高三数学导数专题例题及知识点总结

导数专题

一、导数的基本应用

（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值

基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值基本方法：一般通法：利用导函数研究法特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法

【例题1】已知函数2

2()(1)x b

f x x -=

-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．

解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-3

2[(1)]

(1)x b x --=--．

令()0f x '=，得1x b =-．当11b -=，即2b =时，2

()1

f x x =

-，所以函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：

当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：

所以，2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，和(1)+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，

2b =时，函数()f x 在(1)-∞，

和(1)+∞，上单调递减． 2b >时，函数()f x 在(1)-∞，

和(1)b -+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增．

【例题2】已知函数3

()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+的极值. 解：（Ⅰ）由函数()f x 图象过点(1,6)--，得3m n -=-，………①

由32()2f x x mx nx =++-，得2()32f x x mx n '=++，则2

()()63(26)g x f x x x m x n '=+=+++；而()g x 图象关于y 轴对称，所以－

023

m +=?，所以3m =-，代入①得 0n =.于是2

()363(2)f x x x x x '=-=-.

由()0f x '>得2x >或0x <，故()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，(2,)+∞；由()0f x '<得02x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得()3(2)f x x x '=-，令()0f x '=得0x =或2x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：

由此可得：当01a <<时，()f x 在(1,1)a a -+有极大值(0)2f =-，无极小值；

当1a =时，()f x 在(1,1)a a -+无极值；

当13a <<时，()f x 在(1,1)a a -+有极小值(2)6f =-，无极大值；当3a ≥时，()f x 在(1,1)a a -+无极值.

综上所述，当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或

3a ≥时，()f x 无极值.

点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研

究围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平. 【例题3】已知函数2

()1ln f x x a x x

=-+-，a ＞0， (I)讨论()f x 的单调性;

(II)设a=3，求()f x 在区间[1，2

e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.

解：（Ⅰ）由于/

22()1a f x x x =+

-,令1t x

=得/2

()21(0)f x t at t =-+≠

① 当2

80a ?=-≤，即0a <≤/

()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数.

② 当2

80a ?=->，即a >

由2

210t at -+>得t <或t >

∴0x <或x >0x <<

又由2

210t at -+

综上,当0a <≤()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数；

当a >()f x 在(-∞及)+∞上都是增函数，

在(

,22

a a -+是减函数. （2）当3a =时，由（1）知，()f x 在[1，2]上是减函数，在[2

2,]e 上是增函数.

又2

(1)0,(2)23ln 20,()50f f f e e e

==-<=-

-> ∴函数()f x 在区间[1，2e ]上的值域为2

22[23ln 2, e 5]e

---.

点评：

（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；（2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值围

基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值围基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等

【例题4】已知函数3

()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1

()()3

g x f x mx =+

，若．()g x 的极值存在．．．．．

，数m 的取值围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值. 解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……①

又2

()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=.所以函数的解析式为3

()22f x x x x =-+-

（II ）因为32

1()223g x x x x mx =-+-+

令21

()34103

g x x x m '=-++=

当函数有极值时，方程．．．．．．．．．．2

34103

x x m -++=有实数解．．．．

.则4(1)0m ?=-≥，得1m ≤. ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =

，在2

x =左右两侧均有()0g x '>，故()g x 无极值

②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211

(2(2x x ==(),()g x g x '情况如下表：

所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；

当1(23=

x 时，()g x 有极大值；当1

(23

=+x 时，()g x 有极小值；点评：

（1）本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.

（2）本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大. 【例题5】设a ∈R ，函数2

3)(x ax x f -=．

（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；

（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值围．

解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．

因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．

经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．

（Ⅱ）由题设，

3222

()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，

上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得

5a ≤

反之，当

5a ≤

时，对任意[02]x ∈，

， 26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)

x x =+-0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，

上的最大值为(0)g ．

综上，a 的取值围为65??-∞

?，．点评：

（1）本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度. （2）本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大. （三）导数的几何意义【例题6】设函数()b

f x ax x

，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. （Ⅰ）求()y f x =的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =

-，当2x =时，1

y =；又()'

2b f x a x =+，于是12227

b a b a ?

-=????+=??，解得13a b =??=?，故()3f x x x =-

（Ⅱ）设()00,P x y 为曲线上任一点，由'

1y x =+

知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ??-=+- ???

，即()00200331y x x x x x ????

--=+- ? ?????

令0x =，得06y x =-

，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ??

- ??

?；令y x =，得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ；所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为

262x x -=；故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值6. 二、导数应用的变式与转化

（一）函数的零点存在与分布问题

问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值围基本方法：通性通法：函数最值控制法

特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理

二次函数

（1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；

（2）本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；（3）研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方

法上的铺垫.

【例题7】设函数3

9()62

f x x x x a =-

+-．（1）略；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值围.

解：因为当1x <时, '

()0f x >;当12x <<时, '

()0f x <;当2x >时, '

()0f x >;

所以当1x =时,()f x 取极大值 5

(1)2

f a =

-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52

a >

. 点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题.

【例题8】已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行，且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数x

x g x f )

()(=

（1）若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值；（2）)(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点．．．．,并求出零点. 解：（1）设()2

g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+；

又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴=，解得1a = 又()g x 在1x =-取极小值，∴12

=-，解得2b = ()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-，解得c m =；所以()()2g x m

f x x x x

=++，设(

),o o

P x y ，则()

2000002m PQ

x y x x x ??=+-=++ ??

?22

020222m x x =++≥

24∴=,

解得2

m =±

；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）由()()120m

y f x kx k x x =-=-+

+=，得()2120k x x m -++=()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2

x =-；

当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ??=-->，

若0m >，11k m >-

，()y f x kx =-有两个零点

若0m <，11k m <-

，()y f x kx =-有两个零点

x ；当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ??=--=，即11k m =-

,()y f x kx =-有一零点1

1x k =-

点评：

（1）本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；

（2）第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和

重点问题. 【例题9】已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222

，如果函数()x f y =在区间．．．[]1,1-上有零点．．．．

，求a 的取值围. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然函数在[]1,1-上没有零点.

若0a ≠，令 ()248382440a a a a ?=++=++

=, 解得 32

-±=

①当 32

a -±=

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点. ③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则

()()208244011121010a a a a f f >?

??=++>??-<-

≥?

-≥?

或 ()()208244011121010a a a a f f

??=++>??-<-

≤?

-≤?

解得

5a ≥或a <

，综上，所数a

的取值围是1a >或a ≤点评：本题以二次函数为载体，设定在区间围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二

次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题. 【例题10】已知函数3

()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++(,)a b ∈R ．（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值围．解：（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有

0)1()1(<'-'f f ，即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a

整理得：0)1)(1)(5(2

<-++a a a ，解得15-<<-a

三次函数

（1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；（2）本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；

（3）本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解. 【例题11】已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠ （I ）求()f x 的单调区间；

（II ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．

，求m 的取值围.

解：（1）'

2()333(),f x x a x a =-=-

当0a <时，对x R ∈，有'

()0,f x >所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞

当0a >时，由'

()0f x >解得x

'()0f x <解得x <<

所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，单调减区间为(.

（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以'

(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴= 所以3

()31,()33,f x x x f x x =--=-

由'

()0f x =解得121,1x x =-=.

由（1）中()f x 的单调性可知，

()f x 在1x =-处取得极大值1，在1x =处取得极小值-3.

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，所以m 的取值围是(3,1)-.

点评：（1）本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；（2）本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深

对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.

（二）不等式恒成立与存在解问题

问题设置：当不等关系在某个区间围恒成立或存在解为条件，求参数的取值围基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题基本方法：通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法

特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究【例题12】设函数32

3()(1)1,32

a f x x x a x a =

-+++其中为实数.

（Ⅱ）若'2

()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，数x 的取值围.

解：法一（变量转换，最值控制法）：2

3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立.

即2

(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立

设2

()(2)2()g a a x x x a R =+--∈，则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥. 即 2

20x x --≥，20x -≤≤∴，于是x 的取值围是}{

|20x x -≤≤

法二（变量分离法）：由题设知：22

3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，

即2

(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立.

于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22

202

x x

x +≤+.解得x 的取值围是}{|20x x -≤≤. 点评：变量分离法可以任何一个变量分离出来，例如本题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量x 分离出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用. 【例题13】已知定义在正实数集上的函数2

1()22

f x x ax =

+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．

（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：．．．f(x )．．．．≥．g(x)．．．．，其中x > 0．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．

()2f x x a '=+∵，2

3()a g x x

'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22

0002

00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??，，由200

32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）．即有2222215

23ln 3ln 22b a a a a a a a =

+-=-．令22

5()3ln (0)2

h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．

于是当(13ln )0t t ->，即1

0t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13

t e >时，()0h t '<．

故()h t 在1

0e ?? ???，为增函数，在13e ??+ ???

，

∞为减函数，

于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12

332

h e e ??= ???．

（Ⅱ）设2

21()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->，则()F x '23()(3)

2(0)a x a x a x a x x x

-+=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，

于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．

点评：

（1）本题以曲线的切线问题的载体，在第一问中考查了函数最值的求法；（2）第二问是恒成立问题的应用.两函数比较大小通过相减构造新函数运用导数知识（三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系

（1）研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题的通性通法，针对特殊类型

的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究；（2）研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是函数与其所对

应的不等式之间关系的问题；

（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将题目所涉及的

问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性. 【例题14】设函数0),(,)1(3

1)(223

>∈-++-

=m R x x m x x x f 其中（Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值围.

解：（2）12)(2

-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1

因为m m m ->+>11,0所以，当x 变化时，)(),('

x f x f 的变化情况如下表：

x )1,(m --∞

m -1

)1,1(m m +-

m +1

),1(+∞+m

)('x f

0 - 0 +

)(x f

极小值

极大值

)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 减函数，在)1,1(m m +-增函数.

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=

3223-+m m

函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=3

13223-+-m m （3）解：由题设， ))((3

)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-

= 所以方程13122

-++-

m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且0)1(3412>-+=?m ，解得2

)(21>-

因为12

,32,221221>>=+>

若0)1)(1(3

)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意

若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x 则0))((3

)(21≥---

==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是03

)1(2<-

=m f ,解得3333<<-m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m 的取值围是)33

21(

四、其它形式的问题

【例题15】设函数3222

()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；

（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +均为增函数，求a 的取值围．解：（Ⅰ）

22()323()()3

f x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >，

∴ 当3a x a x <->或时，()0f x '>；当3

a x -<<时，()0f x '<，

∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞是增函数，在(,)3

a -是减函数．

（Ⅱ）由题意知 3222

121x ax a x ax x +-+=-+，即2

[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．

∴22a -≤0，即2-≤a 2，又0a ≠，∴[2,0)(0,2]a ∈．

当0a >时，()g x 才存在最小值，∴2]a ∈．

211

()()g x a x a a a

=-+-

，∴1(),h a a a a =-∈.∴()h a

的值域为(,1-∞．

（Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和(,)3a

+∞是增函数，()g x 在1(,)a

+∞是增函数．

由题意得031a a a a a ?

?>?

≥??

?≥??

，解得a ≥1；

当0a <时，()f x 在(,)3a

-∞和(,)a -+∞是增函数，()g x 在1(,)a

-∞是增函数．

由题意得02312a a

a a a

+≤

???

+≤??

，解得a ≤3-；综上可知，实数a 的取值围为(,3][1,)-∞-+∞．【例题16】已知函数43219

()42

f x x x x cx =+-+有三个极值点. （I ）证明：275c -<<；

（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值围. 解：（I ）因为函数43219

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点，所以32

()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.

设32()39,g x x x x c =+-+则2

()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+- 当3x <-时，()0,g x '>()g x 在(,3)-∞-上为增函数；当31x -<<时，()0,g x '<()g x 在(3,1)-上为减函数；当1x >时，()0,g x '>()g x 在(1,)+∞上为增函数；所以函数()g x 在3x =-时取极大值，在1x =时取极小值. 当(3)0g -≤或(1)0g ≥时，()0g x =最多只有两个不同实根. 因为()0g x =有三个不同实根，所以(3)0g ->且(1)0g <.

即2727270c -+++>，且1390c +-+<，解得27,c >-且5,c <

故275c -<<.

（II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点.

不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x . 若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，

则[],2a a +?1(]x -∞，, 或[],2a a +?23[,]x x ,

若[],2a a +?1(]x -∞，，则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <- 若[],2a a +?23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<

又3

()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2

()(3)(3)f x x x '=-+；当5c =时，2

()(5)(1)f x x x '=+-.

因此，当275c -<<时，31 3.x << 所以3,a >-且2 3.a +≤

即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<

反之, 当5,a <-或31a -<<时，总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减. 综上所述，a 的取值围是(5)

(3,1)-∞--，