北京市房山区实验中学高一数学《32 均值不等式的运用》学案
新教材高中数学第2章均值不等式及其应用第1课时均值不等式学案含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学：2.2.4 均值不等式及其应用第1课时 均值不等式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养． 2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养．如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？1．算术平均值与几何平均值 对于正数a ，b ，常把数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．2．均值不等式 (1)当a ＞0，b ＞0时，有a ＋b2≥ab a ＝b 时，等号成立．思考1：均值不等式中的a ，b 只能是具体的数吗？ [提示] a ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 思考2：均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？ [提示] 不能．如a ＝－3，b ＝－4，均值不等式不成立． (2)均值不等式的常见变形①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( )(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[答案] (1)× (2)× (3)√[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.2．已知a ，b ∈(0，1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b D [∵a ，b ∈(0，1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (a ≠b )，∴a ＋b 最大．]3．(教材P77习题2－2A ⑧改编)已知x ＞0，则y ＝x ＋3x＋2的最小值是________．23＋2 [∵x ＞0，3x ＞0，∴y ≥23＋2，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时等号成立．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对均值不等式的理解【例1】 给出下面三个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x)]≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．均值不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： (1)定理成立的条件是a ，b 都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.② [①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即当x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用均值不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab≥2 C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)p ＞q [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac ). 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .∴p ＞q .]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ⎝⎛由a ＋b ＞（a ＋b ）24⎭⎪⎫也就是a ＋b4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∵a ，b ，c 互为相等，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1>8.[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋， 且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∵a ，b ，c 互不相等，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＞8. ,1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2.先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．知识：应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .方法：应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构．1．对于任意a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋b2≥abB ．a ＋1a≥2C ．b a ＋a b≥2D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b≥2D [A 选项，当a ＜0，且b ＜0时不成立；B 选项，当a ＜0时不成立；C 选项，当a 与b 异号时不成立．故选D.]2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<a b<1 C ．ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．]3．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去).] 4．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2abD ．a 2＋b 2B [∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12.∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。
人教B版高中数学必修五第3章32均值不等式教案.docx
课题均值不等式课时一课时课型新授教学重点1、均值定理的推导2、均值定理的应用依据：2017年高考大纲分析：均值定理得应用教学难点均值定理在实际问题川的应用依据：学生刚接触到均值定理，实际问题屮均值定理及•其变形应用比较抽象自主学习目标一•知识冃标：1、能熟•记均值定理的内容并会推导2・能应用均值。
定理求最值二、能力目标：应用均值定理求最值时，通过构造和一定积一定让学生学会自主探索。
理由：均值-定理的推导及其应用是本节课的重点。
教具多媒体课件、教材，教辅教学教学内容教师行为学生行为设计意图时间环节1.课前3分钟1、教辅第67页《预习自测》课前导学1-52、目标解读检查，评价总结小考结果。
1.小考：《「预习测评》课前导读及1-52.提出自主学习困惑明确本节课学习目标，准备学习。
3分钟2.承接结果1、教材第71页练习A组第1,2,3题和练习B3O2、教辅第67页：课前导学。
3、学生提出的困惑.1.巡视检查学纶预习习题完成情况，进行及时评价。
2.补充学生出现的漏洞。
3.解决「学生的问题，并达成共识。
1、学生自己展示预习习题完成情况。
2、其余”学生互相补充并学牛对所展示习题进行评价。
3、质疑、解答。
验收学生自主学习的结果，并解决学生自主学习中遇到的困惑。
13分钟3.做、议讲、评均值定理：均值定理:如果a,b是正实数而5啤2当且仅当a二b吋“二”成立1、展示课件2、让学生熟记均值定理的内容并抽查记忆情况。
1、独立完成课熟记定理的内容便于应用3分钟思考1:均值定理成立的条件是什么？思考2：均值定理“当且仅当时取等号的含义是什么” ？O思考3：完成教材7, & 9?让学牛.注意应用均值定理求最值时必需满足三个条件。
1、学纶先独立完成课后习题，然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的答案。
3、•其他组给予评价（主要是找错，纠错）在具体问题中，探索量与量Z 间的关系，挖掘内在规律、发现数学的本质。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式(二)学案新人教B版必修5
A． 6.5 m B ． 6.8 m C ．7 m D ． 7.2 m
答案 C
1 解析 设两直角边分别为 a， b， 直角三角形的框架的周长为 l ， 则 2ab＝ 2， ∴ab＝ 4， l ＝a
＋ b＋ a2＋ b2≥２ ab＋ 2ab＝ 4＋ 2 2≈6.828(m) ． 因为要求够用且浪费最少 ， 故选 C.
2 p.
[ 预习导引 ] 1．用均值不等式求最值的结论 (1) 设 x， y 为正实数，若 x＋ y＝ s( 和 s 为定值 ) ，则当 x＝ y 时，积 xy 有最 大 值，且这个
s2 值为 4 .
(2) 设 x， y 为正实数，若 xy＝ p( 积 p 为定值 ) ，则当 x＝ y 时，和 x＋ y 有最 小 值，且这个
x2＝ 4， x＝2 时取等号．
x
x
4 ∴ 函数 y＝ x＋x( x>0) 在 x＝ 2 时取得最小值 4.
3
2x ＋
(2) ∵0< x<2， ∴３－ 2x>0， ∴ y＝ 4x(3 － 2x) ＝ 2[2 x(3 － 2x)] ≤2[
3－ 2x 2
]
2＝
9 2.
3 当且仅当 2x＝3－ 2x，即 x＝ 时，等号成立 ．
3 万元，每生产 1 万件化妆品
需再投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的
150%与平均每件
促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1) 将 2016 年的利润 y( 万元 ) 表示为促销费 t ( 万元 ) 的函数．
4/7
(2) 该企业 2016 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
设平均每天所支付的总费用为
【必备】最新2020版高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5
3.2 均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)[基础·初探]教材整理1 均值不等式阅读教材P 69～P 71，完成下列问题. 1.重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”). 2.均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 3.算术平均数与几何平均数(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ；(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立.( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) (4)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(5)若ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为2.( )【解析】 (1)×.任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立.(2)×.只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋4a≥2a ·4a＝4成立. (3)√.因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.(4)×.因为不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；而a ＋b2≥ab 成立的条件是a ，b 均为非负实数.(5)√.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 教材整理2 均值不等式的应用阅读教材P 70例1～P 71例3，完成下列问题. 用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.( ) (2)若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4.( ) (3)当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.( )(4)如果log 3m ＋log 3n ＝4，则m ＋n 的最小值为9.( ) (5)若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为116.( )【解析】 (1)√.由均值不等式求最值条件可知. (2)√.因为ab ≤a ＋b 2＝42＝2，所以ab ≤4. (3)×.因为当x >1时，x －1>0，则f (x )＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1x －1＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，函数f (x )的取到最小值3.(4)×.因为由log 3m ＋log 3n ＝4，得mn ＝81且m >0，n >0，而m ＋n2≥mn ＝9，所以m ＋n ≥18，当且仅当m ＝n ＝9时， m ＋n 取到最小值18.(5)√.因为x ，y ∈R ＋，而4xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以x ·y ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√[小组合作型]小关系是______.(2)给出下列命题： ①若x ∈R ，则x ＋1x≥2；②若a ＞0，b ＞0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ； ③若a ＜0，b ＜0，则ab ＋1ab≥2；④不等式y x ＋x y≥2成立的条件是x ＞0且y ＞0.其中正确命题的序号是________. 【精彩点拨】 (1)由于p 是平方和的形式，而q 是a ，b ，c 两两乘积的和，联想均值不等式求解.(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件. 【自主解答】 (1)∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac ). 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，亦即p >q .(2)只有当x >0时，才能由均值不等式得到x ＋1x≥2x ·1x＝2，故①错误；当a >0，b >0时，lg a ∈R ，lg b ∈R ，不一定有lg a >0，lg b >0，故lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b 不一定成立，故②错误；当a <0，b <0时，ab >0，由均值不等式可得ab ＋1ab≥2ab ·1ab＝2，故③正确；由均值不等式可知，当y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2y x ·xy＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故④错误.【答案】 (1)p >q (2)③1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[再练一题]1.设a >0，b >0，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小，并说明理由. 【导学号：18082044】【解】 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b≥2ab，即ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时取等号)， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24 ≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)，而ab ≤a ＋b 2，故a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时等号成立).求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .【精彩点拨】【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .1.所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.[再练一题]2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.【证明】 法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋a b.故⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝ 5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab≥5＋4＝9.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号).法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1， 所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).其他各面用钢筋网围成.现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？图321【导学号：18082045】【精彩点拨】 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值.【自主解答】 设每间虎笼长x m ，宽y m ， 则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18， 2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5， y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大. 法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y ).∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大.1.在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.2.对于函数y ＝x ＋kx(k >0)，可以证明x ∈(0，k ]及[－k ，0)上均为减函数，在[k ，＋∞)及(－∞，－k ]上都是增函数.求此函数的最值时，若所给的范围含±k ，可用均值不等式，不包含±k 就用函数的单调性.[再练一题]3.某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解】 (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元，则y ＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n n －2×4＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102， ∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为y n＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋49n－20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12，当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式取等号.∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元.[探究共研型]探究1 由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？【提示】 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误.要利用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用.探究2 小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的： “因为y ＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x 2＝1时“＝”号成立，所以y ＝x ＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？【提示】 不正确.因为利用均值不等式求最值，必须满足x 与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负.所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正确解法应为：当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取“＝”，y ＝x ＋1x的最小值是2；当x <0时，y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝－1时，取“＝”，y ＝x ＋1x的最大值是－2.探究3 已知x ≥3，求y ＝x 2＋4x 的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y ＝x 2＋4x ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴当x ≥3时，y ＝x 2＋4x的最值为4.”【提示】 不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可.本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立.本问题可采用y ＝x ＋4x的单调性求解.(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值.【精彩点拨】 变形所求代数式的结构形式，使用符合均值不等式的结构特征. (1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3. (2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x ). (3)2x x 2＋1＝2x ＋1x. (4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y .【自主解答】 (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. (3)f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x >0，∴x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y(x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号.故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.1.本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形.2.应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.[再练一题]4.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7【解析】 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0，∴要使2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立.∴m ≤9.故应选B.【答案】 B1.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A.ab ≤12B.ab ≥12C.a 2＋b 2≥2D.a 2＋b 2≤3【解析】 由a ＋b ＝2，得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，排除选项A ，B.由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得a 2＋b 2≥2.【答案】 C2.已知x ＞1，y ＞1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A.4 B.2 C.1 D.14【解析】 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.【答案】 A3.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4 D.－4【解析】 ∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2x －1x －1＋6＝8，当且仅当x ＝2时，取“＝”，∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3. 【答案】 B4.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9.【答案】 [9，＋∞)5.(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x －2x 的最大值.【解】 (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x ＜32时，有3－2x ＞0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号. 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0， ∴y ＝x －2x ＝2·x －x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x－2x的最大值为 2.。
版高中数学第三章不等式32均值不等式二学案新人教B版必修5
3.2 均值不等式（二）学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明：21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立．梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有21a ＋1b________ab ________a ＋b 2________a 2＋b 22；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二 用均值不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？梳理 均值不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．类型一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．类型二 均值不等式在实际问题中的应用命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？反思与感悟利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－22．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学 知识点一思考 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b≥21ab >0，∴11a ＋1b≤ab2， 即21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)， 当且仅当1a ＝1b，即a ＝b 时，等号成立．梳理 ≤ ≤ ≤ a ＝b 知识点二思考 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x＝1时有公共点．使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错． 梳理 (1)正数 (2)定值 定值 题型探究 类型一例1 解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2 x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9xy＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，不等式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －y －＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时不等式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 跟踪训练1 解 (1)∵x >0， ∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋x －＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2x －16x －8＋10＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 类型二 命题角度1例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m. 由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2. 跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x) ＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元． 命题角度2例3 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元， 则y ＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2. 则(9x 1＋900x 1＋10 809)－(9x 2＋900x 2＋10 809)＝9(x 1－x 2)＋900(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少． 跟踪训练3 8 当堂训练1．C 2.D 3.C 4.2－2 5。
高中数学《3.2均值不等式》导学案(一)新人教B版必修5
3.2 均值不等式（一）明目标、知重点 1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 时，等号成立． 2．均值定理 如果a ，b ∈R ＋，当且仅当 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值 它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b≤－2； (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．[情境导学]在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a ，b 的等差中项和等比中项分别为a ＋b 2、ab ，那么这两个中项有什么大小关系哪？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 重要不等式a 2＋b 2≥2ab 思考 如何证明不等式a 2＋b 2≥2ab?探究点二 基本不等式 ab ≤a ＋b2思考1 如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b 会得到怎样的不等式？思考2 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)?思考3 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？思考4 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？思考5 不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？例1 已知ab >0，求证：b a ＋a b≥2，并推导出式中等号成立的条件．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .探究点三 均值不等式ab ≤a ＋b2的几何解释思考 如图，以长为a ＋b 的线段为直径作圆O ，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′.能否借助该几何图形解释均值不等式的几何意义？例2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： 1a ＋1b ＋1c≥9.跟踪训练2 已知a 、b 、c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc .探究点四 利用均值不等式求最值例3 已知函数y ＝x ＋16x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．跟踪训练3 已知函数y ＝x ＋1x，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．52．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a >a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b 2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b 2>ab3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．84．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2ab D.125．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________．(填序号)3.2 均值不等式（一）【强化训练】 一、基础过关1．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．23＋2D ．23－22．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥23．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy≥1 4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.145．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为_______________________．6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥49．设0<a <1<b ，则一定有( )A ．log a b ＋log b a ≥2B ．lo g a b ＋log b a ≥－2C ．log a b ＋log b a ≤－2D ．log a b ＋log b a >210．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y≥2 2.12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.。
高中数学第3章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5(2021年整理)
2018版高中数学第3章不等式3.2 均值不等式学案新人教B版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第3章不等式3.2 均值不等式学案新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2 均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2。
能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.（重点、难点）3。
熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题。
(重点）［基础·初探]教材整理1 均值不等式阅读教材P69～P71,完成下列问题。
1.重要不等式如果a,b∈R,那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”).2.均值不等式ab≤错误!（1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0；(2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号。
3。
算术平均数与几何平均数（1）设a〉0,b>0，则a,b的算术平均数为错误!,几何平均数为错误!；（2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)对任意a，b∈R,a2＋b2≥2ab，a＋b≥2错误!均成立.（）(2)若a≠0,则a＋错误!≥2错误!＝4。
( )(3)若a>0，b>0,则ab≤错误!错误!。
（)(4)两个不等式a2＋b2≥2ab与错误!≥错误!成立的条件是相同的。
（)(5）若ab＝1,a〉0，b〉0，则a＋b的最小值为2.（）【解析】(1)×。
任意a,b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a,b都为正数时，不等式a＋b≥2错误!成立.(2)×.只有当a〉0时，根据均值不等式，才有不等式a＋错误!≥2错误!＝4成立.2018版高中数学第3章不等式 3.2 均值不等式学案新人教B版必修5 （3）√。
高中数学 3.2均值不等式教案 新人教B版必修5
3.2 均值不等式 教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理 利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论 1：a>b ⇔b<a2：a>b,b>c ⇒a>c(或c<b,b<a ⇒c<a)(传递性)3：a>b ⇒a+c>b+c(或a<b ⇒a+c<b+c)(1)：a+b>c ⇒a>c-b(移项法则)(2)：a>b,c>d ⇒a+c>b+d4、若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.(1)、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd(2)、若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)(3)、若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)2、定理变式： 如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，等号成立）3、均值定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是等价3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立应用例题：例1、已知a 、b 、c ∈R ，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。
(人教B版必修5)3.2均值不等式(2)学案(含答案)
§3.2 均值不等式(二)自主学习知识梳理1．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当________时，积xy 有最________值为________． (2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当________时，和x ＋y 有最________值为________． 2．利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为______________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________．(3)等号成立的条件是否满足．利用均值不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．自主探究请探究函数y ＝x ＋ax(a >0)在x ∈(0，＋∞)上的单调性．并利用该类函数的单调性求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值．对点讲练知识点一 利用均值不等式求函数的最值例1 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1总结 本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件．变式训练1 已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．知识点二 利用均值不等式求代数式的最值例2 已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．总结 利用均值不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出均值不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件．变式训练2 已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．知识点三 均值不等式的实际应用例3 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？总结 涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用均值不等式求其最值． 变式训练3 甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.课时作业一、选择题1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.924．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∉M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∈M 二、填空题5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．7．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值．10．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?§3.2 均值不等式(二)知识梳理1．(1)x ＝y 大 s 24(2)x ＝y 小 2p2．(1)正数 (2)定值 定值 自主探究证明 当x ∈(0，＋∞)时，设x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.∴当x 1、x 2∈(0，a )时，y 1－y 2>0，即y 1>y 2； 当x 1、x 2∈(a ，＋∞)时，y 1－y 2<0，即y 1<y 2.∴y 在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．若求y ＝sin x ＋4sin x，x ∈(0，π)的最小值． 可令t ＝sin x ∈(0，1]，则y ＝t ＋4t在t ∈(0,1]上是减函数．∴y ≥5，当t ＝1，即sin x ＝1，x ＝π2时取“＝”．对点讲练例1 D [f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎡⎦⎤(x －2)＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．]变式训练1 解 因为x <54，所以5－4x >0，所以f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x ＋3＝－2＋3＝1当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，f (x )max ＝1.例2 解 方法一 ∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . ∵x >0，y >0，∴y x ＋9x y ≥2y x ·9xy ＝6.当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12. ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9，∵x >0，y >0，∴y >9.x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10.∵y >9，∴y －9>0，∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号．又1x ＋9y＝1，则x ＝4， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.变式训练2 解 方法一 ∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b )24，设a ＋b ＝t ，t >0，则t 2≥4t ＋12.解得：t ≥6 (t ≤－2舍去)，∴(a ＋b )min ＝6.方法二 ∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1>0，∴a >1.∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋4a －1＋1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2(a －1)·4a －1＋2＝6.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号．例3 解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 方法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎡⎦⎤(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二 由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×216y ·y ＝48. 当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．变式训练3 解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1.∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立． 由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．课时作业1．B2．B [∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.]3．C [⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．]4．A [∵(1＋k 2)x ≤k 4＋4，∴x ≤k 4＋41＋k 2.∵k 4＋41＋k 2＝(1＋k 2)2－2(1＋k 2)＋51＋k 2＝(1＋k 2)＋51＋k 2－2≥25－2.∴x ≤25－2，M ＝{x |x ≤25－2}， ∴2∈M,0∈M .] 5．1 760解析 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 6．8解析 ∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0. 1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n＋2 ≥4＋2·n m ·4mn ＝8.当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n 的最小值为8. 7.14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.8．20解析 设一年的总运费与总存储费用之和为y 万元，则y ＝400x×4＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫x ＋400x ≥160万元，当且仅当x ＝400x，即x ＝20时取到最小．9．解 (1)2x ＋y ＝3(2x ＋y )3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4xy 时取“＝”，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，求出x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0， 则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9.10．解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由均值不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．。
高中数学32均值不等式教案新人教B版必修
3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路 1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路 2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究 提出问题1均值定理的内容是什么？怎样进行证明？2你能证明a 2＋b 2≥2ab吗？3你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？4均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b2叫做数a 、b的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD ＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示2为：a＋b≥ab.2显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a 、b∈R ＋，则ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a ＋b≥2ab 或2ab ≤a＋b 等．讨论结果： (1)(2)略．(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长． (4)若a 、b∈R ＋，则ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立； 若a 、b∈R ＋，则a ＋b≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立； 若a 、b∈R ，则a 2＋b 2≥2ab，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．应用示例例1(教材本节例1)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的b a 和a b 相当于均值不等式中的a 、b.因此必须有b a ，a b∈R ＋.点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.例2已知(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，求证：x －y a －b ＋a －b x －y≥2.活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x －y a －b 与a －bx －y 互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x －y a －b 与a －bx －y为正数开始证题．证明：∵(a＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)， ∴ax＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx. ∴ax－ay ＋by －bx ＞0. ∴(ax－bx)－(ay －by)＞0. ∴(a－b)(x －y)＞0， 即a －b 与x －y 同号． ∴x －y a －b 与a －bx －y 均为正数． ∴x －y a －b ＋a －bx －y ≥2x －y a －b ·a －b x －y ＝2(当且仅当x －y a －b ＝a －bx －y时取“＝”)． ∴x －y a －b ＋a －bx －y≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x －ya －b 与a －b x －y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法． 例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg a ＋b2，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．答案：B解析：∵a＞b ＞1， ∴lga＞lgb ＞0.∴12(lga ＋lgb)＞12·2lga·lgb，即Q ＞P. 又∵a ＋b 2＞ab ，∴lg a ＋b 2＞lg ab ＝12(lga ＋lgb)．∴R＞Q.故P ＜Q ＜R.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式． 例4(教材本节例2)活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．知能训练1．“a＝18”是“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 答案：1．A 解析：一方面，当a ＝18时，对任意的正数x ，有2x ＋a x ＝2x ＋18x ≥1；另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋a x ≥1，只要2x ＋a x ≥22a ≥1，即得a≥18.2．[9，＋∞) 解法一：令ab ＝t(t ＞0)， 由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t＋3， 解得t≥3，即ab ≥3，故ab≥9.解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a －1)＝a ＋3， ∴b＝a ＋3a －1(a ＞1)．∴ab＝a·a ＋3a －1＝[(a －1)＋1]a ＋3a －1＝a ＋3＋a ＋3a －1＝a －1＋4＋a －1＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2a －1·4a －1＋5＝9.当且仅当a －1＝4a －1时取等号，即a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a ＋b 与ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．课堂小结1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a 、b 的算术平均数(a ＋b 2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a ＋b 2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．作业习题3—2A 组，4,5,6.习题3—2B 组，1,2.设计感想1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y)为定值；③x 与y 必须能够相等．2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a ，b∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是均值不等式：如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．在这个不等式中，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的，前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路2.(直接导入)通过上节课a 2＋b 2≥2ab(a、b∈R )与a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究 提出问题1回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？2均值不等式都有哪些方面的应用？3在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b 2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等号成立的充要条件． 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用． 讨论结果： (1)(2)略．(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．应用示例例1(教材本节例3)活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能. 变式训练函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0且a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋2n的最小值为________．答案：8解析：∵y＝log a (x ＋3)－1恒过点(－2，－1)，∴A(－2，－1)． 又∵A 在直线上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. 又∵mn＞0，∴m＞0，n ＞0. 而1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋2＋4mn ≥4＋2×2＝8，当n ＝12，m ＝14时取“＝”．∴1m ＋2n的最小值为8.例2(1)已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2的最小值．活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x －2)·14x －5不是常数，所以应对4x －2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x －a)＋(b －x)为定值，则用变形不等式m 2＋n 22≥(m ＋n 2)2更简捷． 解：(1)∵x＜54，∴5－4x ＞0.∴y＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．∴当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵y＝(x －a)2＋(x －b)2＝(x －a)2＋(b －x)2≥2[x －a ＋b －x 2]2＝a －b 22，当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2时，y min ＝a －b22.点评：若x 、y∈R ＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p.若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.变式训练已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是__________． 答案：3解析：方法一：以CA 、CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB 方程为x 4＋y3＝1，设P(a ，b)，则a 4＋b3＝1(a ＞0，b ＞0)．∴ab＝12·a 4·b3≤12(a 4＋b 32)2＝3，当且仅当“a＝4b3”时等号成立．方法二：设P 到BC 的距离为a ，到AC 的距离为b. 由相似三角形易得a 4＝PB 5，b 3＝PA5，∴a 4＋b 3＝PB ＋PA 5＝1.以下解法同一．例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1的值域．活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5.这样就可以应用均值不等式了．解：∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2x＋15x＋1－5＝25－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.变式训练已知x1·x2·x3·…·x2 006＝1，且x1、x2、x3、…、x2 006都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)的最小值是__________．答案：22 006解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2x1，同理，1＋x2≥2x2，……1＋x2 006≥2x2 006，各式相乘，得(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)≥22 006·x1·x2·x3·…·x2 006＝22 006.取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1，∴所求最小值为22 006.例4设0＜x＜2，求函数f(x)＝3x8－3x的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x 2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0. ∴f(x)＝3x8－3x ≤3x ＋8－3x22＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时取“＝”．∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝43.又f(x)＝－9x 2＋24x ＝－3x －42＋16，∴当0＜x ＜43时，f(x)递增；当x ＞43时，f(x)递减．∴当0＜x ＜43时，原函数f(x)没有最大值．当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15.点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．知能训练1．函数f(x)＝xx ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D ．1 2．求函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的最小值，以及此时x 的值．3．已知x 、y∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 答案：1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝xx ＋1＝1x ＋1x≤12，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．2．解：∵x＞0，∴x＋1x≥2·x ·1x＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．∴当x ＝1时，x ＋1x 的值最小，最小值是2.3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x －8)＝2x. ∵x＞0，y ＞0，∴x－8＞0.∴x＋y ＝2x x －8＋x ＝x －8＋16x －8＋10≥2x －8·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，x ＋y 取最小值18.课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．作业习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.设计感想1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即A ＝a 1＋a 2＋…＋ a n n ，G ＝n a 1a 2…a n ，即A≥G，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，A ＝G.特别地，当n ＝2时，a ＋b 2≥ab ；当n ＝3时，a ＋b ＋c 3≥3abc.(2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，…，a n －1，a 1＋a n －A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝A ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a 1＋a n －An ＝A ，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G 1，则G 1＝nAa 2a 3…a n －1a 1＋a n －A ，∵A(a 1＋a n －A)－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A)，由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A)＞0，则A(a 1＋a n －A)＞a 1a n .∴Aa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A)＞a 1a 2…a n －1·a n ，即G 1＞G.二、备用习题1．已知a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab≤12B ．ab≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤32．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( )A ．P ＝QB ．P ＜QC ．P≤Q D．P≥Q 3．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f x 的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103]4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．5．直线l 过点M(2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB 面积最小时l 的方程．6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 参考答案：1．C 解析：对于选项C ：a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 22≥a 2＋b 2＋2ab 2＝a ＋b 22＝2.故C 正确．2．C 解析：∵a、b 、c 、d 、x 、y 是正实数， ∴Q＝ax ＋cy ·b x ＋dy＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P.3．B 解析：令t ＝f(x)，则t∈[12，3]．∴F(x)＝G(t)＝t ＋1t .该函数在t ＝1处取得最小值2，在t ＝3处取得最大值103.故选B.4．20 解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·400x ＋4x ＝1 600x ＋4x≥21 600x·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．5．解：设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx ＋1－2k(k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝1－2k ； 令y ＝0，得x ＝2k －1k ＝2－1k.∴S △AOB ＝12(1－2k)(2－1k )＝2＋1－2k ＋(－2k)．∵k＜0，∴－2k ＞0.∴S △AOB ≥2＋2＝4，当且仅当－12k ＝－2k ，即k ＝－12时取等号．此时l 的方程为y ＝－12x ＋2.6．解： (1)依题意，得y ＝9203＋v ＋1 600v≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时)．(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理，得v 2－89v ＋1 600＜0， 即(v －25)(v －64)＜0， 解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．。
高中数学_3.2 均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
人教版高中数学必修五3.2《均值不等式》教学设计本节课主要采用启发引导式的教学策略，通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题，总结问题，论证问题，延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力，在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力。
1.创设情境，引入新课通过问题情境的设计，激发学生学习的积极性，并为给出均值不等式做铺垫，并培养学生自主探究能力。
2.合作探究，形成结论，推理论证，形成定理通过引导，让学生主动去证明猜想的结果，进一步巩固比较两数大小的方法，并形成猜想证明的严密思维，让学生明白猜想，归纳，证明是我们发现规律，认知世界的重要思维方法。
通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，使抽象问题更加直观。
通过提问，进一步加深对均值不等式的理解，明确不等式成立的条件。
3.典例剖析，应用定理使学生能力灵活应用公式，让学生注意定理的使用条件，培养严谨的数学思维。
掌握均值定理的正用及拓展应用，通过变式使学生对试题进行深层次的探索，激发兴趣，培养能力。
4.自主整理，归纳总结通过总结让学生理解均值不等式的引出及证明过程，均值不等式的使用条件，会识别并应用均值不等式，培养一题多解，一题多变的能力。
人教版高中数学必修五3.2《均值不等式》学情分析1.从学生知识层面看：学生已有的知识技能：三角函数知识，作差法证明不等式，不等式性质以及平面几何知识。
但从图形角度来认知不等式，以及对均值不等式使用条件的理解还有些许困难。
2.从学生素质层面看：所任班级的学生基础稍差，但也已经具有一定的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索，发现问题，解决问题，增强数学应用意识。
提高分析问题，解决问题的能力，他们更需要充满活力与创造发现的课堂。
人教版高中数学必修五3.2《均值不等式》效果分析依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，本节课预计达到以下几方面的效果1.知识与技能通过从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题，五个环节使学生深刻理解均值不等式。
北京市房山区实验中学高三数学不等式复习《第二节 均值不等式》学案
第二节：均值不等式NO.1：基础回顾：1.均值定理：(1)________________________________________________________________(2)语言表述：两个____________的算术平均值________________它的几何平均值2.常用不等式：（1）_____________________________(2)______________________________(3)________________________________________3.利用均值定理求函数的最大值和最小值。
（1）如果错误！未找到引用源。
，那么当错误！未找到引用源。
时，和错误！未找到引用源。
有最值为（2）如果错误！未找到引用源。
=S，那么当错误！未找到引用源。
时，积错误！未找到引用源。
有最值为______NO.2:考点剖析：利用均值不等式求最值：（1）紧扣“一正二定三相等”的条件（2）对于分式型的函数最值，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式可以拆分成一个整式和一个分式（分子为常数）的形式（分离常数法）例1、已知错误！未找到引用源。
，求函数错误！未找到引用源。
的最大值.变式：已知错误！未找到引用源。
，则函数错误！未找到引用源。
的最大值为例2：设错误！未找到引用源。
，求函数错误！未找到引用源。
的最大值并求相应的错误！未找到引用源。
的值.变式：设错误！未找到引用源。
，求函数错误！未找到引用源。
的最大值并求相应的错误！未找到引用源。
的值.例3：已知错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
的最小值.变式：已知错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
最小值为练习：1、若实数a、b满足错误！未找到引用源。
（）A．8 B．4 C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
2、已知下列不等式:错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
其中正确的个数为( )(A)0 (B)1 (C) 2 (D) 33、下列函数中，最小值为2错误！未找到引用源。
北京市房山区实验中学高三数学不等式复习《第一节 不等关系与不等式》学案
第一节不等关系与不等式NO.1基础回顾：1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
2、两个实数的大小：错误！未找到引用源。
；错误！未找到引用源。
；错误！未找到引用源。
3、不等式的基本性质（1）错误！未找到引用源。
（对称性）（2）错误！未找到引用源。
（传递性）（3）错误！未找到引用源。
（加法法则）（4）错误！未找到引用源。
（同向不等式相加）（5）错误！未找到引用源。
（异向不等式相减）（6）错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
（乘法法则）（7）错误！未找到引用源。
（同向同正可相乘）（8）错误！未找到引用源。
（乘方法则）（9）错误！未找到引用源。
（开方法则）错误！未找到引用源。
（倒数关系）NO.2考点剖析：考点1：比较大小（1）作差法：①理论依据：错误！未找到引用源。
；错误！未找到引用源。
；错误！未找到引用源。
；②步骤：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
（2）作商法：①理论依据：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
②步骤：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
常用的变形方法：一是配方法，二是分解因式。
例1：（1）若错误！未找到引用源。
，试比较错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的大小。
（2）设错误！未找到引用源。
，试比较错误！未找到引用源。
的大小。
考点2：不等式性质的应用正确全面的理解不等式的基本性质，不能忽视性质成立的条件，更不能凭想当然自造不等式，解决有关不等式的判断题，有时可用特殊值验证法例2：命题（1）错误！未找到引用源。
，（2）错误！未找到引用源。
，（3）错误！未找到引用源。
，（4）错误！未找到引用源。
，（5）错误！未找到引用源。
（6）错误！未找到引用源。
，（7）错误！未找到引用源。
其中真命题的是．练习：1.如果错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
北京市房山区周口店高一数学(32均值不等式)教案
任课教师： 任教年级、科目： 高一数学 课 题3.2均值不等式（一）授课时间 年 月 日（星期 ）授课类型新授课课时安排 1课时（课 标 要 求 ）教 学 目 标知识技能过程方法 情感态度重点、难点分析重点：均值不等式定理的证明及应用难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件教法、学法分析通过归纳、总结、启发探究相结合的教学方法，按照由特殊到一般得认知规律，引导学生学会应用均值不等式求最值的方法教学资源 选择多媒体 课本 学案学情分析学生已学不等式的性质，有一定基础教一、复习引入提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ （22a b +，22a b +）学 过 程成立。
提问4：你能给出它的证明吗？ 证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab +=(2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,也可写成(0,0)2a bab a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导 提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式(0,0)2a bab a b +≥>>的几何解释吗？的算术平均数，为称b a ba ,2.2+ . , 的几何平均数为b a ab三、典例分析例1 ：知0,2,b aab a b>+≥求证：并推导出式中等号成立的条件练习：。
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周口店中学教案任课教师： ___________ 任教年级、科目：高一数学 课 题 3.2均值不等式（一） 授课时间年 月曰（星期） 授课类型新授课 课时安排 1课时 教学课标 自要求 标2 知识 技能 学会推导并掌握均值不等式定理；能够简单应用定理求最值a 3 培养学生探究能力及分析间题、解决间题的能力心 A 进一歩培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性*过程 方法 情感 态度 重点、难点 分析 重点：均值不等式定理的证明及应用 难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件教法、学法 分析 通过归纳、总结、启发探究相结合的教学方法，按照由特殊到一•般得认知规律，引导学生学会应用均值不等式求最值的方法教学资源 选择多媒体课本学案学情分析学生已学不等式的性质，有一定基础教 一、复习引入提问1：我们把“风车”造型抽象成图3.. 4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b,那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？（J/ +b? , a 1 +沪）.学提间耳那4个直角三角形的面积和是多少呢？（2肝）.提可3：根据观察4个直角三甬形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，/ +沪二3。
什么时候这两部分面积相等呢？“（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH变成一个点，这时有a1 +b2= 2ab） a过二、探翩肉kIs —Oj，对Tff意藝0、b，謝门有当且殆为时,成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明：a2 + b2— 2ab =4-Z?）2所以a2^b2>2cib注意强•调（1）当且仅当a=h时，a2+h2=2ah（2）特别地，如果d>0,b>0, 用石和代替a、b ,可得（7+ /? > 2y[cib ,也可写成4ab < 旦（a > 0,b > 0）,引导学生利用不等式的性质推导2提问5：观察图形3. 4-3,你能得到不等式凹屈⑺>00 >0）的儿何解释吗?22.称凹为a"的算术平均数，巫为°,b的几何平均数.2三、典例分析例1 :知c力>0,求证:并推导出式中等号成立的条件练习：1已知尢〉0,求证：2兀+*»2血并推导出式屮等号成立的条件2.己知Ov&vf，求证:tan& + cot&»2,并推导出式中等号成立的条件例2：求下列函数的值域/ 、x?+3x+5 z . x+1⑴尸x+1・⑵厂X2+3X +5鉀r 1 A U+1)2+(X+1)+3 , , 3解：(1)y- r+1—U+i) + r+i + 1当x+l>0 时，y N2书 +1 ；当x+l<0 吋，y W—2筋+1即函数的值域为：・(一8,一2羽+1JU12V3 +1, +8)(2)当x+lM0时，令t= 乂豊严则问题变为：y二 + , tG ( — 8, —2书.+ 1]U[2V3 +1，+°°)•••円-2点+1 * 0)U© 2詁+1 】又x+1 =0 时，y = 01+2厉2书-1即庐[—11 ，11 〕四、小结：1•均值定理内容注意：一正一定=相等2.利用均值定理求最值的方法预习：1•均值不等式有哪些变形？2•如何运用变形公式求最值？■3.2均值不等式(一)板书设-、复习引入三、典例分析计二、探究新知教材p71 A 1,2练习与检测必做：教材p72 A 3,8 选做：B 3作业课后自评教学检查评价。
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学习目标
（1）知识与技能：能够运用均值不等式解决求函数最值、值域问题
（2）过程与方法：通过经历利用均值不等式解决求函数最值、值域问题的过程，加深对均值不等式条件的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
（3）情感与价值：进一步培养学生对知识的转化能力以及思维的创新性和深刻性
学习重点：均值不等式的正确运用
学习难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
一、课前复习：
．均值不等式：若0,0>>b a ，则 。
均值不等式的使用条件：
已知⌧ ⍓ ⌧⍓ 求⌧⍓的最小值，并说明此时⌧⍓的值．
二、效果检测：
已知函数x
x x f 1)(+=， （1）求定义域；（2）当0>x 时，求)(x f 的最小值；
三、探索与思考：
若上题改为：当0<x 时，将如何求
)(x f 的最值；
求出上述两种情况下函数
)(x f 的值域？
3.当0>x 时 求函数
11)(++=x
x x f 最值。
变式 ：当0>x 时，求函数x x x x f 134)(2
++=的最小值，及此时x 的值。
变式2：求函数x
x x x f 9)(2
-+-=，（0>x ）的最大值，以及此时x 的值。
变式3：求函数)0(5)(2>+=x x x
x f 的值域
变式4：求函数x x y +-=34
（3>x ）值域。
变式5：求函数12
22
+++=x x x y （1->x ）的值域。
练一练：
1.求函数x
x x f 2)(+=的最值.
2． 已知4=+b a ,求b a 22+的最小值．
3. 求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
1）2
31
,(0)x x y x x ++=>； 2）1
2,3
3y x x x =+>-；
3)1
2sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
试一试：
.
11
,1,0,0.1的最小值已知y x y x y x +=+>>
2如何用均值不等式求函数())30(,3<<-=x x x y 的最大值，
及此时x 的值。
四、归纳总结
学会利用基本不等式来求函数最大（小）值及值域。
五、作业：教材72页练习B 组3；习题3-2A 组2、3、8、9、；B 组3.。