小如何确定？
2 的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
5 2 的过剩近似值
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
34
思考2: ( 2 2 ) 3 =？一般地 (ar)s(a0,r,sQ) 等于什么？
2
2
思考3：2 3 3 3 =？一般地 aras(a0,r,sQ)
等于什么？
思考4:一般地 aras(a0,r,sQ )等于什么？
知识探究（三）:无理数指数幂的意义
思考1:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
思考2:观察上述结论，你能总结出什么规律？
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2．正确运用根式运 算性质进行运算变换.
1.利用根式的运算性 质进行化简． 2．条件求值问题.
地球上的生物，除了病毒等少数种类以外，所有的生 物体都是由细胞构成的，生物体之所以能够存在，完全依 赖于细胞，因为生物体的一切生命活动就是在细胞内进行 的．那么细胞是怎样增多的呢？现代生物学告诉人们细胞 是通过分裂不断产生的，在众多分裂形式中有一种叫做有 丝分裂，它分裂时遵循如下特点：1个细胞分裂1次产生2个， 分裂2次产生4个，分裂3次产生8个，那分裂n次，它会产生 多少个呢？2个细胞分裂n次呢？这就需要用到本节的知识— —指数．
三、学法指导 1．三种基本初等函数的概念、图象及性质．要在理 解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察、归纳得 出一般图象及性质．这种由特殊到一般的研究问题的方法 是学习数学的基本方法．另外，注意类比三种函数的图象 与性质，搞清楚三者之间的区别与联系．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0 且a≠1)互为反函数，所以它们的定义域和值域互换，它们 的对应关系是互逆的．它们的单调性是一致的，在掌握这 两类函数的性质时，要结合图象来加以理解和记忆．
温馨提示：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负 去掉绝对值符号．
类型二 条件根式的化简
思路分析：先借助代数式有意义确定出x的取值范围， 再进行根式的化简．
解：∵代数式 2x－1＋ 2－x有意义 ∴22－x－x1≥≥00 ∴12≤x≤2
∴ 4x2－4x＋1＋24 (x－2)4＝ (2x－1)2＋24 (x－2)4 ＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x) ＝2x－1＋4－2x＝3
1．an叫做a的 n次幂 ，a叫做幂的底数，n叫做幂 的指数 ，n必须是正整数，这样的幂叫做正整数指数幂 ．
2．正整数指数幂的运算法则
同底数的幂 相乘：底数 不变指数相
加
同底数的幂 相除：底数 不变指数相
减
幂的乘方 ：底数不 变指数相
乘
am·an＝ am＋n
am÷an＝am－n (m>n，a≠0)
3．y＝ax(a>0 且 a≠1)为指数函数，“a>0 且 a≠1”不能忽 略，其单调性受 a>1 与 0<a<1 制约，指数函数的图象均过点 (0,1)． 4．对数运算与指数运算是互逆运算，a>0 且 a≠1，ab＝N⇔ b＝logaN.理解对数运算的性质，真数为正的条件，能用换底 公式 logaN＝llooggbbNa 进行化简运算． 5．y＝logax(a>0 且 a≠1)与 y＝ax(a>0 且 a≠1)互为反函数， 其图象均过(1,0)点，其单调性受 a>1 与 0<a<1 的制约． 6．y＝xα(α 为常数，α∈R)叫幂函数，结合 y＝x，y＝x2，y
本章概览 一、内容概述 1．通过本章学习，要了解指数函数、对数函数的实 际背景，理解指数函数、对数函数的概念，理解五种幂函 数，会运用它们解决一些实际问题． 2．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算，注意当 指数从整数指数推广到了有理数指数后，幂的意义及指数 运算性质中均增加了“底数大于0”，即“a>0”或“a>0， b>0”．
2．整数指数幂满足不等性质：若a>0，则an>0. 3．正整数指数幂满足不等性质： (1)若a>1，则an>1； (2)若0<a<1，则0<an<1，其中n∈N*.
3．要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质，牢 记两类函数表达式的形式．
4．关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的 问题是学习中的重点与难点，解决这些问题最基本的方法 是以“底”大于1或大于0小于1分类.
2．1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
目标要求
热点提示
1.理解n次方根及根式 的概念．
C．1 或 2a－1
D．0
()
计算 a＋2 a－1＋ a－2 a－1(a≥1)的值．
设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值．
若 x>0，y>0，且 x－
xy－2y＝0，求2y＋x－2
xy的值． xy
1．注意(n a)n、n an性质上的区别：(1)(n a)n＝a(n>1， 且 n∈N*)；(2)一般地，若 n 为奇数，则n an＝a；若 n 为 偶数，则n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
∵a>b>0，∴ a> b.
(
a－ a＋
bb)2＝aa＋ ＋bb－ ＋22
aabb＝66－＋22
44＝120＝51，
∴
a－ a＋
b＝ b
15＝
5 5.
温馨提示：在对所求式子进行化简的过程中，要注意 平方差公式、立方差公式、完全平方公式等的灵活运用．
化简3 a3＋4 (1－a)4的结果是
A．1
B．2a－1
解： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 ＝ ( 3)2＋2 3· 2＋( 2)2＋ 22－2×2 3＋( 3)2－
22－2×2 2＋( 2)2 ＝ ( 3＋ 2)2＋ (2－ 3)2－ (2－ 2)2 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|－|2－ 2| ＝ 3＋ 2＋2－ 3－(2－ 2) ＝2 2
(am)n＝ amn
积的乘方： 各因子乘方
的积
(ab)m＝ am·bm
3 1.Байду номын сангаас
－8的值是
A．2
C．±2
B．－2 D．－8
()
4 2.
16运算的结果是
A．2 C．±2
B．－2 D．以上都不对
()
3．若(x－5)0有意义，则x的取值范围是 ( )
A．x>5
B．x＝5
C．x<5
D．x≠5
解析：∵(x－5)0有意义，∴x－5≠0，即x≠5.
恒有m an＝(m a)n，若 a<0，则不一定．
(3)根式的性质，n 为奇数时，n an＝a，n 为偶数时，
n an＝|a|＝ a (a≥0) －a (a<0) .
要在理解的基础上，记准，记熟，会用，用活．
【例 2】 计算： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2.
思路分析：本题需把各项被开方数变为完全平方的形 式，然后再利用根式运算的性质．
温馨提示：进行根式的化简时，我们经常忘记条件， 根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度 注意．
【例 4】 根据已知条件求值．
(1)已知 x＝21，y＝23，求
x＋ x－
y－ y
x－ x＋
y； y
(2)已知 a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，且 a>b>0，
求
a－ a＋
b的值． b
解：(1)5 (－3)5＝－3；
4 (2)
(－3)2＝4
32＝
3；
4 (3)
(π－4)2＝
4－π；
a－b (a>b) (4) (a－b)2＝|a－b|＝0 (a＝b).
b－a (a<b)
温馨提示：(1)求偶次方根应注意，正数的偶次方 根有两个．
(2)根据运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，
应注意两者运算顺序是否可换，如对m an仅当 a≥0 时，
答案：D
4. (－5)2＝________，[ (－5)2]2＝________.
5．求( a－2)2＋ (2－a)2＋3 (2－a)3的值．
类型一 根式的化简与运算 【例 1】 求下列各式的值．
5 (1)
(－3)5；(2)4
(－3)2；(3)4
(π－4)2；(4)
(a－b)2.
思路分析：根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根 式的不同，用根式的性质解题．
思路分析：应先据已知条件进行化简后求值．
解：(1)
x＋ x－
y－ y
x－ x＋
y y
＝(
x＋ x－y
y)2－(
x－ x－y
y)2＝4x－xyy.
将 x＝12，y＝32代入上式，得
4 原式＝
21－12×23 23＝4－1613＝－24
31＝－8 3.
(2)∵a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，∴aa＋b＝b＝4. 6.
＝x3，y＝x21，y＝x－1 的图象，了解它们的性质．
二、地位作用 幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数， 是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的主要载体， 特别是指数函数、对数函数，更是历年高考的重点、热 点．从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难 题，都可能以它为背景编拟．
1.利用根式的运算性 质进行化简． 2．条件求值问题.
地球上的生物，除了病毒等少数种类以外，所有的生 物体都是由细胞构成的，生物体之所以能够存在，完全依 赖于细胞，因为生物体的一切生命活动就是在细胞内进行 的．那么细胞是怎样增多的呢？现代生物学告诉人们细胞 是通过分裂不断产生的，在众多分裂形式中有一种叫做有 丝分裂，它分裂时遵循如下特点：1个细胞分裂1次产生2个， 分裂2次产生4个，分裂3次产生8个，那分裂n次，它会产生 多少个呢？2个细胞分裂n次呢？这就需要用到本节的知识— —指数．
三、学法指导 1．三种基本初等函数的概念、图象及性质．要在理 解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察、归纳得 出一般图象及性质．这种由特殊到一般的研究问题的方法 是学习数学的基本方法．另外，注意类比三种函数的图象 与性质，搞清楚三者之间的区别与联系．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0 且a≠1)互为反函数，所以它们的定义域和值域互换，它们 的对应关系是互逆的．它们的单调性是一致的，在掌握这 两类函数的性质时，要结合图象来加以理解和记忆．
温馨提示：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负 去掉绝对值符号．
类型二 条件根式的化简
思路分析：先借助代数式有意义确定出x的取值范围， 再进行根式的化简．
解：∵代数式 2x－1＋ 2－x有意义 ∴22－x－x1≥≥00 ∴12≤x≤2
∴ 4x2－4x＋1＋24 (x－2)4＝ (2x－1)2＋24 (x－2)4 ＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x) ＝2x－1＋4－2x＝3
1．an叫做a的 n次幂 ，a叫做幂的底数，n叫做幂 的指数 ，n必须是正整数，这样的幂叫做正整数指数幂 ．
2．正整数指数幂的运算法则
同底数的幂 相乘：底数 不变指数相
加
同底数的幂 相除：底数 不变指数相
减
幂的乘方 ：底数不 变指数相
乘
am·an＝ am＋n
am÷an＝am－n (m>n，a≠0)
3．y＝ax(a>0 且 a≠1)为指数函数，“a>0 且 a≠1”不能忽 略，其单调性受 a>1 与 0<a<1 制约，指数函数的图象均过点 (0,1)． 4．对数运算与指数运算是互逆运算，a>0 且 a≠1，ab＝N⇔ b＝logaN.理解对数运算的性质，真数为正的条件，能用换底 公式 logaN＝llooggbbNa 进行化简运算． 5．y＝logax(a>0 且 a≠1)与 y＝ax(a>0 且 a≠1)互为反函数， 其图象均过(1,0)点，其单调性受 a>1 与 0<a<1 的制约． 6．y＝xα(α 为常数，α∈R)叫幂函数，结合 y＝x，y＝x2，y
本章概览 一、内容概述 1．通过本章学习，要了解指数函数、对数函数的实 际背景，理解指数函数、对数函数的概念，理解五种幂函 数，会运用它们解决一些实际问题． 2．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算，注意当 指数从整数指数推广到了有理数指数后，幂的意义及指数 运算性质中均增加了“底数大于0”，即“a>0”或“a>0， b>0”．
2．整数指数幂满足不等性质：若a>0，则an>0. 3．正整数指数幂满足不等性质： (1)若a>1，则an>1； (2)若0<a<1，则0<an<1，其中n∈N*.
3．要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质，牢 记两类函数表达式的形式．
4．关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的 问题是学习中的重点与难点，解决这些问题最基本的方法 是以“底”大于1或大于0小于1分类.
2．1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
目标要求
热点提示
1.理解n次方根及根式 的概念．
C．1 或 2a－1
D．0
()
计算 a＋2 a－1＋ a－2 a－1(a≥1)的值．
设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值．
若 x>0，y>0，且 x－
xy－2y＝0，求2y＋x－2
xy的值． xy
1．注意(n a)n、n an性质上的区别：(1)(n a)n＝a(n>1， 且 n∈N*)；(2)一般地，若 n 为奇数，则n an＝a；若 n 为 偶数，则n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
∵a>b>0，∴ a> b.
(
a－ a＋
bb)2＝aa＋ ＋bb－ ＋22
aabb＝66－＋22
44＝120＝51，
∴
a－ a＋
b＝ b
15＝
5 5.
温馨提示：在对所求式子进行化简的过程中，要注意 平方差公式、立方差公式、完全平方公式等的灵活运用．
化简3 a3＋4 (1－a)4的结果是
A．1
B．2a－1
解： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 ＝ ( 3)2＋2 3· 2＋( 2)2＋ 22－2×2 3＋( 3)2－
22－2×2 2＋( 2)2 ＝ ( 3＋ 2)2＋ (2－ 3)2－ (2－ 2)2 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|－|2－ 2| ＝ 3＋ 2＋2－ 3－(2－ 2) ＝2 2
(am)n＝ amn
积的乘方： 各因子乘方
的积
(ab)m＝ am·bm
3 1.Байду номын сангаас
－8的值是
A．2
C．±2
B．－2 D．－8
()
4 2.
16运算的结果是
A．2 C．±2
B．－2 D．以上都不对
()
3．若(x－5)0有意义，则x的取值范围是 ( )
A．x>5
B．x＝5
C．x<5
D．x≠5
解析：∵(x－5)0有意义，∴x－5≠0，即x≠5.
恒有m an＝(m a)n，若 a<0，则不一定．
(3)根式的性质，n 为奇数时，n an＝a，n 为偶数时，
n an＝|a|＝ a (a≥0) －a (a<0) .
要在理解的基础上，记准，记熟，会用，用活．
【例 2】 计算： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2.
思路分析：本题需把各项被开方数变为完全平方的形 式，然后再利用根式运算的性质．
温馨提示：进行根式的化简时，我们经常忘记条件， 根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度 注意．
【例 4】 根据已知条件求值．
(1)已知 x＝21，y＝23，求
x＋ x－
y－ y
x－ x＋
y； y
(2)已知 a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，且 a>b>0，
求
a－ a＋
b的值． b
解：(1)5 (－3)5＝－3；
4 (2)
(－3)2＝4
32＝
3；
4 (3)
(π－4)2＝
4－π；
a－b (a>b) (4) (a－b)2＝|a－b|＝0 (a＝b).
b－a (a<b)
温馨提示：(1)求偶次方根应注意，正数的偶次方 根有两个．
(2)根据运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，
应注意两者运算顺序是否可换，如对m an仅当 a≥0 时，
答案：D
4. (－5)2＝________，[ (－5)2]2＝________.
5．求( a－2)2＋ (2－a)2＋3 (2－a)3的值．
类型一 根式的化简与运算 【例 1】 求下列各式的值．
5 (1)
(－3)5；(2)4
(－3)2；(3)4
(π－4)2；(4)
(a－b)2.
思路分析：根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根 式的不同，用根式的性质解题．
思路分析：应先据已知条件进行化简后求值．
解：(1)
x＋ x－
y－ y
x－ x＋
y y
＝(
x＋ x－y
y)2－(
x－ x－y
y)2＝4x－xyy.
将 x＝12，y＝32代入上式，得
4 原式＝
21－12×23 23＝4－1613＝－24
31＝－8 3.
(2)∵a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，∴aa＋b＝b＝4. 6.
＝x3，y＝x21，y＝x－1 的图象，了解它们的性质．
二、地位作用 幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数， 是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的主要载体， 特别是指数函数、对数函数，更是历年高考的重点、热 点．从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难 题，都可能以它为背景编拟．