大工13秋高等数学(上)辅导资料

高等数学（上）辅导资料七

主 题：第二章 导数与微分1—2节

学习时间：2013年11月11日－11月17日 内 容：

这周我们将学习第二章导数与微分1—2节。高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分。在这一章里，将利用极限的概念来说明导数的基本概念，研究求函数的导数的方法，并由此解决求初等函数导数的问题。本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下：

1、深刻理解导数定义（含左导和右导）及表示方法，会用导数定义求导数。

2、了解导数的几何意义，会求曲线上一点的切线方程和法线方程

3、深刻理解可导与连续的关系，会判定初等函数的可导性。

4、牢记基本初等函数的导数公式及导数四则运算法则

5、掌握反函数的求导方法

6、掌握复合函数的求导方法 基本概念：导数概念、导数几何意义

知识点：导数的四则运行法则，基本初等函数的求导公式

知识结构图

第一节、导数的概念

一、引例

1、变速直线运动的速度

2、切线问题 二、导数的定义

定义1：设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若

x

y

x x x f x f x x x ??=--→?→000lim )()(lim

存在，则称函数)(x f 在点0x 处可导，并称此极限为)(x f y =在点0x 的导数。记作：0x x y ='；)(0x f '；

x x dx

dy

=；

)(x x dx

x df =

即h

x f h x f x x f x x f x y

x f y h x x x x )()(lim

)()(lim lim

)(000000000-+=?-?+=??='='→→?→?= 定义2：左导数

00x x 000x /-x -x )

f(x f(x)lim

x )f(x )x f(x lim

(x)f 0-

-=?-?+=-→→?

右导数

00x x 000x /x -x )

f(x f(x)lim

x )f(x )x f(x lim

(x)f 0-=?-?+=+

+

→→?+

∴

A )(x f )(x f A )(x f 0/

0/-0/==?=+ 三、导数的几何意义

1、函数)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是该曲线在0x x =点处的切线斜率

k ，即)(0x f k '=，或αα,tan )(0='x f 为切线的倾角。

从而，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-（请记住公式） 若∞=')(0x f 2

π

α=?或2

π-

?

切线方程为：0x x = 范例解析：

填空题：曲线x e x y +=在点（0,1）处的切线斜率k= 答案：2

解题思路：2)1(00=+='==x x x e y

2、过切点),(00y x P ，且与P 点切线垂直的直线称为)(x f y =在0P 点的法线。如果0)(0≠'x f ，法线的斜率为)

(1

0x f '-

。

如果0)(0='x f ，法线方程为0x x = 范例解析：

计算题：已知曲线5323-+=x x y ，求过点（-1，-3）的切线方程和法线方程。

解：x x y 632+='，由导数的几何意义，曲线在（-1，-3）点的切线的斜率

36311-=-='=-=x y k ，法线斜率3

1112=-

=k k 所以切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x

法线方程为)1(3

1

3+=+x y ，即083=--y x

四、函数的可导性与连续性的关系

可导?连续。即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。

第二节、函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

(1)若)()()(x v x u x f βα+=，则)(')(')('x v x u x f βα+=(βα,为常数) (2)若)()()(x v x u x f ?=，则)(')()()(')('x v x u x v x u x f += 推广：u c cu '=')(

''')'(uvw w uv vw u uvw ++=

(3)若)()

()(x v x u x f =

，0)(≠x v ，2

)]

([)()()()()(x v x v x u x v x u x f '-'=' 二、反函数的求导法则

设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，

且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

范例解析：

计算题：求对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数。

解：因为)0(log +∞<<=x x y a 是)(+∞<<-∞=y a x y 的反函数，而y a x =在

),(+∞-∞是单调递增的连续函数，且a a a y y ln )(?='，所以

a

x a a x y y a ln 1

ln 1)a (1)(log =?='=

' 特别地，当e a =时，x

x 1

)(ln =' 三、复合函数求导法则

如果)(x u ?=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ?==点也可导，那么，

以

)(u f y =为外函数，以)(x u ?=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ?=在0x x =点可导，且

)()(000

x u f dx

dy x x ?''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ??''='=。

范例解析：

选择题：设x e y 3-=，则dy 等于（ ）A 、dx e x 3- B 、dx e x 3--C 、dx e x 33-- D 、dx

e x 33-答案：C

解题思路：dx e x d e e d dy x x x 3333)3()(----=-==

四、初等函数的导数

现将我们已求出的基本初等函数的导数列表如下，作为基本求导公式。 （1）0)(='c

（2）αααα()(1-='x x 为任意实数） （3）a a a x x ln )(=' （4）x x e e =')( （5）a

x x a ln 1

)(log =' （6）x

x 1)(ln =

' （7）x x cos )(sin =' （8）x x sin )(cos -=' （9）x x 2sec )(tan =' （10）x x 2csc )(cot -=' （11）x x x tan sec )(sec =' （12）x x x cot csc )(csc -=' （13）2

11)(arcsin x x -=

'

（14）2

11)(arccos x

x --='

（15）2

11

)(arctan x x +=

' （16）2

11

)cot (x

x arc +-='

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）