2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章+第六节 双 曲 线+Word版含答案
第六节双曲线
2019考纲考题考情
1．双曲线的概念
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．双曲线的标准方程和几何性质
1．双曲线定义的四点辨析
(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。
(2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。
(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。
(4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。
2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线
(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。
(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。
3．方程的常见设法
(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)。
(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)。
一、走进教材
1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点
P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离
等于________。
解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1>2，故|PF2|＝6。
答案6
2．(选修1－1P53练习T3改编)以椭圆x2
4＋
y2
3＝1的焦点为顶
点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。
解析设要求的双曲线方程为x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆
x2 4＋y2
3＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为
(±1，0)，焦点为(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－y2
3＝1。
答案x2－y2
3＝1
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)双曲线x2
3－y2＝1的焦点坐标是()
A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2)
解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选B。
答案B
4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为
3
2c，则
其离心率的值是________。
解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝b
a x，所以
|bc| a2＋b2＝b＝
3
2c，所以b2＝c2－a2＝
3
4c2，得c＝2a，所以双曲线
的离心率e＝c
a＝2。
答案2
5．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的
离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()
A．2B．2 C．32
2D．22
解析由离心率e＝c
a＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b
＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x。由点到直线的距离
公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为
4
1＋1
＝22。故选D。
解析：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离
为
4
1＋1
＝22。故选D。
答案D
三、走出误区
微提醒：①忽视双曲线定义的条件致误；②忽视双曲线焦点的位置致误。
6．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________。
解析由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则