专题19 几何探究型问题(第01期)(原卷版)

专题19几何探究型问题

1．（2019?北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果?DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称?DE为△ABC的中内弧．例如，图1中?DE是△ABC的一条中内弧．

（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧?DE，并直接写出此时?DE的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t

=，求△ABC的中内弧?DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧?DE，使得?DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的

取值范围．

2．（2019?天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．

（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；

（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，

E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．

①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用

含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

S t的取值范围（直接写出结果即可）．

3．（2019?陕西）问题提出：

（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形

BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

4．（2019?海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．

（1）求证：△PDE≌△QCE；

（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

5．（2019?江西）在图1，2，3中，已知Y ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；

（2）如图2，连接AF．

①填空：∠F AD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；

②求证：点F在∠ABC的平分线上．

（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BC

的值．

6．（2019?宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M 不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

7．（2019?安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；

（2）求证：P A=2PC；

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．

8．（2019?重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．

（1）若DP=2AP=4，CP=CD=5，求△ACD的面积．

（2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD=+2CE．

初三几何探究题

寒假提高班材料六：几何探究题 1、如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ． ①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠= o ；如图2，BOC ∠= o ；如图3，BOC ∠= o ．（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边； AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ． ①猜想：如图4，BOC ∠= o （用含n 的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想． 2、请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结 PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=o ，探究PG 与PC 的位置关系及 PG PC 的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<

几何图形中的综合探究问题

专题四几何图形综合探究问题命题规律：纵观青海近五年中考，每年必考，而且此类题总是出现在试卷第27题，中考常与函数结合在一起考出现在压轴题，从考查的类型看主要包括从实际操作中探究、从特殊到一般的探究，存在性探究、动态探究，难度中偏上．命题预测：预计2017年青海(西宁)中考仍会考查此类内容，复习时应加强各种类型的强化训练．从特殊到一般的探究性问题【例1】(2015临沂中考)如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE. (1)请判断：AF与BE的数量关系是________，位置关系是________； (2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD ＝FC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，第(1)问中的结论能成立吗？请直接写出你的判断．【解析】根据正方形和等边三角形的性质，可以判定AF、BE所在的两个钝角三角形全等，利用全等三角形的性质可得AF和BE的数量关系和位置关系； (2)问的思路同(1)相似，只是增加了证明向外做的这两个等腰三角形全等的过程； (3)问思路同(2)问一样．【学生解答】解：(1)AF＝BE，AF⊥BE；(2)第(1)问中的判断仍然成立，证明：由EA＝ED＝FD＝FC和AD ＝CD，可知△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝∠DAE＋90°，∠ADF＝∠ADC＋∠CDF＝∠CDF＋90°，∴∠BAE＝∠ADF.在△BAE和△ADF中，AB＝AD，AE＝DF，∠BAE＝∠ADF，∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE，由于△BAE≌△ADF，∴∠FAD＝∠EBA，又∵∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠EBA＋∠BAF＝90°，∴AF⊥BE； (3)第(1)问中结论都成立．如图所示，∵AE＝DF，ED＝FC，AD＝CD.∴△ADE≌△DCF，其余证明和(2)一样．【点拨】这类稍微改变条件，问同一结论是否仍然成立的问题，几个问题之间的思路往往一脉相承，其中体现了从特殊到一般的思维方法． 1．(2016青海中考)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，完成所提出的问题． ,) ,图1)

2018年安徽中考数学专题复习几何探究题

2018年安徽中考数学专题复习几何探究题类型一与全等三角形有关的探究 ★1. 如图①，P 是△ABC 的边BC 上的任意一点，M 、N 分别在AB 和AC 边上，且PM ＝PB ，PN ＝PC ，则△PBM 和△PCN 叫做“孪生等腰三角形”． (1)如图②，若△ABC 是等边三角形，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明△PMC ≌△PBN ； (2)如图③，若△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明：BN ＝CM ； (3)如图④，若(2)中P 点在CB 的延长线上，其他条件不变，是否依然有BN ＝CM ，若是，请证明，若不是，请说明理由．第1题图 (1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ， ∴△PBM 和△PCN 是等边三角形， ∴∠BPM ＝∠NPC ＝60°， ∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠NPC ＋∠MPN ，即∠BPN ＝∠MPC . 在△PMC 和△PBN 中， ???? ?PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN ∴△PMC ≌△PBN (SAS)； (2)证明：如题图③，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ， ∴∠PBM ＝∠PMB ，∠PCN ＝∠PNC ， ∴∠BPM ＝∠CPN ， ∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠CPN ＋∠MPN ， ∴∠BPN ＝∠MPC ，在△PMC 和△PBN 中， ???? ?PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN

中考专题几何探究题(图形变换)

中国最负责的教育品牌河南省数学中考专题----几何图形变换 1、（09年河南中考题）21. (10分)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点 0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 2、（10年河南中考题）19．（9分）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =42，∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．（1）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P 在BC 边上运动的过程中，以P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． 3、（11年河南中考题）22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =53，∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF . （1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由. A D B P E C

专题19 几何探究型问题

专题19 几何探究型问题 1．（2019?北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC22 =D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点． ①若t 1 2 =，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【解析】（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE， ∵∠A=90°，AB=AC22 =D，E分别是AB，AC的中点， ∴BC 22 sin sin45 AC B === ? 4，DE 1 2 =BC 1 2 =?4=2， ∴弧 1 2 DE=?2π=π．（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当t 1 2 =时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（ 1 2 ，1），设P（1 2 ，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1， ∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°， ∵DE∥OC， ∴∠AED=∠ACO=45°，作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF 1 2 =，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求， ∴m 1 2≤，综上所述，m 1 2 ≤或m≥1． ②如图4，设圆心P在AC上， ∵P在DE中垂线上， ∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM 3 2 =， ∴P（t，3 2）， ∵DE∥BC，

【精选】2020中考数学几何综合探究专题练习(含答案)

2020中考数学几何综合探究专题练习例题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5075135AB DC AD BC ====，，，点P 从点B 出发沿折线段BA AD DC --以每秒5个单位长度的速度向点C 匀速运动，点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ，点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间是t 秒()0t > （1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ DC ∥? （3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD DA ，上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）【答案】⑴507550 355 t ++= =()s 时，点P 到达终点C ，此时，353105QC =?=，所以BQ 的长为 13510530-=． ⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =, 由35QC t BA AP t =+=，得507553t t +-=，解得125 8 t =，经检验：当125 8 t =时，有PQ DC ∥． ⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF BC ⊥于点F ，DH BC ⊥于点H ，则四边形ADHF 为矩形，且ABF DCH △≌△，从而75FH AD ==，于是30BF CH ==，∴40DH AF ==．又3QC t =，从而tan 34DH QE QC C t t CH =?=?=（注：用相似三角形求解亦可） ∴21 62 QCE S S QE QC t ==?=△． ②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ，由①知4030DH CH ==，，又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=- ∴()1 1206002 QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形．例题2. 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413 CE CF ==，，直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x = ，C 图1 C 图2

中考数学第专题突破能力提升专题集训几何问题探究试题

专题集训9 几何问题探究一、选择题 1．如图，线段AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，∠AOC ＝80°，点P 是线段AB 延长线上的一动点，连结PC ，则∠APC 的度数不可能的是(A ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15° 【解析】∠APC ＝∠CBO －∠BCP ，而∠CBO ＝40°，故∠APC ＜40°. ,第1题图) ,第2题图) 2．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连结DF ，则下列结论中错误的是(D ) A ．△AEF ∽△CA B B ．CF ＝2AF C ．DF ＝DC D ．tan ∠CAD ＝ 2 【解析】AE ＝ED ＝12AD ，△FEA ～△FBC ，由相似成比例知FC AF ＝BC AE ＝21 ，∴CF ＝2AF ，B 正确．又AC ⊥BE ，∴△AEF ～△CAB ，A 正确．连结EC ，∵E 为AD 中点，∴EB ＝EC ，△EBC 为等腰三角形，∴∠ECD ＝∠EBA ，∠ECB ＝∠EBC ＝∠AEF ＝∠ACD ，又△CFB ～△CBA ～△BFA ，∴FC BC ＝BC AC ＝BF AB ＝AB BE ，而BE ＝EC ，AB ＝DC ，∴FC BC ＝DC EC ，∴△FDC ∽△BEC ，∴DF ＝DC ，C 正确．二、填空题 3．如图，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需添加一个条件，你添加的条件是__∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD __．(只需写一个，不添加辅助线) 4．如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM ，PN 分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连结EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是__(1)，(2)，(3)__． (1)EF ＝2OE ；(2)S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；(3)BE ＋BF ＝2OA ；(4)在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34 . 【解析】(1)由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF (ASA)，则可证

几何探究题

－ 128－（一）几何探究题 1．（07绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB, ∠DAB＝60°, ∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝ 3 AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”, 如图2，可证 AB＋AD＝ 3 AC．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过Ｃ点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、 F．（请你补全证明） 2．（07盐城）操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．根据上述操作得到的经验完成下列探究活动．探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E 为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若 AB＝5，CF＝1，求DF的长度．

－129 － 3．（07潍坊）已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF ∥AB ，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM ∥AC ，交AB 于M 点，连结ME ．（1）求证：四边形AEPM 为菱形；（2）当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？ 4．（07武汉）填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ， EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F ．如图1，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_______；如图2，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_______；如图3，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_______（用含α的式子表示）；将图3中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A 、B 重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB 与∠α的数量关系是_______；在图5中，∠AFB 与∠α的数量关系是 _______．请你任选其中一个结论证明． A B C P D F E M

立体几何专题突破之《探究性问题》

《探究性问题》考点动向立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．探究是一种科学的精神，因此，也是命题的热点．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．方法范例例１如图８－１，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中， P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =．（１）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为（２）在线段11AC 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于 AP ，并证明你的结论．解析本题的两问都充满了探究性，问题的情景具有运动变化的特点，此时，只需要确定某一个位置进行推理，其它作类似推理即可．即所谓的化动为静．解法1 （1）连AC ，设A C B D O A P =，与面11BDD B 交于点G ，连OG ．因为PC ∥面 11BDD B ，面11 BDD B 面APC OG =，故 O G P C ∥．所以122 m OG PC ==．又 1A O D B A O B B ，⊥ ⊥，所以AO ⊥面11BDD B ．故AGO ∠即为AP 与面11BDD B 所成 A 1 D 图８－１ P 1A D 1 图８－２

的角．在Rt AOG △ 中，2tan 2 AGO m ∠==，即13m =．故当1 3m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为（2）依题意，要在11AC 上找一点Q ，使得1D Q AP ⊥．可推测11AC 的中点1O 即为所求的Q 点．因为1111111DO AC DO AA ，⊥⊥，所以11DO ⊥面11ACC A ．又AP ?面11ACC A ，故11D O AP ⊥．从而11D O 在平面1AD P 上的射影与AP 垂直．解法２（1）建立如图８－３所示的空间直角坐标系，则(100)(110)(01)A B P m ，，，，，，，，， 11(010)(000)(111)(001)C D B D ，，，，，，，，，，，．所以1(110)(001)(11)(110)BD BB AP m AC =--==-=-，，，，，，，，，，，．又由100AC BD AC BB ==，知，AC 为平面11BB D D 的一个法向量．设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则 s i n c o s θθπ?? = - ?2?? 2 22AP AC AP AC m = = +． 2 2 2m = +，解得 13m = ．故当1 3 m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为（2）若在11AC 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为 x ，则 1(11)(10)Q x x D Q x x -= -，，，，，．依题意，对任意的m 要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，等价于111 0(1)02 D Q AP AP D Q x x x ?=?-+-=?=⊥．即Q 为11AC 的中点时，满足题设要求．

几何探究第23题专题

图3图1图2G F C A D B E C A D B E C B E D A 第23题几何探究专题复习 23.（本题满分10分）已知在△ABC 中，AB =AC =10cm ，BC =，点E 从点A 出发，沿AC 方向以2c m/s 的速度匀速运动，同时点D 由点B 出发，沿BA 方向以1c m/s 的速度运动，连DE ，设运动时间为t （s ）(0

23.（本题满分10分）已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90? ，AC=4，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，点M 从点D 出发.沿线段DC 向点C 运动，点N 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点M 运动到C 时，两点都停止，设运动时间为t 秒. (1)如图1，若MN ∥AB ，求t 的值. (2)如图2，若△CMN 为等腰三角形，求t 的值. (3)如图3，是否存在t 值，使N 、M 、B 三点在同一直线上? 若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由. 23. （本题满分10分）如图1，共直角边AB 的两个直角三角形中，∠ABC=∠BAD=90°，AC 交BD 于P ，且。（1）求证：AD=AB ；（2）如图2，BE ⊥CD 于E 交AC 于F ， ①若F 为AC 的中点，求的值； ②当时，请直接写出的值。图3 图2 图1 C C C B B B A B C D P A B C D P E F

几何探究题(一)

几何探究题（一）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，将△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC 1、BD 1，AC 1与BD 1交于点P . （1）如图1，若四边形ABCD 是正方形. ①求证：△AOC 1≌△BOD 1. ②请直接写出AC 1 与BD 1的位置关系. （2）如图2，若四边形ABCD 是菱形，AC =5，BD =7，设AC 1=k BD 1. 判断AC 1与BD 1的位置关系，说明理由，并求出k 的值. （3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC =5，BD =10，连接DD 1，设AC 1=kBD 1. 请直接写出k 的值和的值. 解：（1）①证明： ∵四边形ABCD 是正方形 ∴ＡＣ＝ＢＤ，OC ＝OA= 21ＡＣ，ＯＤ＝OB=2 1 ＢＤ ∴OC=OA=ＯＤ＝OB ， ∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到 ∴O C 1= OC ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1 ∴O C 1= O D 1 ∠AO C 1=∠BO D 1 ∴△A O C 1≌△BOD 1………………………………３分 ②ＡC 1⊥BD 1………………………………………４分（2）ＡC 1⊥BD 1…………………………………………５分理由如下：∵四边形ABCD 是菱形 ∴OC ＝OA=21ＡＣ，ＯＤ＝OB=2 1 ＢＤ，AC ⊥BD ∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到 ∴O C 1= OC ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1 ∴O C 1＝OA ，O D 1＝OB ，∠AO C 1=∠BO D 1 ∴ OB OD OA OC 1 1= ∴OB OA OD OC =11 212 1)(kDD AC + P A B C D D 1 O C 1 C D A B D 1 P C 1 O 图1 图2 图3 第25题图 C D A B D 1 P C 1 O P A B C D D 1 O C 1 图1 C D A B D 1 P C 1 O 图2 C D A B D 1 P C 1 O 图3 第25题图

初中几何热点问题探究

初中几何热点问题探究推荐教师：林桂一几何作图及操作探究问题这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、几何设计问题．这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知识，以达到动手动脑的目的．解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等实践活动过程，利用已有的感知与发现结论从而解决问题.关键是要学生学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题，适合现有的知识水平和实践能力． (一)几何作图题 1、尺规作图题（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是：画线段AB ，分别以点A 、B 为圆心，以大于 2 1 AB 长为半径画弧，两弧相交于点C ，连接AC ；再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，交AC 和延长线于点D ，连接BD ，则△ABD 就是直角三角形. ⑴请你说明其中的道理； ⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为300 （不写作法，保留作图痕迹）. 图2-1 2、格点作图例1 如图，在一个“10×10”的正方形DEFG 网格中有一个△ABC ． ⑴在网格中画出△ABC 向下平移三个单位得到的△A 1B 1C 1； ⑵在网格中画出△ABC 绕C 点逆时针方向旋转900 得到的△A 2B 2C ； ⑶若以EF 所在的直线为x 轴,ED 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,写出A 1,A 2两点的坐标.

题库-几何探究题

几何探究题类型一动点问题 1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，边长AB=6，对角线AC、BD交于点O，线段AD上有一动点P，过点P作PH⊥BC于点H，交直线CD于点Q，连接OQ，设线段PD=m． (1)求线段PH的长度； (2)设△DPQ的面积为S，求S与m之间的关系式； (3)在运动过程中是否存在点P，使△OPQ的面积与△CQH的面积相等，若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．第1题图解:(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，AB=AD=CD=6，∵∠BAD=120°， ∴∠ADC=60°， ∴△ACD是等边三角形，如解图，过点C作CG⊥AD于G，在Rt△CDG中，∠CDG=60°，CD=6， ∴DG=3，CG=33， ∵BC∥AD，PH⊥BC，CG⊥AD， ∴四边形CHPG是矩形，∴PH=CG=33，

第1题解图 (2)在Rt△PDQ中，∠PDQ=60°，DP=m ，∴PQ=3m， ∴S=S△PDQ=1 2DP·PQ=1 2 m×3m=3 2 m2，（0＜m≤6） (3)存在，理由： ∵△DPQ的面积与△CQH的面积相等，点Q在线段CD上，AD∥BC， ∴△CHQ∽△DPQ， ∴△DPQ的面积与△CQH的面积相等时，只有△CHQ≌△DPQ， ∴CQ=DQ=1 2 CD=3，在Rt△PQD中，∠PDQ=60°，DQ=3，∴DP=3 2 ，即：m=3 2 时，△DPQ的面积与△CQH的面积相等． 2.已知：D，E是Rt△ABC斜边AB上点，满足∠DCE=45°．（1）如图①，当AC=1，BC=3，且点D与A重合时，求线段BE的长；（2）如图②，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；（3）如图③，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围. 图①图②图③ 第2题图（1）解：如解图①，∵∠ACB=90°，BC3AC=1， ∴AB=2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F， 2

广东省深圳市中考数学专题专练几何探究专题

几何探究专题 1.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连接CM. (1)如图①，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；AM ＝AN. (2)①如图②，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立(不需说明理由)? ②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝1 2 ？请说明理由． 2.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm.对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s)(0

AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝1 4BC ，请求出 GE 的长． 4.(1)阅读理解：如图①，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD 的取值范围是________； (2)问题解决：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF.求证：BE ＋CF ＞EF ；

中考数学综合训练(几何探究题)

图3 G F B C A D L E 2011年中考数学综合训练（几何探究题） 1、两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点．（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______ 和位置关系为_____；（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明. 2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG 。图2 图1 G F H D H G F D A B B A C E C E A B D E C H F G 图3 A B D E C H F G 图1 图2 A B D E C H F G

(2)若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ，则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；. (3)如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； 3. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=?，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 4、（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；（3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=?，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．图 1 图2 图3 M F E D C B B F E D C A A B A C D E F M N O H F 图2图1H F E B C D A E D B C A

几何探究性问题

几何探究题 1、如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠= ；如图2，BOC ∠= ；如图3，BOC ∠= ．（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边； AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ． ①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想． 2、已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论： 2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位置时， 2222 PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为____________________________________．对图（3）的探究结论为_____________________________________． 2、请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠= ，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<< αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG PC 的值（用含α的式子表示）． 4、如图，等腰梯形ABCD 中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；（2）设CP=x ，问当x 为何值时△PDQ 的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PDQM 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在，请说明理由. D A B E F C P G 图1 D C G P A B F 图 2 （备用图）

中考复习几何探究题(含答案)

几何探究题 1题（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ． ①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠= ；如图2，BOC ∠= ；如图3，BOC ∠= ．（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ． ①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想． 2题.请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()() a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<<αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG PC 的值（用含α的式子表示）． 3题。如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在，请说明理由. 4题已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论： 2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位时， 2222PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2） D A B E F C P G 图1 D C G P A B F 图2 （第25题图）