2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修5 §3

知识点一等比数列的概念

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示．

2．等比中项

如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

知识点二等比数列的通项

1．等比数列的通项公式

设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1·q n－1.

2．通项公式的推广：a n＝a m·q n－m(n，m∈N*)．

3．若{a n}为等比数列，且k＋l＝m＋n

(k，l，m，n∈N*)，则a k·a l＝a m·a n.特别地若k＋l＝2p，则a k·a l＝a2p(p∈N*)．

4．若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，??????1an ，{a 2n }，{a n ·b n }，????

?

?

an bn 仍是等比数列．

知识点三 等比数列的前n 项和公式

1．等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝错误!＝错误!.

2．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.

知识点四 数列的通项与求和 1．求数列通项的方法 (1)公式法

利用等差数列或等比数列的通项公式． (2)化归法

通过转化化归成等差数列或等比数列． (3)利用S n 与a n 的关系

a n ＝?????

S1，n ＝1，

Sn －Sn －1，n≥2.

当n ＝1时，a 1适合S n －S n －1可以不分段．

(4)累加法

已知a 1，若a n －a n －1＝f (n )，可以用累加法． (5)累乘法

已知a 1，若an

an －1＝f (n )，可以用累乘法．

2．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法． (2)倒序相加法． (3)错位相减法． (4)裂项相消法． (5)分组求和法． (6)并项求和法．

题型一 等比数列

例1 (1)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243

(2)已知S n 是各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8等于( ) A ．32 B ．64 C ．128 D ．256 答案 (1)A (2)C

解析 (1)∵q ＝a2＋a3a1＋a2＝2，∴a 1＋a 1q ＝3，

得a 1＝1，∴a 7＝1×27－

1＝64. 故选A.

(2)∵{a n }为各项为正数的等比数列，a 2·a 4＝16， ∴a 3＝4.

∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，易知q ≠1， ∴S 2＝错误!＝3， ∴

4

q2(1－q 2)＝3(1－q )，即3q 2－4q －4＝0， ∴q ＝－2

3或q ＝2.

∵a n >0，

∴q ＝2，则a 1＝1， ∴a 8＝27＝128.

感悟与点拨 (1)解决等比数列的通项或前n 项和的问题，基本量法是一种重要的方法．

(2)在应用等比数列前n 项和的公式时，要注意q ≠1.

跟踪训练1 (1)设正项等比数列{a n }满足a 4a 6＝14，a 7＝1

8，则a 1的值为( )

A ．15

B ．14

C ．12

D ．8 答案 D

(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； ②求数列{a n }的通项公式．

①证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2得 a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.

又当n ≥2时，?

????

Sn ＋1＝4an ＋2， ①

Sn ＝4an －1＋2， ②

①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，

故{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． ②解 由①知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －

1， an ＋1－2an 2n ＋1＝34，

∴an ＋12n ＋1－an 2n ＝34

， 故????

??an 2n 是首项为12，公差为3

4的等差数列．

∴an 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －1

4， 得a n ＝(3n －1)·2n －

2. 题型二 求数列的通项公式

例2 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________________. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________________.

(3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2

3a n ，则{a n }的通项公式为________________．

答案 (1)错误!＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝错误!

解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n ) ＝2＋错误!＝错误!＋1.

又∵a 1＝2＝错误!＋1，符合上式， ∴a n ＝错误!＋1.

(2)方法一 (构造等比数列)：由a n ＋1＝3a n ＋2， 得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即an ＋1＋1

an ＋1

＝3，

故数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1，公比为3的等比数列． ∵a 1＝1，∴a n ＋1＝2·3n －

1， ∴a n ＝2×3n －

1－1.

∴数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －

1－1. 方法二 (迭代法)：a n ＋1＝3a n ＋2，

即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －

1－1(n ≥2)． 又a 1＝1也满足上式，

∴数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －

1－1. (3)由题意得，a 1＝1.当n ＞1时， a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.

∴an

an －1＝n ＋1

n －1

. 即an an －1＝n ＋1n －1，…，a4a3＝53，a3a2＝42，a2

a1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，

得到an

a1＝错误!(n ≥2)，

又∵a 1＝1，∴a n ＝错误!. 当n ＝1时，a 1＝1满足上式． ∴a n ＝错误!.

感悟与点拨 已知数列的递推关系求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现

an

an －1＝f (n )时，用累乘法求解．

跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；

(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明 依题意知S n ＝4a n －3(n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝4

3a n －1.

又a 1＝1≠0，

所以{a n }是首项为1，公比为4

3

的等比数列．

(2)解 因为a n ＝? ??

??43n －

1，

由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，

得b n ＋1－b n ＝? ??

??43n －

1.

可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)

＝2＋

1－? ??

??43n －1

1－

43

＝3·? ??

??43n －

1－1(n ≥2)， 当n ＝1时也满足上式，

所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·? ??

??

43n －1－1(n ∈N *)． 题型三 数列求和

例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝1

2n (a n ＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n .

解 (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，

又∵a 1＝1，∴数列{a n ＋1}是首项、公比均为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.

(2)由(1)可知b n ＝12n (a n ＋1)＝12n ·2n ＝n ·2n －

1，

∴T n ＝1·20＋2·2＋…＋n ·2n －

1，

2T n ＝1·2＋2·22＋…＋(n －1)·2n －

1＋n ·2n ， 错位相减得：－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －

1－n ·2n ＝1－2n

1－2－n ·2n ＝－1－(n －1)·2n ， 于是T n ＝1＋(n －1)·2n .

感悟与点拨 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{c n }对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×c n 的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练． (2)根据数列通项的结构确定求前n 项和的方法．除错位相减法外，常用的还有裂项求和法、分组转化法等．

跟踪训练 3 (1)在正项等比数列{a n }中，a 1

008·

a 1 009＝1100

，则lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2

016等于(

)

A ．2 015

B ．2 016

C ．－2 015

D ．－2 016

答案 D

解析 lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg(a 1a 2…a 2 016)＝lg(a 1 008·a 1 009)1 008＝lg

? ??

??

1100 1 008＝lg(10－2)1

008＝－2 016，故选D.

(2)在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ?

????

Sn －12.

①求S n 的表达式；

②设b n ＝Sn

2n ＋1

，求{b n }的前n 项和T n .

解 ①∵S 2n ＝a n ? ????

Sn －12，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，

∴S 2n ＝(S n －S n －1)?

????

Sn －12(n ≥2)，

即2S n －1S n ＝S n －1－S n (n ≥2)．(*) 由题意得S n －1·S n ≠0， (*)式两边同除以S n －1·S n ， 得

1

Sn －1

Sn －1＝2(n ≥2)，

∴数列????

??1Sn 是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列． ∴

1

Sn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝1

2n －1

. ②∵b n ＝Sn

2n ＋1

＝错误!

＝12?

?

?

??1

2n －1－1

2n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝12??????

? ?

???1－13＋? ????13－15＋…＋?

????12n －1－12n ＋1 ＝12?

?

???1－1

2n ＋1＝n

2n ＋1.

一、选择题

1．在等比数列{a n }中，a 1＝1

8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )

A ．±4

B ．4

C ．±14 D.1

4

答案 A

解析 由a n ＝18·2n －

1＝2n －

4知a 4＝1，

a 8＝24，其等比中项为±4.

2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( ) A.12 B.22 C.2 D ．2

答案 C

解析 由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，

∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a6

a5

＝

2，a 1＝a2

q ＝

2，故选C.

3．在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 答案 C 解析 a 1＋a 7≥2

a1·a7＝2

a3a5＝2

64＝16.(当且仅当a 1＝a 7时，等号成立)

4．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 的值为( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16

答案 B

解析 由题意再由等比数列求和的性质S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列，得(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，解得S 2n ＝6，同理可得S 4n ＝30，故选B.

5．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2 D ．(n －1)2 答案 C

解析 由等比数列的性质a 1a 2n －1＝a 2a 2n －2＝…＝a 5·a 2n －5＝…＝a 2n ＝22n ，又原式＝log 2(a 1a 3…a 2n －1)，设M ＝a 1a 3…a 2n －1，则M 2＝(a 1a 2n －1)(a 3a 2n －3)…＝(22n )n ＝22n 2，所以M ＝2n 2，得所求式子为n 2，故选C.

6．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为81

4，则前4项倒数的和为( )

A.32

B ．2

C ．1 D.94

答案 B

解析 当q ＝1时不符合题意．当q ≠1时，由题意得S 4＝错误!＝9，所以错误!＝错误!.由a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝(a 21q 3)2＝814得

a 21q 3＝

92

.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为

1a1?

?

??

?

1－1q41－

1q

＝错误!＝错误!·错误!＝错误!＝2，故选B.

7．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a29

a11的值为( )

A ．9

B ．1

C ．2

D ．3

答案 D

解析 由a 3a 5a 7a 9a 11＝243， 可得(a 3a 11)(a 5a 9)a 7＝a 57＝243＝35， 所以a 7＝3， 则

a29

a11

＝a 7＝3. 8．(2017年11月学考)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝

32

a n －n ，n ∈N *，则下列为等比数列的是( ) A ．{a n ＋1} B ．{a n －1} C ．{S n ＋1} D ．{S n －1}

答案 A

解析 由题意得S 1＝a 1＝3

2a 1－1，∴a 1＝2.

∵S n ＝3

2

a n －n ，

∴S n －1＝3

2a n －1－(n －1)(n ≥2)，

∴a n ＝32a n －3

2a n －1－1，

∴a n ＝3a n －1＋2， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)． 又a 1＋1＝3≠0，

∴数列{a n ＋1}为等比数列．

9．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，前n 项和为S n ，且a 2，12

a 3，S 2成等差数列，则公比q 等于( ) A ．1＋2 B ．1－2 C ．3＋22

D ．3－2

2

答案 A

解析 因为a 2，1

2

a 3，S 2成等差数列，所以a 3＝a 2＋S 2，

所以a 1q 2＝a 1q ＋a 1＋a 1q ，q 2－2q －1＝0，又

q >0，所以q ＝

2＋2

2

2

＝1＋

2.故选A.

10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n 2－2

答案 C

解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝错误!＋错误!＝2n ＋

1－2＋n 2.