最新高考数学(理科)模拟试卷(三)

2018年高考数学(理科)模拟试卷(三)

(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题满分60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)

D ．(0,2]∪[3，＋∞)

2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z ＝( )

A ．i

B ．2－i

C ．1－i

D ．0

3．[2017·福建质检]已知sin ????x ＋π3＝13，则cos x ＋cos ( π

3－x )的值为( ) A ．－

33 B.33 C ．－13 D.1

4．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )

A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B ．七月的平均温差比一月的平均温差大

C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

6．[2017·江西南昌统考]已知a ＝2－13 ，b ＝()2log 23

－12 ，c ＝14?

πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a >c >b

B ．b >a >c

C ．a >b >c

D ．c >b >a

7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )

A ．17

B ．16

C ．15

D ．13

8．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y 满足????

x ＋y －1≥0，x －2y －4≤0，

2x －y －2≥0，如果目标函数z ＝y ＋1

x －m

的取值

范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( )

A.????0，1

2 B.?

???－∞，1

2 C.?

???－∞，12 D ．(－∞，0]

9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、

CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )

A ．110

B ．116

C ．118

D ．120

10．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13

AC →

D.AD →＝43AB →－13

AC →

11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右

支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2

，且2OF 2→·F 2M →

＝a 2＋b 2，则

该双曲线的离心率为( )

3＋12 B.3

C. 3 D ．2 3 12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋

1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )

A.????5e ，2

B.????－52e ，－8

3e 2 C.????－12

，－8

3e 2 D.?

???－4e ，－52e

第Ⅱ卷(非选择题满分90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．

14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n

，n ∈N *，则b 2017＝________.

15．[2017·河北正定统考]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．

16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①?x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；

②?k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；

④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1

＝4cos C ，b ＝1. (1)若A ＝90°，求△ABC 的面积； (2)若△ABC 的面积为3

，求a ，c .

18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：

产假安排(单位：周)1415161718

有生育意愿家庭数48162026

(1)

愿的概率分别为多少？

(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．

①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；

②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．

19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．

(1)证明DF⊥AE；

(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

14？若存在，

说明点D的位置；若不存在，说明理由．

20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝54？

若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．

21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋1

2x 2，g (x )＝(x

＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋1

x 3(a ∈R )．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ?

???ρ，θ＋π

3，|BM |＝1. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．

23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

若?x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .

(1)求集合T ；

(2)若m >1，n >1且对于?t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．

参考答案(三)

第Ⅰ卷(选择题满分60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0,2]∪[3，＋∞) 答案 D

解析集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)．

2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2

－z ＝( )

A ．i

B ．2－i

C ．1－i

D ．0 答案 D

解析因为2z －z ＝2

1＋i －1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )

－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.

3．[2017·福建质检]已知sin ????x ＋π3＝13，则cos x ＋cos ( π

－x )的值为( ) A ．－33 B.33 C ．－13 D.1

答案 B

解析因为sin ????x ＋π3＝12sin x ＋32cos x ＝13，所以cos x ＋cos ????π3－x ＝cos x ＋12cos x ＋32

sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3????32cos x ＋1

2sin x ＝33，故选B. 4．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件答案 C

解析由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －

2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2

(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，选C.

A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B ．七月的平均温差比一月的平均温差大

C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个答案 D

解析由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D 错误．

6．[2017·江西南昌统考]已知a ＝2－13 ，b ＝()2log 23－12 ，c ＝14?

πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a >c >b

B ．b >a >c

C ．a >b >c

D ．c >b >a 答案 C

解析因为a ＝2－13 ＝????12 13 ＝????1416 ，b ＝()2log 23 －12 ＝3－12＝???

?13 12 ＝????12716 ，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝14??0

πsin xdx ＝－14cos x ???

＝－14(cos π－cos0)＝12＝????14 12 ，所以b >c ，所以a >b >c ，选C.

A ．17

B ．16

C ．15

D ．13 答案 A

解析当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n ＝17，故选A. 8．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y 满足????

x ＋y －1≥0，x －2y －4≤0，

2x －y －2≥0，如果目标函数z ＝y ＋1

x －m

的取值

范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( )

A.???

?0，12 B.?

???－∞，12 C.?

???－∞，12 D ．(－∞，0]

答案 C

解析由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z ＝y ＋1

x －m

的几何意义

为可行域内的点(x ，y )与A (m ，－1)连线的斜率，由?

????

x ＋y －1＝0，

x －2y －4＝0，

得?

????

x ＝2，y ＝－1，即B (2，－1)．由题意知m ＝2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0.由y ＝－1与2x －y －2＝0，得交点C ????1

2，－1，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围

满足z ∈[0,2)，则m <1

，故选C.

9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )

A ．110

B ．116

C ．118

D ．120 答案 D

解析如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为

P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为

×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120.故选D.

10．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43

AC →

C.AD →＝43AB →＋13AC →

D.AD →＝43AB →－13

AC →

答案 A

解析利用平面向量的线性运算法则求解.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →

)

＝－13AB →＋43

AC →

，故选A.

11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右

支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12

(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2，且2OF 2→·F 2M →

＝a 2＋b 2，则

该双曲线的离心率为( )

A.3＋12

B.32

C. 3 D ．2 3

答案 A

解析设双曲线的左焦点为F 1，依题意知，|PF 2|＝2c ，因为OM →＝12

(OP →＋OF 2→

)，所以点

M 为线段PF 2的中点．因为2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2

，所以OF 2→·F 2M →＝c 22，所以c ·c ·c o s ∠PF 2x ＝12

c 2，

所以c o s ∠PF 2x ＝1

，所以∠PF 2x ＝60°，所以∠PF 2F 1＝120°，从而|PF 1|＝23c ，根据双曲线

的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以23c －2c ＝2a ，所以e ＝c a ＝1

3－1＝3＋12，故选A.

12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋

1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使

得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )

A.????5e ，2

B.????－52e ，－83e 2

C.????－12，－83e 2

D.????－4e ，－52e 答案 B

解析由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋

1，设g(x )＝mx ，h(x )＝

－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋

1，由h ′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，

即x <－4

，由h ′(x )<0，

得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－4

时，函数h(x )取得极大值．在同一平面直角坐标

系中作出y ＝h(x )，y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0 时，要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，则

需满足????? h (－2)≥g (－2)，h (－3)

???

5e －

1≥－2m ，8e －2<－3m ，

即???

m ≥－52e

，

m <－8

3e 2

，

即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是[ －52e ，－8

2 )，故选B.

第Ⅱ卷(非选择题满分90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．

答案 2

解析令x ＝1，可得2×(－1)＝a 0，即a 0＝－2；令x ＝2，可得(22＋1)×0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，即a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝0，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.

14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n

1－a 2n

，n ∈N *，则b 2017＝________.

答案 20172018

解析 ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n

，∴b n ＋1

＝b n 1－(1－b n )2＝1

2－b n ，∴1b n ＋1－1－1b n －1＝－1，又b 1＝12，∴1

b 1－1＝－2，∴数列????

??1b n －1是以－2为首项，－1为公差

的等差数列，∴1b n －1＝－n －1，∴b n ＝n n ＋1

.故b 2017＝2017

2018.

答案 2

解析依题意得焦点F 的坐标为????

a 4，0，

设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4

－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4

a ＝22，解得a ＝ 2. 16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①?x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；

②?k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；

④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ③④

解析 f ′(x )＝1＋2cos2x ，则f ′(x )＝0有无数个解，再结合f (x )是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f (x )的大致图象为：

(1)令g (x )＝2x －f (x )＝x －sin2x ，则g ′(x )＝1－2cos2x ，令g ′(x )＝0，则x ＝π

＋k π(k ∈Z )，

则g ????π6＝π6－32<0，即存在x ＝π6

>0使得f (x )>2x ，故①错误； (2)由图象知不存在y ＝k 的直线和f (x )的图象有四个不同的交点，故②错误；

(3)f (a ＋x )＋f (a －x )＝2a ＋2sin2a cos2x ，令sin2a ＝0，则a ＝k π

(k ∈Z )，即(a ，a )，其中a

＝k π

(k ∈Z )均是函数的对称中心，故③正确； (4)f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 1＋a 2＋a 3＋sin2a 1＋sin2a 2＋sin2a 3＝3π，即3a 2＋sin(2a 2－2d )＋sin2a 2＋sin(2a 2＋2d )＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2＋2sin2a 2cos2d ＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2(1＋2cos2d )＝3π，

∴sin2a 2＝3π1＋2cos2d －3

1＋2cos2d a 2

，

则问题转化为f (x )＝sin2x 与g (x )＝3π1＋2cos2d －3

1＋2cos2d

x 的交点个数．

如果直线g (x )要与f (x )有除(π，0)之外的交点，则斜率的范围在???

?－4

3π，－2，而直线的斜率－3

1＋2cos2d

的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故不存在除(π，0)之外的交点，故

a 2＝π，④正确．

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1

＝4cos C ，b ＝1. (1)若A ＝90°，求△ABC 的面积；

(2)若△ABC 的面积为3

，求a ，c .

解 (1)a ＋1

a ＝4cos C ＝4×a 2＋

b 2－

c 22ab ＝2(a 2＋1－c 2)a

，

∵b ＝1，∴2c 2＝a 2＋1.(2分) 又∵A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1，

∴2c 2＝a 2＋1＝c 2＋2，∴c ＝2，a ＝3，(4分)

∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ＝12×1×2＝2

2.(6分)

(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，则sin C ＝3

a .

∵a ＋1a ＝4cos C ，sin C ＝3a ，

∴????14????a ＋1a 2＋???

a 2＝1，化简得(a 2－7)2＝0， ∴a ＝7，从而cos C ＝1

4????a ＋1a ＝277

， ∴c ＝a 2＋b 2－2bc cos C ＝

7＋1－2×7×1×27

＝2.(12分)

(1)愿的概率分别为多少？

(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．

①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；

②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．

解 (1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P 1＝4200＝1

；(2

分)

当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P 2＝16200＝2

.(4分)

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C 25＝10(种)，(5分)

其和不低于32周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18)，(16,17)，(16,18)，(17,18)，共6种，

由古典概型概率计算公式得P (A )＝610＝3

.(7分)

②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.

P (ξ＝29)＝110＝0.1，P (ξ＝30)＝110＝0.1，P (ξ＝31)＝210＝0.2，P (ξ＝32)＝2

＝0.2，P (ξ＝

33)＝210＝0.2，P (ξ＝34)＝110＝0.1，P (ξ＝35)＝1

10＝0.1，

因而ξ的分布列为

(10分)

所以E (ξ)＝29×0.1＋30×0.1＋31×0.2＋32×0.2＋33×0.2＋34×0.1＋35×0.1＝32.(12分)

19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．

(1)证明DF ⊥AE ；

(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．

解 (1)证明：因为AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，所以AE ⊥AB . 因为AA 1⊥AB ，AA 1∩AE ＝A ，所以AB ⊥平面A 1ACC 1.

因为AC ?平面A 1ACC 1，所以AB ⊥AC .以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则有A (0,0,0)，E ????0，1，12，F ????12，1

2，0，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)．(4分) 设D (x 1，y 1，z 1)，A 1D →＝λA 1B 1→

且λ∈[0,1]，即(x 1，y 1，z 1－1)＝λ(1,0,0)，则D (λ，0,1)，所以DF →＝????12－λ，1

2，－1. 因为AE →＝????0，1，1

2，所以DF →·AE →＝12－12

＝0，所以DF ⊥AE .(6分) (2)假设存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

由题意可知平面ABC 的一个法向量为AA 1→

＝(0,0,1)．(8分)

设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则???

n ·FE →

＝0，

n ·DF →

＝0，

因为FE →＝????－12，12，12，DF →＝???

?12－λ，1

2，－1，

所以??

－12x ＋12y ＋1

z ＝0，????12－λx ＋12

y －z ＝0，即?????

x ＝32(1－λ)

z ，y ＝1＋2λ

2(1－λ)z .

令z ＝2(1－λ)，则n ＝(3,1＋2λ，2(1－λ))是平面DEF 的一个法向量．(10分)

因为平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，所以|cos 〈AA 1→，n 〉|＝

|AA 1→

·n |

|AA 1→

||n |

＝1414

，即|2(1－λ)|9＋(1＋2λ)2＋4(1－λ)2＝1414

，解得λ＝12或λ＝7

4(舍去)，所以当D 为A 1B 1的中点时满

足要求．

故存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

，此时D 为A 1B 1

的中点．(12分)

20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝5

？

若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．

解 (1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)，则c ＝1，

∵|BD |＝3，∴2b 2

＝3，

又a 2－b 2＝1，∴a ＝2，b ＝3，

∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.(4分)

(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k (x －2)＋1，

由????

y ＝k (x －2)＋1，x 24＋y 23＝1，

得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，

所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)>0，所以k >－1

又x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －8

3＋4k 2

，(8分)

因为PM →·PN →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54

，

所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5

，

即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5

，

所以????

??16k 2－16k －83＋4k 2－2·8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54.

解得k ＝±12，因为k >－12，所以k ＝1

故存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝1

x .(12分)

21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋1

x 2，g (x )＝(x

＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋1

x 3(a ∈R )．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．

解 (1)函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋1

x 2，定义域为(－1，＋∞)，(2分)

则f ′(x )＝x 2

x ＋1

>0，所以f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．(4分)

(2)由(1)知，当x ≥0时，有f (x )≥f (0)＝0，

即ln (x ＋1)≥x －1

x 2.

g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2≥????x －12x 2＋2(a －1)x ＋1

x 2＝(2a －1)x .(6分) ①当2a －1≥0，即a ≥1

时，且x ≥0时，g ′(x )≥0，

所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，且g (0)＝0，

所以当x ≥0时，g (x )≥0，所以a ≥1

符合题意．(8分)

②当a <12时，令g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2＝φ(x )，φ′(x )＝1

x ＋1

＋2(a －1)＋x ＝

x 2＋(2a －1)x ＋2a －1

x ＋1

，(9分)

令x 2＋(2a －1)x ＋2a －1＝0，则其判别式 Δ＝(2a －1)(2a －5)>0，

两根x 1＝1－2a －(2a －1)(2a －5)

<0，

x 2＝1－2a ＋(2a －1)(2a －5)2

>0，

当x ∈(0，x 2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(0，x 2)上单调递减，且φ(0)＝0，即x ∈(0，x 2)时，g ′(x )

所以存在x 0∈(0，x 2)，使得g (x 0)

所以a <1

不符合题意．

综上所述，a 的取值范围为????12，＋∞.(12分)

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ????ρ，θ＋π

3，|BM |＝1.

(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．

解 (1)设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

所以x B ＝ρcos ????θ＋π3＝12x －32y ， y B ＝ρsin ????θ＋π3＝32x ＋12y ，故B ????12

x －32y ，32x ＋12y .

由|BM |2＝1，得????12x －32y ＋22＋????32

x ＋1

2y 2＝1，

整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.(5分)

(2)圆C ：???

x ＝－1＋cos α，

y ＝3＋sin α

(α为参数)，

则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10，

所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．(10分) 23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲若?x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .

(1)求集合T ；

(2)若m >1，n >1且对于?t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．解 (1)||x －1|－|x －2||≤|x －1－(x －2)|＝1，

所以|x －1|－|x －2|≤1，所以t 的取值范围为(－∞，1]，即T ＝{t |t ≤1}(5分)

(2)由(1)知，对于?t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，只需log 3m ·log 3n ≥t max ，所以log 3m ·log 3n ≥1，

又因为m >1，n >1，所以log 3m >0，log 3n >0，

又1≤log 3m ·log 3n ≤

????log 3m ＋log 3n 22＝(log 3mn )24(log 3m ＝log 3n 时取等号，此时m ＝n )，(8

分)

所以(log 3mn )2≥4，所以log 3mn ≥2，mn ≥9，

所以m ＋n ≥2mn ≥6，即m ＋n 的最小值为6(此时m ＝n ＝3)．(10分)

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高考数学模拟试卷(四)

高考模拟试卷（四）一、填空题 1. 已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝( ) A. B. C. D. 2. 复数在复平面上对应的点位于第( )象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知在等比数列中，，9，则（） A ． B ．5 C ． D ．3 4. 若对任意实数，不等式成立，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列,已知,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( ) A. 80 B. 120 C. 160 D. 200 6. 已知公差不为的正项等差数列中，为其前项和，若，，也成等差数列，，则等于( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 7. 一个算法的流程图如图所示.若输入的n 是100，则输出值S 是( ) A. 196 B. 198 C. 200 D. 202 8. 已知周期函数是定义在R 上的奇函数，且的最小正周期为3，的取值范围为( ) A. B. C. D. {}0,1{}0,2{}1,2{}2,4i i 4321+-{}n a 11=a =5a =3a 5±3±[] 1,1p ∈-()2 330px p x +-->x ()1,1-(),1-∞-()3,+∞() (),13,-∞-+∞}{n a 122a a =0{}n a n S n 1lg a 2lg a 4lg a 510a =5S )(x f )(x f ,2)1(

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷150 3

高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2.了解反证法的思考过程和特点．【重点知识梳理】 1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示 P ?Q1→Q1?Q2→…→Qn ?Q Q ?P1→P1?P2 →…→ 得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以…… 或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．【高频考点突破】考点一综合法的应用例1 已知数列{an}满足a1＝12，且an ＋1＝an 3an ＋1(n ∈N*)． (1)证明数列{1 an }是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn ＝anan ＋1(n ∈N*)，数列{bn}的前n 项和记为Tn ，证明：Tn<1 6. 【特别提醒】(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理

(完整版)2018技能高考模拟题(数学部分)

2018技能高考模拟题（数学部分） ―、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 下列四个命题：（1）空集没有子集.（2）空集是任何集合的真子集（3）}0{=? （4）任何集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有（）个 A.0 B. 1 C.2 D.3 2.下列函数：（l ）2x y =，（2）3x y =，（3）x x y -+=11lg ，（4）2 1131--=x y 其中奇函数有（）个 A.3 B.2 C.1 D.0 3.下列命题：（l ）02sin 2cos >-,（2）若54sin =a ，则53cos =a . （3）在三角形ABC 中，若A A cos 3sin 2=，则角A 为30度角.其中正确的有（）个 A.3 B. 2 C.1 D.0 4.下列说法：（1）两个相等的向量起点相同，则终点相同.（2）共线的单位向量相等.（3）不相等的向量一定不平行.（4）与零向量相等的向量一定是零向量. （5）共线向量一定在一条直线上.其中正确的有（）个 A.2 B.3 C.4 D.5 5. 有点（3，4），（3-，4-），（1,1+3）（1-,31-），其中在直线013=+-y x 上的有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列说法中：⑴数列{112-n }中负项有6项.（2)73为数列{12-n }中的项. （3）数列2.4.6.8可表示为{2. 4. 6.8}.其中正确的有（）个 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

1.若数列{n a }中，11++= n n n a a a 对任意正整数都成立，且216=a ，则5a = 。 n a = 。 2. 若a =（3,4），b =（2,1），且（a +xb ）)(b a -⊥ = 。 3. 满足2 1sin ≥ a 的角a 的集合为。 4. 4.函数|3|log 2 1-=x y 的单调减区间为。三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 1.（1）角a 的终边上一点P 的坐标为（t t 3,4-）（t 不为0），求a a cos sin 2+. （2）设2e ，2e 是两不共线的向量，若涵212ke +=，113e e +=，212e e -= 若三点A 、B 、D 共线，求k 的值. 2.（1）求函数)6 2sin(3π-=x y 的单增区间. （2）说出函数)3tan(π-=x y 的周期和单调区间. 3.（1）过点P （1-，1-）的直线与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，若P 点为线段AB 的中点，求该直线的方程和倾斜角. （2）已知数列{n a }为等差数列，n S 为其前n 项和，且77=S ，1515=S . ①求n S .②若为数列的{n S n }前n 项和，求n T .

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<