矩形的判定和性质
矩形的性质和判定
一、基础知识
（一）矩形的定义
有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：
1.矩形具有平行四边形的一切性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是90°;
4.矩形是轴对称图形；
（三）矩形的判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形；
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=AC
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、例题讲解
考点一：矩形的基本性质
例1 :如图，在矩形ABCD中, AE?丄BD, ?垂足为E, ?/DAE=?2之BAE ?那么，？/ BAE= ______________ , Z EAO= ________ ,若EO=1,贝y OD= ______ AB= _______ , AD= ________ r
练习1 :矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6, △ OBC勺周长是15,求矩形的对角线的长
度.
练习2 :如图，在矩形ABCD中, CE L BD, E为垂足，/ DCE：/ ECB= 3 ：1,求/ ACD.
例2:如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm那么矩形的周长是多少？
2
练习1 :矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点0,已知矩形ABCD勺面积是12cm，AB=4cm求矩形的对
角线长。
例3:如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB BC分别长15cm和25cm,内角/ BAD的角平分线与边BC交于
点E.试求BE与CE的长度.
练习1 :如图，在矩形ABCD中, E是边AD上的一点?试说明厶BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.
例4: （2009年广西钦州）已知：如图1,在矩形ABCD中, AF= BE求证：DE= CF;
练习1 :如图，矩形ABCD中, E为AD中点，/ BEC为直角，矩形ABCD勺周长是20,求AD AB的长。
练习2: （2009年衢州）如图，四边形ABCD!矩形，△ PBC^A QCDTE是等边三角形，且点P在矩形上方, 点Q在矩形内.
求证：（1）Z PB/=Z PCQ30。；
2) PA=PQ.
考点二：面积法
例1 :如图，在矩形 ABCD 中, AB= 3, BC = 4, BE 丄AC 于E .试求出 BE 的长.
练习1 :如图，矩形ABC ［中, E 点在BC 上，且AE 平分 BAC 若BE =4, AC =15,贝U AEC 面积为(
)
B. 30
C. 45
D. 60 。
练习2:如图：在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC BD 相交于点 O, AB=4cm ,AD=4-_3cm.
(1)判定△ AOB 的形状.
(2)计算△ BOC 勺面积
. P
D
C
练习3:如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点C/处，BC交AD于E, AD=8 AB=4 BE=5,
求厶BED的面积。
C'
考点三：矩形对角线平分且相等
例1 :矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm，则矩形的对角线长为__________ cm 。
练习1 :矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是( )?
A ? °
B ? °
练习3 :如图，矩形ABCD勺对角线相交于点O / AOB= 120°,AD= 5cm,则AC= _______________________________ 考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1 :如图，△ ABC中，/
1 A=2/ B,。。是厶ABC的高，E是AB的中点，求证：DE^ AC.