随机信号通过线性系统
(完整版)随机信号处理考题答案
填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
带通白噪声
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系 统时，可表示为
y1(t) h ( )x1(t ) d
yn (t) h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t) {y1(t),}, yn (t), 即系统的输入与输出可表示为
RY (t,t ) E [Y (t )]
E
h(1)
h(
2
)Байду номын сангаас
X
(t
1)X
(t
2
)
d1d
2
E
h(1)
h(
2
)
X
(t
1)
X
(t
1)d1d
2
) e d j(21)
h(1)
e
j1
d1
h( 2 )
e
d j2 2
RX
()
e
jd
H ()H ()GX () GX ()H ()H ()
GX () H 2
5. 系统的输入输出的互谱密度
通过对（6.15）式求付氏变换，并利用
GY () GX () H() 2，可以得到系统输出的功率 谱密度为
这里假设输入信 号为有界平稳过程
E [Y (t] h( ) E [X (t )] d
h( )M X d M X
h ( ) d
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
实验三 随机信号通过线性时不变系统
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足： H [X (t )] = Y (t )在时域：若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为：()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望：∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域：输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
北京理工大学随机信号分析实验报告
北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯；3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
随机信号处理考题答案
填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
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4.1 线性系统的基本性质
• 若在上式中令z=ejω ,则有
• 3. 物理可实现的稳定系统 • 如果系统的单位冲激响应满足当n<0时,h(n)=0,那么称该系统为因果
• 式中,y(t)是系统的输入,L[x(t)]表示系统对x(t)的作用,它是对信号x (t) 进行运算的符号,称为运算子。L[·] 代表着各种可能的数学运算方法, 如加法、乘法、微分、积分以及积分方程、微分方程的求解运算等。
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4.1 线性系统的基本性质
• 若系统的输入和输出都是连续时间信号,则称该系统为连续时间系统; 若系统的输入和输出都是离散时间信号,则称该系统为离散时间系统。 如果输入信号是从t=-∞起一直作用于系统的,则称输入信号为双侧信 号,这时的系统称为双侧系统;如果输入信号是在t=0时刻开始作用于系 统的,则称该信号为单侧信号,这时的系统被称为单侧系统。
4.1 线性系统的基本性质
• 4.1.3 离散线性时不变系统的分析方法
• 1. 时域分析 • 设x(n)是离散时不变线性系统的输入,则系统输出为
• 式中h(n)为系统的单位冲激响应。
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4.1 线性系统的基本性质
• 2. 频域分析 • 如果x(n)和h(n)绝对可和,则它们的离散傅里叶变换存在,即
• 2. 线性时不变系统 • 所谓时不变系统是指系统的响应只随输入信号时间的移动而移动,这
样的移动不会改变信号的本质。也就是若输入信号x(t)时移,使输出y(t) 也会有一个相同的时移,即
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4.1 线性系统的基本性质
• 因此,如果系统是时不变的,设t=0时刻冲激δ(t)作用时,系统产生响应为 h(t),那么在t=τ 时刻用冲激δ(t-τ)作用时,将产生响应h(t-τ)。于是一定 有下式成立:
• 叠加原理的数学表达式是
• 式中,ak 为任意常数,n 可以是无穷大。该式所表达的物理意义是:信号 通过系统的过程与其分量分别通过系统再汇合的过程等效。
• 2)线性系统的响应 • 在信号与系统的分析中,常常会利用冲激函数的性质,因此,我们利用冲
激函数作进一步的推导。若冲激函数的表达式如下:
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• 对所有的t均满足
于是,
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4.1 线性系统的基本性质
• 所以,如果系统的冲激响应h(t)是绝对可积的,即
• 那么,系统的输出必然是有界的,也就是说,系统是稳定的。 • 2)系统因果性 • 在讨论信号与系统时,我们往往会讨论系统是否具有因果性。那么什
么是系统的因果性呢? 在实际工程应用中,系统的因果性表现为物理 上可能实现的系统在任何时刻的输出只取决于其现在和过去的输入, 也就是说,系统的冲激响应函数应满足上一页 下一页 返回源自4.1 线性系统的基本性质
• 式中h(t)为系统的单位冲激响应。 • 2. 频域分析 • 如果x(t)和h(t)绝对可积,则它们的傅里叶变换存在,即
• H (ω)为线性系统的传输函数,h(t)为H (ω)的傅里叶反变换。 • 设Y(ω)是输出y(t)的傅里叶变换,则有
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• 这是卷积公式,时不变的重要价值在于:线性系统的数学表现形式可进 一步明确为单个函数零时刻的冲激响应h(t)。
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4.1 线性系统的基本性质
• 在频域线性时不变系统对于输入信号的作用具有特殊性质,也就是信 号在时域相卷积相当于信号在频域相乘,具体是以H (ω)实施“乘积传 输”。作为中间桥梁的函数H (ω)称为线性时不变系统的传输函数。 它与系统的冲激响应函数h(t)构成傅里叶变换对。
第4章 随机信号通过线性系统
• 4.1 线性系统的基本性质 • 4.2 随机信号通过连续时间系统的分析 • 4.3 随机信号通过离散时间系统的分析 • 4.4 白噪声通过线性时不变系统的分析 • 4.5 线性系统输出端随机信号的概率分布
返回
4.1 线性系统的基本性质
• 4.1.1 一般线性系统
• 以单输入和单输出线性系统为例,所谓系统在本质上应该理解为将一 个激励信号输入其中后,对应的输出相应的映射或运算,如图4.1所示。 x(t)经过系统映射为y(t)的过程可表示为
• 1. 一般线性系统 • 1)线性系统的定义 • 当对一个系统输入xk(t)(k=1,2,…,n)的线性组合进行研究时,如果其响
应等于系统对相应单个响应的线性组合,那么该系统就称为线性系统。 换言之,满足叠加定理的系统即为线性系统,而在此时的L[·]称为线性 运算子。
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4.1 线性系统的基本性质
4.1 线性系统的基本性质
• 将此式代入叠加原理公式有
• 其中L ·移动至被积项上是利用其运算线性的结果。为了更方便研究, 现在定义一个新函数h(t)作为线性系统对δ(t)的冲激响应,即
• 于是,可以得到进一步的响应表达式
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4.1 线性系统的基本性质
• 由以上各式可见,线性系统的响应y(t)完全由其各时刻的冲激响应和输 入信号共同决定。因而,线性系统的数学表现形式就是其各时刻的冲 激响应函数族{h(τ),τ∈(-∞,∞)}。
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4.1 线性系统的基本性质
• 这就是因果系统具有的基本性质,这样,式(4.1.9)可以改写为
• 结论: • 如果当t<0时,h(t)=0,那么该系统称为因果系统,也即是所有实际的物理
可实现系统都是因果的。
• 4.1.2 连续线性时不变系统的分析方法
• 1. 时域分析 • 设x(t)是连续时不变线性系统的输入,则系统输出为
• 3. 系统的稳定性与因果性 • 实际应用中的系统,其本身必定是稳定和可实现的,它们应该具有下面
两个共同特点。
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4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,