2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业23

课时作业(二十三)

1．(2013·东城区期末)已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于 ( ) A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95

答案 A

2．设f (sin x )＝cos2x ，那么f (3

2)等于 ( )

A ．－12

B ．－3

2 C.12 D.32

答案 A 3．若

cos2αsin (α－π4)

＝－2

2，则sin α＋cos α的值为

( )

A ．－7

2 B ．－12 C.12 D.72

答案 C

解析

cos2α

sin (α－π4)＝sin (π

2－2α)

sin (α－π4)

＝

2sin (π4－α)cos (π4－α)

sin (α－π

4)

＝－2cos(π

4－α)

＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－2

2. 所以sin α＋cos α＝1

2.

4．(2013·湖北八校)已知f (x )＝2tan x －

2sin 2x 2－1

sin x 2cos x 2

，

则f (π

12)的值为 ( )

A ．4 3 B.833 C ．4 D ．8

答案 D

解析 ∵f (x )＝2(tan x ＋cos x sin x )＝2×(sin x cos x ＋cos x

sin x ) ＝2×1cos x ·sin x ＝

4

sin2x ， ∴f (π12)＝4

sin π6＝8.

5．若3sin α＋cos α＝0，则1

cos 2

α＋sin2α

的值为

( )

A.103

B.53

C.23 D ．－2

答案 A

解析 由3sin α＋cos α＝0，得cos α＝－3sin α. 则1

cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103

，故选A. 6．(2012·山东)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝37

8，则sin θ＝ ( )

A.35

B.45

C.74

D.34

答案 D

解析 ∵θ∈[π4，π2]，2θ∈[π

2，π]，故cos2θ<0. ∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－

1－(378)2＝－18.

又cos2θ＝1－2sin 2θ， ∴sin 2θ＝1－cos2θ

2＝

1－(－18)

2

＝916.

∴sin θ＝3

4，故选D. 7．(2013·洛阳统考)若

cos2αsin (α＋π4)

＝

1

2，则sin2α的值为

( )

A ．－78 B.78 C ．－47 D.47

答案 B

解析 cos2αsin (α＋π4)＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝2(cos α－sin α)＝

1

2，即cos α－sin α＝

24，等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.

8．(2013·衡水调研卷)计算tan (π

4

＋α)·cos2α

2cos 2(π4－α)的值为

( )

A ．－2

B ．2

C ．－1

D ．1

答案 D

解析 tan (π

4＋α)·cos2α2cos 2

(π4－α)

＝

sin (π

4＋α)·cos2α2sin 2

(π4＋α)cos (π4＋α)

＝

cos2α

2sin (π4＋α)cos (π4＋α)

＝

cos2αsin2(π4＋α)＝cos2αsin (π2＋2α)

＝cos2α

cos2α＝1，选D. 9．(2013·郑州质检)已知tan α＝2，则2sin 2α＋1

sin2α＝ ( )

A.53

B ．－134

C.135

D.134

答案 D

解析 2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝13

4，故选D.

10．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x

cos 2x －sin2x

＝

( )

A ．－195 B.195 C.113 D ．－113

答案 A

解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )，即cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋1

1－2tan x ＝

－195.

11．若θ∈[0，π)且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________. 答案 0或π

4

12．已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π

4)＝________. 答案 2－ 5

解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π

2)＝－cos2x ＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2－ 5.

13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝13

5，则tan2α＝________. 答案 －3

4

解析 sin3αsin α＝sin (2α＋α)

sin α ＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α

＝135.

∴2cos 2

α＋cos2α＝135，2cos 2

α－1＋cos2α＝85.

∴cos2α＝4

5.

∵2k π－π

2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z )． 又∵cos2α＝4

5>0，∴2α为第四象限的角． sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－3

4.

14．已知sin α＝cos2α，α∈(π

2，π)，则tan α＝________. 答案 －3

3

解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0. ∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π

2，π)， ∴2sin α－1＝0.

∴sin α＝12，cos α＝－32，∴tan α＝－3

3.

15．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A ·cos A ＝3

4，则此三角形为________．

答案 等边三角形

解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ， ∴tan(A ＋B )＝－3，得A ＋B ＝120°. 又由sin A cos A ＝34，得sin2A ＝32.

∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形．

16．(2013·西城区期末)已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝__________. 答案 －45

解析 方法一 sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，

sin2θ＝－cos2(θ＋π

4)＝－

1－tan 2(θ＋π

4)

1＋tan 2

(θ＋π4)

＝45， cos2θ＝sin2(θ＋π4)＝2tan (θ＋π

4)

1＋tan 2

(θ＋π4)＝

3

5， ∴原式＝45－35－1＝－4

5.

方法二 tan(π4＋θ)＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝1

2，

sin2θ－2cos 2

θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1

＝－

4

5. 17．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C

2的值为________．

答案

3

解析 由已知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C 2

＝tan A ＋C 2(1－tan A 2·tan C 2)＋3tan A 2tan C 2 ＝3(1－tan A 2·tan C 2)＋3tan A 2tan C 2 ＝ 3.

18．化简：2cos 4

x －2cos 2

x ＋1

2

2tan (π4－x )·sin 2(π4＋x )

.

答案 1

2cos2x

解析 原式＝

2cos 2x (cos 2x －1)＋1

2

2tan (π4－x )sin 2(π4＋x )

＝

1

2－2cos

2x sin2x

2sin(

π

4－x)

cos(

π

4－x)

·sin2(

π

4＋x)

＝

1

2－

1

2(sin2x)

2

2cos(

π

4＋x)

sin(

π

4＋x)

·sin2(

π

4＋x)

＝

1

2cos

22x

sin(

π

2＋2x)

＝

1

2cos2x.

19．已知0＜α＜π

2，

π

2＜β＜π且tan

α

2＝

1

2，sin(α＋β)＝

5

13.

(1)分别求cosα与cosβ的值；

(2)求tan α－β

2的值．

答案(1)cosα＝3

5cosβ＝－

16

65(2)－

11

23

解析(1)cosα＝cos2α

2－sin

2

α

2＝

cos2

α

2－sin

2

α

2

cos2

α

2＋sin

2

α

2

＝1－tan2

α

2

1＋tan2

α

2

＝

3

5，

∵0＜α＜π

2，∴sinα＝

4

5.

∵α＋β∈(π

2，

3π

2)，sin(α＋β)＝

5

13，

∴cos(α＋β)＝－12 13.

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

＝(－1213)·

35＋513·45＝－1665.

(2)∵2cos 2β2－1＝cos β＝－1665且β2∈(π4，π

2)， ∴cos β2＝7130，∴sin β2＝9130.

∴tan β2＝9

7.

∴tan α－β2＝tan α2－tan β2

1＋tan α2tan

β2

＝－

1123.

1．已知450°<α<540°，则 12＋12

12＋1

2cos2α的值是

( )

A ．－sin α2

B ．cos α2

C ．sin α2

D ．－cos α

2

答案 A 解析 原式＝ 12＋12

1＋cos2α

2

＝

12－12cos α＝|sin α2|.

∵450°<α<540°，∴225°<α

2<270°. ∴原式＝－sin α2.

2．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π

2)，则sin α＝________. 答案 1

2

解析 由已知得sin 22α＋sin2αcos α－(2cos 2α－1)＝1. ∴sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin α·cos 2α－2cos 2α＝0.

∴4sin 2α＋2sin α－2＝0. 解得sin α＝1

2(负值舍去)．

3．已知cos(α＋π6)－sin α＝233，则sin(α－7π

6)的值是________． 答案 2

3

解析 ∵cos(α＋π6)－sin α＝32cos α－32sin α＝23

3， ∴12cos α－32sin α＝23，即cos(α＋π3)＝23. 又sin(α－7π6)＝－sin(7π6－α)＝sin(π

6－α) ＝sin[π2－(α＋π3)]＝cos(α＋π3)＝23.

4．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝

(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON

→＝－15

.

(1)求tan2A 的值；

(2)求2cos 2A

2－3sin A －1

2sin (A ＋π

4)

的值．

解析 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－

cos(B ＋C )＝－15，

∴sin A ＋cos A ＝－1

5.

①

两边平方并整理，得2sin A cos A ＝－24

25. ∵－2425<0，∴A ∈(π

2，π)． ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝7

5.

②

联立①②，得sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－3

4.

∴tan2A＝2tan A

1－tan2A ＝

－

3

2

1－

9

16

＝－

24

7.

(2)∵tan A＝－3 4，

∴2cos2

A

2－3sin A－1

2sin(A＋

π

4)

＝

cos A－3sin A

cos A＋sin A

＝

1－3tan A

1＋tan A

＝1－3×(－

3

4)

1＋(－

3

4)

＝13.