一元二次方程概念、解法、根的判别式(讲义及解析)
一元二次方程概念、解法、根的判别式（讲义
及解析）
课前预习
1. 填写以下表格并回忆相关概念：
2. 填空：
①假设 x2 4x b 〔b 为常数〕是完全平方式，那么 b= ．
②假设把代数式 x2 2x 2 化为 (x m)2 k 的形式〔其中 m，k
为常数〕，变形后的式子为．
③假设把代数式 x2 3x 1化为 (x m)2 k 的形式〔其中 m，k
为常数〕，变形后的式子为．
3. 回顾因式分解的口诀为：一二三四．
将以下各式因式分解：
x2 (2x 5) 4(5 2x)
4x2
9
x2 2x 3
8ax2 16a
x 8a
2x2 13x 15
x2 4
x 3
知识点睛
判断一元二次方程的操作流程：1. 一元二次方程定义：可化成 〔_ 〕 ①
；
的 方程． 2.
〔
〕是一元二 次方程的
形式，其中
，
，
分别称为
二次
项、一次项和常数项， ， 分别称为二次项系数
和
一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成
来处理．主要解法有：
，
，
， 等．
4.
配方法是配成
公式；公式法的公式是 ；
因式分解法是先把方程化为
的形式，然后把方程左边进行 ，根据 ，解出方程的根． 先化成 ，再找 二次项、一次项和常数项．
解法选择： 假设一次项系数为二次项系数的
倍，优先选择配方法；
假设一次项系数为二次项系数的
倍，或系数中含
等，
优先选择公式法；
5. 通过分析求根公式，我们发现
决定了根
的个数，
假设可化简成
的形式，
因此 被称作根的判别式，用符号记作 ． 当 时，方程有两个不相等的实数根〔有两个解〕； 当 时，方程有两个相等的实数根〔有一个解〕；
当 时，方程没有实数根〔无根或无解〕． 精讲精练
1.以下方程：① x2 2x 3 0 ；②2
2
y 0 ；
③ ax2 bx 5 〔a ，b 为常数〕；④21
x
x 1 0
；⑤ 3x 1 7 ；
⑥ 2x2 5xy y2
0 ．其中为一元二次
方程的是 ．
优先选择因式分解法．
2.方程 2x2 1 3x 的二次项是，一次项系数是，常数项是
．
3.假设关于 x 的方程 (m 1) 21
m
x 2x 3 0 是一元二次方程，那么 m
的值为．
4.假设方程 (m 1)x 2 mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m的取值范围是〔〕
A、m=0
B、m≠1
C、m≥0 且 m≠1
D、m 为任意实数
5. 假设 x=2 是关于 x 的方程 x2 3x a 0 的一个根，那么 2a -1 的值
是〔〕
A、2
B、-2
C、3
D、-3
6. 一元二次方程 (x 4)2 25 的根为〔〕
A、x=1
B、x=21
C、x1=1，x2=-9
D、x1=-1，x2=9
7. 关于 x 的方程 x2 kx 1 0 的根的情况是〔〕 A、方程有两个不相等的实数根 B、方程有两个相等的实数根
C、方程没有实数根
D、根的个数与 k 的取值有关
8. 如果关于 x 的方程 x2 2x m 0 〔m 为常数〕有两个相等的实数根，那么 m= ．
9. 假设一元二次方程x2 2x(kx 4) 6 0 无实数根，那么 k 的最小整数值是．
10. 用配方法解方程：
〔1〕 x2 2x 1 0 ；〔2〕 x2 x 1 0 ；解： x2 2x ，
x2 2x 1，
( )2 ，
= ，即
∴ x1 ， x2
〔3〕 3x2 9x 2 0 ；〔4〕 4x2 8x 1 0 ；
〔5〕 ax2 bx c 0 〔a≠0〕．
11. 用公式法解方程：
〔1〕 x2 3x 10 0 ；〔2〕 2x2 7x 9 0 ；解：a= ，b= ，c= ，
∵ b2 4ac
=
∴ x
∴ x1 ， x2
〔3〕16x2 8x 3 ；〔4〕3x2 5x 2 ．
12. 用因式分解法解方程：
〔1〕 x(5x 4) 5x 4 ；〔2〕 (x 1)(x 8) 12 ；
解： (5x 4)( ) 0 ，
=0 或=0，
∴ x1 ， x2
〔3〕 (x 2)2 (2x 3)2 ；〔4〕 x2 23x 9 ；
〔5〕 kx2 (2k 1)x k 1 0 〔k≠0〕．
13. 选择合适的方法解以下一元二次方程：
〔1〕 2x2 7x 3 0 ；〔2〕 x2 6x 9 991 0 ；
〔3〕 x2 5 x 5 0 ；〔4〕 2x2 4 3x 3 0 ；〔5〕 x2 35x 300 0 ；〔6〕 x2 106x 105 0 ．
一元二次方程应用一对一辅导讲义
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念 知识点： 一、一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个方面： （1）整式方程 （2）含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2次 【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 1 2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 二、一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （a ≠0） 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项. 例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次 项系数和常数项。 例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， . 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 ①()x x x x 3422 -=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 2 2≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结：理解一元二次方程以下方面入手： （1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。
九年级数学专训1一元二次方程的解法归类
2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值． 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( ) A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝
第二章一元二次方程培优奥赛讲义
九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．
一元二次方程的定义教案
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
讲义一元二次方程讲义
考点一、概念 (1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax （3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 考点二、方程的解 ⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：①利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a 变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则 a b b a +的值为 。 针对练习：
一元二次函数解法 辅导讲义
课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8
练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=
一元二次方程基本概念
一元二次方程基本概念 1、基本概念： 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 2、解方程常用方法： (1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解 形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n= (2).配方法： 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下： x2-64x+768=0 移项→x2-64x=-768 两边加（ 64 2 ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式→（x-32）2=?256 ? 降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根 例1．解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54 由此可得x+32=x 132，x 232 （3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0 移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=x 1，x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． （3）公式法： 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，它的两个根 x 1=2b a -+， x 2=2b a - 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±2a
二次函数与一元二次方程讲义
二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入
如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3
C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________
解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点， 所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.
一元二次方程的概念及解法
题型切片（四个）对应题目 题 型 目 标 一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8 直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2； 配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4； 因式分解法解一元二次方程例7；演练5． 模块一一元二次方程的概念 知识互联网 一元二次方程的基本解法 题型切片
定 义 示例剖析 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程． ⑵方程中只含有一个未知数． ⑶化简后方程中未知数的最高次数是2． ⑷二次项的系数不为0 22210x x -+= 此方程满足： 整式方程； 只含有一个未知数x ； x 的最高次数是2，系数是2 所以这个方程是一个一元二次方程． 一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根： 如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程 20(0)ax bx c a ++=≠的一个根． 1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x 一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠） ． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形． 2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论． 3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉．．符号．． ． 4．项及项的系数要区分开． 建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今 后学习基本初等函数时也要使用． 【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程． 【例2】 ⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵ 4 13 x =+ ⑶ 210x -=； 【例3】 ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2 2 33x x +=-； 【例4】 夯实基础 知识导航
一元二次方程讲义-绝对经典实用教案.doc
一元二次方程 ●夯实基础 例1 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围_________． 例2 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 1、已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a =______、b =______． 2、若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例3 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程． 例4已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． ●练习 1、m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 4、若 2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________ ●夯实基础 (1)2269(52)x x x -+=- 21)x -= (3) 211 063 x x +-= (4) 231y += 板块一 一元二次方程的定义 板块二 一元二次方程的解与解法
一元二次方程及解法归类
寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
一元二次方程知识点复习及典型题讲解
一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念： 中考常见题型： 例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）： 中考常见题型： 例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例
例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根． 练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）：
一元二次方程的概念说课稿
21.1 一元二次方程说课稿 各位评委老师好： 我今天说课的题目内容是：一元二次方程。这节课我将从教材、目标、教法、过程、板书这五方面进行分析。 一、教材的地位和作用 一元二次方程是新人教版九年制义务教育课本中九年级上第21 章的第一节内容，是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数、可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。一、内容和内容解析 二、教学目标 根据大纲的要求、本节教材的内容和学生已有的知识经验，确定本节课的三维目标：知识与能力目标：（1）继续体会方程是刻画数量关系的一个有效数学模型；（2）理解一元二次方程的概念，一般形式，会将一元二次方程化成一般形式，正确识别一般形式中的项和系数； （3）培养学生观察、类比、归纳的能力。 过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。 3、教学重点与难点 要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。教学重点：理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式。教学难点：；一元二次方程的概念，正确识别一般式中的项及系数。 三、教法、学法： 因为学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景--- 数学模型----------- 概念归纳” 的模式。指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 四、教学过程设计1．创设情境，引入新知 请同学们阅读本章的章前问题--- 雕像的黄金分割问题，并回答：
初中一对一精品辅导讲义：一元二次方程应用
课
题
一元二次方程的应用
1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。
教学目标
重点、难点 考点及考试要求
会运用一元二次方程解决简单的实际问题 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题
教
第一课时
学
内
容
一元二次方程的应用知识梳理
课前检测
1.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周 长为( A.11 ) B.17 C.17 或 19 D.19
2.已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）. (3 ? x)2 ? x2 ? 5 （2）. x2 ? 2 3x ? 3 ? 0
4．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值
5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+
1 2 k -2=0. 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 2
知识梳理
、答 ?步骤：设、列、解、验 ? ?增长率（降低率）问题 ? ? ? ? ?利润问题 1. 一元二次方程的实际应用 ? ? ?常见类型?面积问题 ?数字问题 ? ? ? ? ? ?动点问题 ?
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
第二课时
一元二次方程的应用典型例题
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.
解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B） （C）（D） 习题2. 若,则_________.
一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程???→ 降次一元一次方程
2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42 -=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解 决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
一元二次方程的概念整理
一元二次方程的概念整理： 1. 一元二次方程的概念： （1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 （2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。 一元一次方程与一元二次方程的区别和联系 2. 一元二次方程的解法： 熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。 一元二次方程的基本解法有四种： （1）直接开平方法： ()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。 ax b c a c +=≠≥200() （2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次 项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 22 220+?? ?? ?+=≥() （3）公式法： 用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。
关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式）， 若，则代入求根公式。a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥=-±-22 244042 （4）因式分解法： 适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程的根与系数的关系： ()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。x x ax bx c a x x b a x x c a 122121200≠+=-?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。 （3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。 …… 运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。 注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。?≥≠???00a 5. 二次三项式的因式分解： 在实数范围内分解二次三项式ax 2＋bx ＋c （a ≠0），可先用求根公式求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）。当a ≠1时，分解时注意不要忘了a 。 ()()例如：x x x 2555-=+- 6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法： 解分式方程的常用方法是去分母，换元法转化为整式方程求解。 解分式方程时，一定要注意验根，验根后要写结论。
5一元二次方程的应用尖子班讲义
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．