行列式的计算技巧

行列式的计算技巧

行列式的计算技巧很多，在这里，我们介绍常见的一些行列式的计算技巧,主要包括 行和或列和相等，爪型（歪爪型）、范德蒙（伪范德蒙）、加边法、递推降阶法、层层递加（减）法等等。

方法1 行（列）和相等

这类行列式的计算一般把行列式的行全部加到第一行，或者把所有的列全部加到第一列，习惯上，我们可以全部加到第一列，提取公因子后，第一列全部变成1，从而方便我们植1造0，或者在此时观察行列式的特点， 进一步化成上三角或者下三角来进行计算。

例1 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。求如下行列式的值。

121

211231

2

3n n n n

x a a a a x a a D a a a a a a a x

+=

[分析] 我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式，这样行列式的次数就降了一次。

解：

1211221

211

2

323

12

32

31

11

()11n

i n i n

n i n

i n n

n i i n n

i

n

i n

i i a x

a a a a a a a x

x a a x

a a D a x a a a a x

a a a a a x

a x

a a x

==+===++=

=+++∑∑∑∑∑

对行列式

x

a a a a a a a x a a a n

n n

32

322211111

进行观察，此时一般有两种途径，一种是在第一列造0，把第二行开始后的每一行都减去第一行，或者利用第一列的1，把第一列的倍数加到其他列来造0，具体采用哪个看具体问题，在本题中，可以考虑把第一列的1a -倍加到第2列， 第一列的2a -倍加到第3列，

，第一列的n a -倍加到最后一列，。

从而有

)

())()((10

1001

000

1)(1111)(211

231

223121

1

3232221

11n n

i i n

n

i i n

n n n

i i n a x a x a x x a a x a a a a a a a a a x x a x a a a a a a a x a a a x a D ---+=------+=+=∑∑∑===+

方法2 爪（歪爪）型行列式

此类行列式有三条线构成，类似一个爪子，或者歪爪，可以采用去爪的方法来做，特别注意歪爪只能去掉歪了的爪子，在去爪的过程中，利用主对角线上的元素来去爪子，层层递进即可。

例2-1：计算下面行列式

1

103

012321

n

n D n = 分析：最后一列乘以n -加到第一列，倒数第2列乘以)1(--n 乘到第一列，一直下来，到第3列乘以-3加到第1列，第2列乘以-2加到第一列，则有

2

2222

222)1(3211

1000

010

3223)1(1n n n n n D n ------=------=

例2-2：计算下面行列式

1

01000001300001211111n

D n

=

分析：最后一列乘以n -加到第)1(-n 列，倒数第2列乘以)1(--n 加到第)1(-n 列，一直下来，到第3列乘以-3加到第2列，第2列乘以-2加到第1列，则有

1111

01000001000001011131211-=?-=---=

-n n n D

方法3 （伪）范德蒙行列式

首先，熟悉范德蒙行列式的结果，等于第2行中每个元素减去前面元素的所有因子的乘积，范德蒙行列式的推导可以使用层层递减法得到。

例3-1：

∏≥>---------------==

1

111

1312

1

12212322212

21

23

22

211

3

2

1

)(11111i j i j n n

n n n n n n n n n n n n n

n n

n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D

[分析]此行列式是标准的范德蒙行列式，记住它的结果。

例3-2：

4

4442

2

2

2

41111d c b a d

c

b

a

d c b a D =

[分析]此行列式并非标准的范德蒙行列式，少了三次方，不妨把这种行列式称

为伪范德蒙行列式，这类行列式的计算可以通过构造一个真正的范德蒙行列式，然后通过系数的对比来进行计算。

解：构造五阶范德蒙行列式

4

4

4

4

4

3333322222

511111x d c b a x d c b a x d c b a x d c b a D = 一方面，这是一个范德蒙行列式，所以可以直接求出它的结果是另一方面

）a b b c a c c d b d a d d x c x b x a x D ----------=)()()()()()()()()((5 另一方面,此行列式按照第5列展开可得

554453352251551A x A x A x xA A D ++++?=

这两个表达式必定相等，因此当中未知数的系数也相等，观察三次方的系数，则有

）a b b c a c c d b d a d d c b a D A ------+++-=-=)()()()()()((445

即

）

a b b c a c c d b d a d d c b a D ------+++=)()()()()()((4

方法4 递推法

应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

例4，2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：

0001

00010

00

1n D αβ

αβαβ

αβαβαβ

++=

++

11

,n n n D αβαβαβ

++-=≠-证明　：其中

［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余

的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]

。从行列式的左上方往右下方看，即知D n-1与D n 具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

证明：D n 按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－

这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式。若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－） 或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－） 现可反复用低阶代替高阶，有：

23112233422

221[()()](1)

n n n n n n n n n n n

D D D D D D D D D D αβαβαβαβαβ

αβαβααββ-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）

＝＝（－）=

同样有：

23112233422

221[()()](2)

n n n n n n n n n n n

D D D D D D D D D D βαβαβαβαβα

αβαββαβα-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）

＝＝（－）=

因此当αβ≠时

由（1）（2）式可解得：11

n n n D αβαβ

++-=-

方法5 加边法（升阶法）

有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。

加边法的一般做法是：

1

11111111112122122

2121111

100

000n

n

n n n n n n n nn

n nn

n

n nn

a a a a a a

b a a a a D a a b a a a a a a b a a =

==

特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====

例5、计算n 阶行列式：

211212212212212

12

111

n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=

+

[分析] 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第二行为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n 行为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x 1,x 2,…, x n ，从而就可考虑此法。

解：

111121221121212212221

2

1

2

1

2

121

2

1

1

(1,,)(1,,)

1101

1000

10100

1

1

10100100100

1

i i i i n n n n n n n n

n n

i n i n

i i n i n r x r c x c i n x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+=+∑∑

方法6 拆行（列）法

由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。

由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。

例6、 南开大学2004年研究生入学考试题第1大题，要求下列行列式的值： 设n 阶行列式：

1112121222121n n n n nn

a a a a a a a a a =

且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 对任意数b ，求n 阶行列式

111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a b a b

++++++=+++

[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b ，显然用拆行（列）法。

解：

1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a b

a a

b a b

b a b a b

++++++++++++++=

=

+

+++++++

11121111121212222122221212111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a b

a a a b

a b a b a a ++++=+

+++

11121111121212222122221

212111111n n n n n n n n nn

n nn

n nn

a a a a a a a a a a a a a a

b b

a a a a a a a =+++

211

1

1n

n

i i i i b A b A ===+++∑∑ ,1

1n

ij i j b A ==+∑

A 又令＝

11

1212122212n n n n nn

a a a a a a a a a

,,1,2,,i j j i

a a i j n

=-= 且 ':1,A A A ∴==-有且

1

1E A A A A A A A A

?=?＊

－－＊＊由＝

得：即＝

1A A ∴＊－＝

'

1''11()()()A A A A A ---===-=-＊

＊又（）

*A ∴也为反对称矩阵

又(,1,2,,)ij A i j n = 为*A 的元素

1,1

0n

ij i j A ==∴=∑

有

从而知：1,1

11n

n ij i j D b

A ===+=∑

方法7 数学归纳法

一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。

例7 .证明：

2cos 10001

2cos 100012cos 00sin(1)(sin 0)sin 0002cos 10

1

2cos n n D θθθθθθ

θθ

+=

=

≠

证：当1,2n =时，有：

122sin(11)2cos sin 2cos 1sin(21)4cos 112cos sin D D θθθ

θθθθθ+==

+==-=

结论显然成立。

现假定结论对小于等于1n -时成立。 即有：

21sin(21)sin(11),

sin sin n n n n D D θ

θ

θ

θ

---+-+=

=

将n D 按第1列展开，得：

(1)

(1)

12

2cos 1002cos 0001

2cos 0012cos 00002cos 1002cos 10

1

2cos 0

1

2cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1)sin 2cos sin sin cos co n n n n n D D D n n n n n n θθθθθθθ

θ

θθθ

θθθ

θθθθ

θθθθ----=

-

=?--+-+=?

-

?--=

?-?+=

s sin sin sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n n θθθ

θθθθθ

θθ??+?=

+=

故当对n 时，等式也成立。 得证。

方法8 利用拉普拉斯定理 拉普拉斯定理的四种特殊情形：

1）

0nn nn mm mn mm A A B C B =? 2）

0nn nm nn mm mm A C A B B =?

3）

0(1)

nn mn

nn mm mm

mn

A A

B B

C =-? 4）

(1)0

nm nn mn nn mm mm

C A A B B =-?

例8 计算n 阶行列式：[1]

n a a a a

b D b b

λα

β

βββα

βββ

ββα

=

解：

12

222

(2)(2)

(2,,1)

0000

00

0(1)(2)0

0000000(3,)0

00

000(1)00(2)0

[(2)(1)i n

i

n n i n a a

a a

b D n a a

a

a

b n C C i n n a

b n n ab n λλλ

ααβ

ββ

βαα

αβ

λ

αβ

ββ

β

αβ

αβαβαβ

λ

αβαβ

αβ

λαλβ+?-?-=------+-+--=----?

+--=+---

利用拉普拉斯定理

2

]()

n αβ-?-