2016年北京中考顺义区初三一模数学试卷及答案

顺义区2016届初三第一次统一练习

数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．

是符合题意的． 1．中国传统节日清明节距今已有二千五百多年的历史，是最重要的祭祀节日之一，是祭祖和扫墓的日子．2016年4月4日是今年的清明节，全国各地迎来群众集中祭扫高峰．根据民政部清明节工作办公室对全国150个祭扫观察点数据统计分析，当日共接待祭扫群众

5 433 000人次，把5 433 000用科学记数法表示正确的是

A ．7

543310.? B ．6

543310.? C ．4

543310.? D ．3

543310? 2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简a b -的结果是

A ．0

B ．+a b

C ．a b -

D ．b a - 3．一个三棱柱如右图所示，它的主视图是

4．某校“环保小组”的5名同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别是：4，6，8，16，

16．这组数据的中位数、众数分别为

A ．16，16

B ．10，16

C ．8，8

D ．8，16

5．下列交通标志中，是轴对称图形的是

a

b 0

A B C D 6．如图，为测量池塘岸边A 、B 两点之间的距离,小亮在池塘的

一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点D 、E 之间的距离是14米，则A 、B 两点之间的距离是

A ．18 米

B ．24米

C ．28米

D ．

30米

7．小林给弟弟买了一些糖果，放到一个不透明的袋子里，这些糖果除了口味和外包装的颜色外其余都相同，袋子里各种口味糖果的数量统计如图所示，他让弟弟从袋子里随机摸出一颗糖果．则弟弟恰好摸到橘子味糖果的概率是 A B C D 8．若关于x 的一元二次方程0322=-+-m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是

A ．2m <-

B ．4m >

C ．4m ≤

D ． 4m < 则应选择的套餐是

图2

A ．套餐1

B ．套餐2

C ．套餐3

D ．套餐4 10．向某一容器中注水，注满为止，表示注水量与

水深的函数关系的图象大致如右图所示，则该 容器可能是

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式：32363m m m -+= ．

12. 甲、乙两名射击运动员各进行10次射击练习，总成绩均为95环，这两名运动员成绩的

方差分别是20.6S =甲，2

0.4S =乙，则成绩更稳定的是 ．

13．如图，在△ABC 中，∠A =75°，直线DE 分别与边AB ， AC 交于D ，E 两点，则∠1+∠2= ．

14.如图，⊙O 的半径为5，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，

则

AB 的长度为 ．

15．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”

水深

E

D

A

B

C

1

2

译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？” ．

设秋千的绳索长为x

16．数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．

小明用直尺画角平分线的方法如下：

（1）用直尺的一边贴在∠AOB 的OA 边上，沿着直尺的另一条边画直线m ；

（2）再用直尺的一边贴在∠AOB 的OB 边上，沿着直尺的另一条边画直线n ，直线m 与直线n 交于点P ； （3）作射线OP ．

射线OP 是∠AOB 的平分线．

请回答：小明的画图依据是 ．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．计算：2

01(3)4cos302π-??

--+-? ???

．

18．已知223120x x +-=，求代数式(32)(23)(23)x x x x -++-的值．

19．解不等式：

321

123

x x +--> ，并写出它的所有正整数解．

20．已知：如图，B ，A ，E 在同一直线上， AC ∥ BD

且AC =BE ，ABC D ∠=∠．求证：AB BD =．

21．进入春季，大家都喜欢周末户外踏青郊游，住在顺义同一小区的大明和小丽都和全家自驾车到金海湖旅游，下图是网上提供的驾车路线方案：

实际出行时，大明选择了方案1，小丽选择了方案2，小丽平均每小时比大明多行35公里，结果大明所用时间是小丽的1.5倍，求两人去金海湖各用了多长时间？

22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+b 与双曲线k

y x

=相交于A ，B 两点，已知A （2，5）． （1）求k 和b 的值； （2）求△OAB 的面积．

金海湖顺义

①方案：顺平路约60公里

②方案：六环路、京平高速路约75公里

③方案：白马路、顺平路约62.5公里D

A

E

C

B

23．如图，已知E F 、分别是□ABCD 的边BC AD 、上的点，

且BE DF =．

（1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）若1090BC BAC =∠=?，，且四边形AE C F 是菱形，求BE 的长．

24．学习了数据的收集、整理与表示之后，某小组同学对本校“自主选修活动课”比较感兴趣，他们以问卷的形式随机调查了40名学生的选课情况（每人只能选一项），并统计如下：

（1）请选择一种统计图将上表中的结果表示出来；

（2）该校共有500名学生，请估计选修篮球课的人数；并说明你估计的理由； （3）谈谈你对该校“自主选修活动课”的科目设置有哪些建议？ 25．如图，D 为O ⊙上一点，点C 在直径BA 的延长线上，

且CDA CBD ∠=∠．

（1）求证：CD 是O ⊙的切线；

（2）过点B 作O ⊙的切线交CD 的延长线于点E ，

若2

6tan 3

BC CDA =∠=，，求BE 的长．

26．我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．

例如：Rt △ABC ，取边AB 的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．

A B

C

D

F

E

B

（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；

（2）如图，在△EFG 中，若∠G =2∠F ，且△EFG 有等腰线段，请直接写出∠F 的度数的取值范围．

27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

2y ax x =-的对称轴为1x =-．

（1）求a 的值及抛物线2

2y ax x =-与x 轴的交点坐标；

（2）若抛物线2

2y ax x m =-+与x 轴有交点，且交点都在点A （-4，0），B （1，0）之

D

A

B

C

50°

25°72°

45°

36°

E

G

F

间，求m 的取值范围．

28．已知：在△ABC 中，60BAC ∠=?．

（1）如图1，若AB =AC ，点P 在△ABC 内，且150APC ∠=?，3PA =，4PC =，把

△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B ，得到△ADB ，连结DP ． ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；

（2）如图2 ，若AB =AC ，点P 在△ABC 外，且3PA =，5PB =，4PC =，求APC

∠的度数；

（3）如图3，若2A B A C =，点P 在△ABC 内，

且PA = 5PB = ，

120APC ∠=?，直接写出PC 的长． C

B

A

P

图2

图3

图1

C

B

A

P

B

A

P

29．在平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）的“变换点”Q 的坐标定义如下：当a b ≥时，

Q 点坐标为（b ，-a ）；当a b <时，Q 点坐标为（a ，-b ）． （1）求（-2，3），（6，-1）的变换点坐标；

（2）已知直线l 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，2）．若直线l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W ，请画出图形W ，并简要说明画图的思路； （3）若抛物线2

34

y x c =-+与图形W 有三个交点，请直接写出c 的取值范围．

顺义区2016届初三第一次统一练习

数学答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．()2

31m m -； 12．乙； 13． 255°； 14．2π；

15．()2

22

10+4x x =-； 16．菱形的每一条对角线平分一组对角

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．解：2

01(3)4cos302π-??

--+-? ???

．

414=-+?

…………………………………..…………………...………4分

3=+=3………………….…………………………………………………….……….….…5分 18．

解：∵2

23120x x +-=

∴2

2312x x +=………………………………………………………………………2分

(32)(23)(23)x x x x -++- 223249x x x =-+-

2239x x =+-………………………………………………………………...……….…4分

129=-

3=………………………………………………………………………….…….….….…5分

. 19．

解：()()332216x x +-->………………………….……………….…….……….…1分

39426x x +-+>……………………………………..………….………….….…2分 5x ->-……………………………………………………………….………..….…3分 5x <………………………………………………………………….…………….…4分

∴原不等式的所有正整数解为1，2，3，4…………………………….………….….…5分 20．

证明：∵AC ∥ BD ，

∴∠BAC =∠DBE ．…………………….…….……………………………....……1分 在△ABC 和△BDE 中

BAC DBE ABC D AC BE ??

∠=∠=∠∠?=??

…………………….……….….…………………………...…3分 ∴△ABC ≌△BDE （AAS ）．…………………….………..……….………..….…4分 ∴AB BD =．…………………….…….……………………….……….…….…5分 21．

解：设小丽用x 小时，则大明用1.5x 小时．…….…….………………………………1分

依题意可列：

6075

351.5x x

+=…….…….……………………………………….…...…3分 解得：1x =…….…….………………………………………………………….….….…4分 经检验：1x =是原方程的解，且符合题意．

答：小丽用1小时，大明用1.5小时．…….…….…………………...…….………..…5分 22．

解：（1）把A （2，5）代入y=x+b 中，得2+b =y ，解得b =3…………………....….1分

把A （2，5）代入k y x =

中，得52

k

=，解得k =10……………….….…….2分 （2）过点A 、B 分别作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，

由（1）可得，y=x+3，10y x

=，

∴B （－5，－2），点C 坐标为（－3，0），OC =3． 又∵AD =5，BE =2， ∴ 1115

35222

AOC s OC AD =

=??= △……………………3分 11

32322

BOC s OC BE =

?=??=△…………..…4分 21

2

OAB AOC BOC s s s =+=

△△△………….……….…5分 23．

（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

AD BC AD BC ∴=∥，且，

AF EC ∴∥， BE DF = ，

AF EC ∴=．...................................................1分 AECF ∴四边形是平行四边形．. (2)

分

（2）解： 四边形AECF 是菱形，

AE EC ∴=， (3)

分

12∴∠=∠．

9039024901BAC ∠=?∴∠=?-∠∠=?-∠ ，

，，

A B

C

D

F

E 3 24

1

34∴∠=∠，

AE BE ∴=，……………....……………………………………………………………4分

1

52

BE AE CE BC ∴====．……………………………………………….......…5分

24．

（1）画出其一………………………………………………………………………….2分

（2）125人…………………………………………………..…………………………3分 理由：样本估计总体……………………………………………………….……..……4分 （3）略………………………………………………………………………….....……5分 25．（1）证明：连结OD ，

OB OD = ，

OBD BDO ∴∠=∠．………………………......….1分 CDA CBD ∠=∠ ， CDA ODB ∴∠=∠． 又AB 是O ⊙的直径，

90ADO ODB ∴∠+∠=?，

9090ADO CDA CDO ∴∠+∠=?∠=?即，

CD ∴是O ⊙的切线．……………....………………2分

（2）解：∵2

tan 3CDA ∠=，

∴2tan tan 3CDA ABD ∠=∠=，∴

2

3

AD BD =， C C CDA CBD ∠=∠∠=∠ ，，

B

CAD CDB ∴△∽△，……………....…………..…3分 23CD AD BC BD ∴==， 6BC = ，

4CD ∴=．…………….....................................…..4分 CE BE 、是O ⊙的切线， BE DE BE BC ∴=⊥，，

222BE BC EC ∴+=即()2

2246BE BE +=+，

解得5

2

BE =

．……………....…………………….5分 26．（1）

(3)

分

（2）045F ??

<∠≤ (5)

分

27． 解：（1）∵抛物线22y ax x =-的对称轴为1x =-，

∴2

12--

=-a

，解得a =-1，……………………………………………….……1分

∴2

2=-

-y x x ．

令y =0，则2

20--=x x ，解得120,2==-x x ．

∴抛物线与x 轴的交点为（0，0），（-2，0）．……..……………………..……3分

（2）∵抛物线22y ax x =-与抛物线2

2y ax x m =-+∴抛物线22y ax x m =-+可以由抛物线2

2y ax x =-∵抛物线2

2=--y x x 的对称轴与x 轴的交点为（-1，0），

36°

45°

72°

25°50°

抛物线22=--y x x 与x 轴的交点（0，0），（-2，0）都在点A ，B 之间， 且点B （1，0）比点A （-4，0）离对称轴1x =-近．

∴把点B （1，0）代入22y x x m =--+中，得3m =，………………………..……..4分

把点（-1，0）代入22y x x m =--+中，得1m =-，…………….…………………5分

∴13m -≤<．…………………………………………………………………………….…7分 28． （1）①

(1)

分

②PB =5；……………………………………………………………………………….……2分

（2）把△APC 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，得到△ADB ，连接PD ， 则△APC ≌△ADB ，……………………..……………..……3分 ∴AD =AP =3，DB =PC =4，∠P AC =∠DAB ，2APC ∠=∠， ∴∠DAP =∠BAC ，

∵60BAC ∠=?，∴60∠=?DAP ，

∴△DAP 是等边三角形，……………………..……………4分 ∴ PD =3，160∠=?，

在△DBP 中，222222

345PD DB PB +=+==，

P

A

B

D

2

D

1

P

A

B

C

∴90PDB ∠=?，

∴230∠=?，∴30∠=?APC ．…………………………………………………………5分 （3）PC =2．……………………………………………………………………..….…….7分 29．

（1）（-2，3）的变换点坐标是（-2，-3），…………………………………….………..1分

（6，-1）的变换点坐标是（-1，-6）；………………………………………….…..2分

.……4分

画图的思路：

1．由点A ，B 坐标，求出直线l 的解析式；

2．求出直线l 上横纵坐标相等的点C 坐标，求出它的变换点'

C 的坐标； 3．在直线l 上点C 两侧各选一点E ，F ，求出它们的变换点'

E ，'

F ；

4．作射线''

C E ，'

'

C F ．………………………………………………………….….…..6分

射线''

C E 和'

'C F 组成的图形即为所求．

（3）0c =或25

12

c =-．………………………………………...………...………..…..8分