定积分与微积分基本定理复习讲义

定积分与微积分基本定理复习讲义

河南省卢氏县第一高级中学山永峰

考

什么怎么考

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．

2.考查简单定积分的求解．

3.考查曲边梯形面积的求解．

4.与几何概型相结合考查．

[归纳·知识整合]

1．定积分

(1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

(3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.

②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.

③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.

[探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？

提示：相等．

2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？

提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．

3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？

提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．

2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x

＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．

课前预测：

1.∫421x

d x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2

2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，

则此物体在时间[1,2]内的位移为( )

A.176

B.143

C.136

D.116

3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2

所围成的曲边梯形的面积为________．

4．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.

5．由y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52

所围成的封闭图形的面积为________ 考点一 利用微积分基本定理求定积分

[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：

(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ； (3)∫2

0x (x ＋1)d x ；(4)∫21? ????e 2x ＋1x d x ； (5)20π

? sin 2x 2d x . ———————————————————

求定积分的一般步骤：

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；

(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；

(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；

(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；

(5)计算原始定积分的值．

强化训练：

1．求下列定积分：(1)∫2

0|x －1|d x ；(2) 20π?1－sin 2x d x .

考点二 利用定积分的几何意义求定积分

[例2] ∫10－x 2＋2x d x ＝________.

变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．

———————————————————

利用几何意义求定积分的方法

(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．

(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小． 强化训练：

2．(2014·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为

________．

考点三：利用定积分求平面图形的面积

[例3] (2014·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为

( )

103 B ．4 C.163 D ．6

变式训练：

若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？

———————————————————

利用定积分求曲边梯形面积的步骤

(1)画出曲线的草图．

(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．

(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．

(4)计算定积分，写出答案．

强化训练：

(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，

x ＝1，y ＝14

所围成的图形(阴影部分)的面积为( )

A.23

B.13

C.12

D.14

考点四：定积分在物理中的应用

[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应

在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？

——————————————————— 1．变速直线运动问题

如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从

时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时

间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a

v (t )d t .

2．变力做功问题

物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x . 强化训练：

4．一物体在力F (x )＝????? 10 0≤x ≤23x ＋4 x >2(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动

了4米，力F (x )做功为( )

A ．44 J

B ．46 J

C ．48 J

D ．50 J

1个定理——微积分基本定理

由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

3条性质——定积分的性质

(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；

(3)积分可分段进行．

3个注意——定积分的计算应注意的问题

(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；

(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；

(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.

易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点

[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ? ??

??12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．

[易误辨析]

1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．

2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．

3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：

(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；

(2)准确确定被积函数和积分变量．

变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )

A.112

B.14

C.13

D.712

2．(2014·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，

则a ＝________.

定积分与微积分基本定理检测题

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1.∫e 11＋ln x x

d x ＝( )