高中数学必修4练习题精编(全册分章节练习题)

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1.1.1任意角

课前预习学案

一、预习目标

1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；

2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

3、能用集合和数学符号表示象限角；

4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

二、预习内容

1．回忆：初中是任何定义角的？

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？

2.角的概念的推广：

3．正角、负角、零角概念

4.象限角

思考三个问题：

1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.

5.终边相同的角的表示

课内探究学案

一、学习目标

（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念；

（3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法； 学习重难点：

重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。 二、学习过程

例1. 例1在0360??

~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几

象限角.（注：0360??

－是指0360β?

?

≤<）

例2.写出终边在y 轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?

-≤

720?<的元素β写出来.

（三）【回顾小结】 1.尝试练习

（1）教材6P 第3、4、5题.

（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。

注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360?

的整数倍.

2.学习小结

(1) 你知道角是如何推广的吗?

(2) 象限角是如何定义的呢?

(3)你熟练掌握具有相同终边角a 的表示了吗?

(四)当堂检测

1．设第一象限的角｝＝

锐角｝，的角｝　小于{G {F 90{o

==E ， ，那么有（

）．

A ．

B ．

C ．

（

） D ．

2．用集合表示：

（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在

轴右侧的角的集合．

3．在～

间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 （1）

；（2）

；（3）

．

课后练习与提高

1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？

2. 下列命题正确的是： （ ）

（A ）终边相同的角一定相等。 （B ）第一象限的角都是锐角。 （C ）锐角都是第一象限的角。 （D ）小于090的角都是锐角。

3. 若a 是第一象限的角，则2

a -是第 象限角。

4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．

5.集合M ＝{α=k o

90?，k ∈Z}中，各角的终边都在（ ） A ．轴正半轴上， B ．轴正半轴上， C ．

轴或 轴上， D ． 轴正半轴或 轴正半轴上

6.设

，

C ＝{α|α= k180o

+45o

,k ∈Z} ，

则相等的角集合为_ _．

1.1.2 弧度制

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解弧度制的表示方法；

2.知道弧长公式和扇形面积公式.

二、预习内容

初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？

自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：

1、角的弧度制是如何引入的？

2、为什么要引入弧度制？好处是什么？

3、弧度是如何定义的？

4、角度制与弧度制的区别与联系?

三、提出疑惑

1、平角、周角的弧度数？

2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

课内探究学案

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式||l r

α=（l为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆半径）；

4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。

三、学习过程

（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o角的？角度制的单位有哪些，是多少

进制的？

（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。

<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号表示，读作。

练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、

2

r

的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是：

，α的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。

<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表

示角的度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r

παπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算

3602π=o rad 180π=o rad

1801π=?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180(

π

5718'≈o 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：

例1、把下列各角从度化为弧度：

(1)0

252 （2）0

/

1115 (3) 0

30 (4)'3067?

变式练习：把下列各角从度化为弧度：

(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o

例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4

π

变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）10

3π

（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.

（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：

||l r α=?

因为||l r

α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为

||l r α=?．

扇形面积公式：．

说明：以上公式中的α必须为弧度单位．

例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。

变式练习 1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。

2、半径变为原来的1

2

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．

4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB

，AB 所对的圆心角α 的弧度数为 ．

（六） 课堂小结： 1、弧度制的定义；

(2)

;R 2

1(1)S 2α=2

(1) 1

(2) 21(3) 2l R

S R S lR αα===

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

（七）作业布置 习题1.1A 组第7，8，9题。

课后练习与提高

1．在ABC ?中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。

2．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45o

，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是

多少？

1.21任意角的三角函数

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解三角函数的两种定义方法；

2.知道三角函数线的基本做法.

二、预习内容：

根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.

课内探究学案

一、学习目标

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来； （4）掌握并能初步运用公式一；

（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 二、重点、难点

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、学习过程 （一）复习：

1、初中锐角的三角函数______________________________________________________

2、在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________

（二）新课：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为

(,)x y

，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么

（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________ （2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________ （3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________； 2．三角函数的定义域、值域

3．三角函数的符

号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值

y

r

对于第一、二象限为_____（0,0y r >>），对于第三、四象限为____（0,0y r <>）；

②余弦值

x

r

对于第一、四象限为_____（0,0x r >>），对于第二、三象限为____（0,0x r <>）；

③正切值

y

x

对于第一、三象限为_______（,x y 同号），对于第二、四象限为______（,x y 异号）．

4．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：__________________________

即有：_________________________ _________________________ _________________________

5．当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===，_______ cos 1x x

x OM

r α====，________ tan y MP AT

AT

x OM OA

α====．_________ 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

（三）例题

例1．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值。

变式训练1：已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.

例2．求下列各角的三个三角函数值： （1）0； （2）π； （3）32

π

．

变式训练2：求53π

的正弦、余弦和正切值.

例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的三个三角函数值。

变式训练3： 求函数x

x

x

x y tan tan cos cos +

=的值域

例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

（Ⅳ）

（Ⅲ）

1. 32sin π与54sin π

2. tan 32π与tan 5

4π

（四）、小结

课后练习与提高

一、选择题

1. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x

42cos =

α，则αsin 的值

为（ ）

A. 410

B. 46

C. 42

D.

410

-

2. α是第二象限角，且

2cos

2

cos

α

α

-=，则2α

是（ ）

A. 第一象限角

B. 第二象限角

C. 第三象限角

D. 第四象限角

3、如果,

4

2ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ） A. cos tan sin θ<θ<θ B. sin cos tan θ<θ<θ C. tan sin cos θ<θ<θ D. cos sin tan θ<θ<θ

二、填空题

4. 已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则α的取值范围是 。

5. 函数x x y tan sin +=的定义域为 。

6. 4tan 3cos 2sin ??的值为 （正数，负数，0，不存在） 三、解答题

7.已知角α的终边上一点P

的坐标为（y ）（y 0≠）

，且sin y

α=

，求

cos tan αα和

1.2.2同角的三角函数的基本关系

课前预习学案

预习目标：

通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。

预习内容：

复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线： 。 提出疑惑：

与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？

。

课内探究学案

学习目标：

⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；

2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；

3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．

学习过程： 【创设情境】

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从

圆的几何性质出发,讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2

2

1MP OM +=,因此2

2

1x y +=,即 .

根据三角函数的定义,当()2

a k k Z π

π≠+

∈时,有 .

这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.

【例题讲评】

例1化简：ο440sin 12-

例2 已知α

α

αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简

例3求证：α

αααcos sin 1sin 1cos +=

-

例4已知方程0)13(22

=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，，

求

的值。

θ

θ

θθtan 1cos cot 1sin -+-

例5已知ααcos 2sin =，

求的值。

及αααα

αα

αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2++-

【课堂练习】 化简下列各式 1．

),2

(cos 1cos 1cos 1cos 1ππ

θθθ

θθ∈-++

+-

2．

x

x x

x x x sin tan sin tan cos 1sin +-?-

3．θθθ

θ

cos cos 1sin 1sin 22-+-

1.3.1三角函数的诱导公式（一）

课前预习学案

预习目标：

回顾记忆各特殊锐角三角函数值，在单位圆中正确识别三种三角函数线。 预习内容：

1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；

2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。 提出疑惑：

我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？

我们对)2,0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2

[ππ

内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢？

课内探究学案

一、学习目标：

（1）.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 （2）.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：

重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学习过程：

（一）研探新知

1. 诱导公式的推导

由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：

)

(tan )2tan()(cos )2cos()

(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+α

πααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。 【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成

?=+?80sin )280sin(πk ，3

cos

)3603

cos(

π

π

=??+k 是不对的

【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2

,

0[π

角呢？

除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？

若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：

（公式二）

特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有

（公式三） 特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有

（公式四） 所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；

③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”； 【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ① ； ② ； ③ 。 可概括为：“ ”（有时也直接化到锐角求值）。 （二）、例题分析：

例1 求下列三角函数值：（1）sin 960o

； （2）43cos()6

π

-

． 分析：先将不是)0,360??o o 范围内角的三角函数，转化为)0,360??

o o

范围内的角的三角 函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90????o o

范围内

角的三角函数的值。