浙大高等传热学导热理论

高等传热学导热理论

参考书：高等传热学 贾力 方肇洪 钱兴华

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第一讲 导热规律及其数学描述

导热可发生在物体的各种状态：气态、固态和液态。描述传热规律最基本的规律是傅里叶导热定律：

1. F o u r i e r L a w :

dx

dt q λ-=

傅里叶定律适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题，但其表现形式上为已知热流方向的一维问题。用起来不方便。在已知温度场的情况，我们把傅里叶定律推广成向量形式：

n n t t q ??-=?-=λλ 其中?叫n a b l a 算子，作用于温度叫温度梯度。n 为温度梯度单位方向向量。在

不同的坐标系中，?有不同的表现形式，在直角坐标系中：

k z

j y i x ??+??+??=? 傅里叶定律向量形式说明，热流密度方向与温度梯度方向相反。它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题。

2．各向异性材料，导热系数张量；

许多物体的导热能力与方向有关，如木材。正确描述物体中一点的导热系数需采用二阶张量形式：

[]????

??????=z zy zx yz y yx xz xy x λλλλλλλλλλ

在直角坐标系中各向异性物体的傅里叶定律表示为：

采用爱因斯坦求和约定，简记为：3,2,1,=??-=j i e x t q i j

ij λ 由热力学第二定律可以证明：0)(,

2≥≠>=ii ij jj ii ji ij j i λλλλλλ,导热系

数张量是对称张量。 由张量理论知，必存在一个坐标系),,(ζηξ，使得导热系数张量可以表示成：

[]?????????

?=ζηξλλλλ000000

称坐标系),,(ζηξ的三个方向为导热系数张量主方向，),,(ζηξλλλ为主导热系数。导热系数张量主方向和主导热系数可以利用线性代数中的相似变换求出。 当我们采用导热系数张量主方向作为坐标系时，傅里叶定律表示成：

)(ζζηηξξζληλξλe t e t e t q ??+??+??-=

从而简化计算。

当三个主导热系数相等时（叫球张量），傅里叶定律就转化为各向同性的形式。当导热系数张量确定后，主导热系数是唯一的，但导热系数张量主方向不一定唯一。如球张量对任一正交坐标系都是导热系数主方向。

傅里叶定律各向异性形式说明，热流密度方向与温度梯度方向不一定相反，可以有一个角度，这个角度受热力学第二定律的限制，热流密度方向必须朝向温度降低方向。它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向异或同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题。

3．有限热传播速度下的傅里叶定律修正： []x xy xz yx y yz zx zy z t i x t q t j y t k z λλλλλλλλλλ??

?????????????=-?=-???????????????????

傅里叶定律暗含了热传播速度无穷大的假设，这是违反物理规律的。所以我们认为傅里叶定律仅仅是导热规律的一个近似。根据统计热力学，物体对热扰动表现出惯性和阻尼作用，使得热只能以有限的速度“C ”传播。称C 为第二声速。 02/τa C =。0τ有时间量纲，称为物体的弛豫时间，它反映导热系统趋于新的平衡状态的快慢程度。其数量级与物体粒子二次碰撞平均时间间隔相同。考虑了有限热传播速度下的傅里叶定律修正为： t q q C a ?-=+??λτ

2 热传播项 热流 热扩散

对稳态导热，热传播项消失，该式转化为原来的傅里叶定律。 )/(p C a ρλ=叫热扩散系数。

非稳态，一般a <

在深冷领域，温度接近绝对零度，物体性质发生很大的变化。有时传播项的影响不可忽略。如在1.4K 液氦中，C 约为19m /s ,此时需考虑传播项的影响，负责会造成较大误差。

在短时间高热负荷情况下，如强激光照射，热流变化非常剧烈，也此时需考虑热传播速度效应，才能得到正确的预测。

人们还从传热的微观机理出发对傅里叶定律进行种种修正，对理解物体的微观运动和物性预测很有帮助。这里就不再介绍。

4．导热微分方程：

对连续体，各向同性静止物体，在具有内热源Φ

（核反应，电加热或化学反应等）时，利用热力学第一定律和傅里叶定律，不考虑系统对外做功，不可压缩物体，无相变的情况下，可以得到如下导热微分方程：

()Φ+???=?? t t C p λτ

ρ 1－4－1 非稳态项 扩散项 源项

当λ为常数，式1－4－1变成：

p

C t a t ρτΦ+?=?? 2 1－4－2 更一般地，考虑粘性流体流动状态下发生的传热有：

ηφττρ++++?-?=D DP q q q D Dh s r 1－4－3 h=e+P/ρ 1－4－4

ηφ叫耗散函数。

不同的坐标系，上面的公式有不同的表达。见贾书P 8－11。

虽然导热微分方程适用情况很广，有时使用并不方便，大家在应用时体会。

5．初值条件与边界条件

物理规律用微分方程表达，叫数学物理方程。数理方程反映的是同类物理现象，它不涉及研究对象特定的环境和历史。所以叫这类微分方程为泛定方程（或控制方程等）。要解决实际稳态，还要给出定解条件。作为整体，我们把求出定解条件称为定解问题。求解导热微分方程的定解条件是初值条件，边界条件等，在一定的物理条件，几何条件下，再给出以下的初值条件，边界条件，导热微分方程有唯一解，所以我们又称这些条件为唯一性条件。

A /. 初值条件：就是给定系统初始状态。即给定系统Ω的初始温度： Ω?==),,(),,(0z y x z y x f t τ

最简单情况：Ω?==),,(0

z y x C t τ B /. 边界条件：给定系统与环境之间的作用和关系。分线性边界条件和非线性边界条件。边界条件中含函数及其偏导数的乘积项为非线性边界条件，否则就为线性边界条件。线性边界条件的求解比 非线性边界条件办法多，一般有通用方法。非线性边界条件变化多，是当前的难题。

线性边界条件有：

1s t B C : 给定边界Γ上的温度：Γ?=≥),,(),,(0z y x z y x f t τ 2n d B C ： 给定边界Γ上外法向的热流密度：

Γ?=??-=≥),,(),,(0z y x z y x f n

t q λτ 最简单情况：Γ?=??-=≥),,(00z y x n

t q λτ叫绝热边界条件。 3r d B C ：给定边界Γ上的换热条件：

Γ?-=??-≥),,()(0z y x t t h n

t f λτ 还有一种边界条件有人称之为4t h B C ,即给定两个相互接触面间的温度和热流。当其为理想接触时也是线性的，两相互接触面A ,B 理想接触时的边界条件为: Γ???=??≥),,(0

z y x n t n t B B B A A A λλτ Γ?=≥),,(0z y x t t B A τ

即接触面上温度相同，热流相等

当存在接触热阻和接触面上有内热源时，为非理想接触，有可能变得非线性。 非线性边界条件

相应的情况很多，上述几种边界条件当其中系数与温度或温度的偏导数有关时，就转化为非线性边界条件。另外常见的有：

辐射边界条件：黑体辐射服从温度的四次方率，高度非线性。

自然对流边界条件;表面传热系数与温差的1/4或1/3成正比。

移动边界条件：边界上存在相变等，如融化，凝固，烧结等，边界在移动，往往会有待求的边界移动速度项，故为非线性。

非线性问题的求解绝大多数转换为线性问题获得近似解，个别问题发展了自己的解法。

凝结边界条件和沸腾边界条件从本质上看，表面传热系数也与温度有关，也属于非线性。

6．导热问题的分类及求解方法：

按照不同的导热现象和类型，有不同的求解方法。求解导热问题，主要应用于工程之中，一般以方便，实用为原则，能简化尽量简化。

直接求解导热微分方程是很复杂的，按考虑系统的空间维数分，有0维，1维，2维和3维导热问题。一般维数越低，求解越简单。常见把高维问题转化为低维问题求解。有稳态导热和非稳态导热，非稳态导热比稳态导热多一个时间维，求解难度增加。有时在稳态解的基础上分析非稳态稳态，称之为准静态解，可有效地降低求解难度。根据研究对象的几何形状，又可建立不同坐标系，分平壁，球，柱，管等问题，以适应不同的对象。

不论如何，求解导热微分方程主要依靠三大方法：

甲．理论法

乙．试验法

丙．综合理论和试验法

理论法：借助数学、逻辑等手段，根据物理规律，找出答案。它又分：

分析法；以数学分析为基础，通过符号和数值运算，得到结果。方法有：分离变量法，积分变换法(L a p l a c e变换，F o u r i e r变换)，热源函数法，G r e e n函数法，变分法，积分方程法等等，数理方程中有介绍。

近似分析法：积分方程法，相似分析法，变分法等。

分析法的优点是理论严谨，结论可靠，省钱省力，结论通用性好，便于分析和应用。缺点是可求解的对象不多，大部分要求几何形状规则，边界条件简单，线性问题。有的解结构复杂，应用有难度，对人员专业水平要求高。

数值法：是当前发展的主流，发展了大量的商业软件。方法有：有限差分法，有限元法，边界元法，直接模拟法，离散化法，蒙特卡罗法，格子气法等，大大扩展了导热微分方程的实用范围，不受形状等限制，省钱省力，在依靠计算机条件下，计算速度和计算质量、范围不断提高，有无穷的发展潜力，能求解部分非线性问题。缺点是结果可靠性差，对使用人员要求高，有的结果不直观，所求结果通用性差。

比拟法：有热电模拟，光模拟等

试验法：在许多情况下，理论并不能解决问题，或不能完全解决问题，或不能完美解决问题，必须通过试验。试验的可靠性高，结果直观，问题的针对性强，可以发掘理论没有涉及的新规律。可以起到检验理论分析和数值计算结果的作用。理论越是高度发展，试验法的作用就越强。理论永远代替不了试验。但试验耗时费力，绝大多数要求较高的财力和投入，在理论可以解决问题的地方，应尽量用理论方法。试验法也有各种类型：如探索性试验，验证性试验，比拟性试验等等。

综合法：用理论指导试验，以试验促进理论，是科学研究常用的方法。如浙大提出计算机辅助试验法(C A T)就是其中之一。