山东省聊城市2020届高三一模考试数学(理)试卷(含答案)

2018 年聊城市高考模拟试题 理科数学（一）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 1} ， B ? {x | lg(x ?1) ? 0} ，则 A B ? （ ）
A． [0,1)
B． (?1, ??)
C． (0,1)
D． (?1, 0]
2.设复数 z ? (1? i)2 ，则 z ? （ ） 1? i
A．4
B．2
C． 2
D．1
3.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S13 ? 104 ， a6 ? 5 ，则数列{an} 的公差为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直
角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角
的正切值为 3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）
A． 1 10
B． 1 5
C． 3 10
D． 2 5
5.设等比数列 {an} 的各项均为正数，其 n 前项和为 Sn ，则“ S19 ? S21 ? 2S20 ”是“数列{an} 是递
增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6.已知直线 l 与抛物线 C ： y2 ? 4x 相交于 A ， B 两点，若线段 AB 的中点为 (2,1) ，则直线 l 的方
程为（ ）
A． y ? x ?1
B． y ? ?2x ? 5
C． y ? ?x ? 3
D． y ? 2x ? 3
7.已知函数 f (x) ? x (10x ?10?x ) ，不等式 f (1? 2x) ? f (3) ? 0 的解集为（ ）
A． (??, 2)
B． (2, ??)
C． (??,1)
D． (1, ??)
8.已知双曲线 C
：x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
? 0,b
?
0)
的右焦点 F2
到渐近线的距离为
4，且在双曲线 C
上到
F2
的距离为 2 的点有且仅有 1 个，则这个点到双曲线 C 的左焦点 F1 的距离为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1.5，则输入 k 的值应为（ ）
A．4.5
B．6
C．7.5
D．9
10.在 ?ABC 中， BC 边上的中线 AD 的长为 2，点 P 是 ?ABC 所在平面上的任意一点，则
PA? PB ? PA? PC 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．-2
D．-1
11.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的
各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（ ）

A． 7? 3
B． 28? 9
C． 14 7? 9
D． 4? 3
12.已知函数
f
(x)
?
????
x
x ?
1
?
3a,
x
?
?2
? ?ex
?
a
,
?2
?
x
?
0
恰有
3
个零点，则实数 a
的取值范围为（
）
?? x
A．
? ??
?
1 e
,
?
1 3
? ??
B．
? ??
?
1 e
,
?
1 e2
? ??
C．
????
2 3
,?
1 e2
? ??
D．
????
2 3
,
?
1 3
? ??
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
?x ? y ?1? 0
13.设 x ， y 满足约束条件 ??x ? 2 y ? 0 ，则 z ? 2x ( 1 )y 的最大值为
．
??x ? 2 y ? 0
16
14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测
结果得到如下频率分布表：
质量指标分组
[10, 30)
[30, 50)
[50, 70]
频率
0.1
0.6
0.3
据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为
．
15. ( y2 ? x ? 2 )9 的展开式中常数项为
．
x2
16.若函数 f (x) ? m sin(x ? ? ) ? 2 sin x 在开区间 (0, 7? ) 内，既有最大值又有最小值，则正实数
4
6
m 的取值范围为
．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分
17.已知数列 {an} 满足 a1 ? ?2 ， an?1 ? 2an ? 4 .
（Ⅰ）证明：{an ? 4} 是等比数列；
（Ⅱ）求数列 {an} 的前 n 项和 Sn .
18.某教育培训中心共有 25 名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下
班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用 34 座的大客车接送教师.由于每次乘车
人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续记录了 100 次的乘车人数，统计结果如下：
乘车人
15 16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
数
频数
2
4
4
10
16
20
16
12
8
6
2
以这 100 次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.
（Ⅰ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过 18 的概率；
（Ⅱ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车
的教师.可供选择的小客车只有 20 座的 A 型车和 22 座的 B 型车两种，A 型车一次租金为 80 元，B
型车一次租金为 90 元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的
人每人 20 元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车
较合算？
19.如图，四棱锥 P ? ABCD 中， ?PAD 为等边三角形，且平面 PAD ? 平面 ABCD ，
AD ? 2BC ? 2 ， AB ? AD ， AB ? BC .
（Ⅰ）证明： PC ? BC ；

（Ⅱ）若直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 60 ，求二面角 B ? PC ? D 的余弦值.
20.已知圆 x2
?
y2
? 4 经过椭圆 C
：
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
? b ? 0) 的两个焦点和两个顶点，点
A(0, 4) ，
M ， N 是椭圆 C 上的两点，它们在 y 轴两侧，且 ?MAN 的平分线在 y 轴上， AM ? AN .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）证明：直线 MN 过定点. 21.已知函数 f (x) ? 2ex ? kx ? 2 .
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 在 (0, ??) 内的单调性；
（Ⅱ）若存在正数 m ，对于任意的 x ?(0, m) ，不等式 f (x) ? 2x 恒成立，求正实数 k 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 4x ? 6 y ?12 ? 0 .在以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ? ) ? 2 . 4
（Ⅰ）写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A 、 B ， P 为圆 C 上的任意一点，求 PA? PB 的取值范
围. 23.选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) ? 2x ? a ? 2a ， a ? R .
（Ⅰ）若对于任意 x ? R ， f (x) 都满足 f (x) ? f (3 ? x) ，求 a 的值；
（Ⅱ）若存在 x ? R ，使得 f (x) ? ? 2x ?1 ? a 成立，求实数 a 的取值范围.

一、选择题
1-5: ACBDC
二、填空题
6-10: DADBC
2018 年聊城市高考模拟 理科数学（一）答案
11、12：CA
13. 4
14. 144
三、解答题
15. 672
16. 2 ? m ? 3 ? 3
17.解：（Ⅰ）∵ a1 ? ?2 ，∴ a1 ? 4 ? 2 ，
∵ an?1 ? 2an ? 4 ，∴ an?1 ? 4 ? 2an ? 8 ? 2(an ? 4) ，
∴
an?1 ? 4 an ? 4
?
2
，∴ {an
?
4}
是以
2
为首项，2
为公比的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知 an ? 4 ? 2n ，∴ an ? 2n ? 4 .
∴ Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? (2 ? 4) ? (22 ? 4) ? ??? ?(2n ? 4)
? (2 ? 22 ? ??? ? 2n ) ? 4n ? 2(1? 2n ) ? 4n ? 2n?1 ? 2 ? 4n . 1? 2
∴ Sn ? 2n?1 ? 4n ? 2 .
18.解：（Ⅰ）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过 18 的概率为 0.8.
记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过 18”为事件 A ，则 P(A) ? 1? (1? 0.8) (1? 0.8) ? 0.96 .
即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过 18 的概率为 0.96.
（Ⅱ）设 X 表示租用 A 型车的总费用（单位：元），则 X 的分布列为
X
80
100
120
140
160
180
P
0.56
0.16
0.12
0.08
0.06
0.02
EX ? 80?0.56 ?100?0.16 ?120?0.12 ?140?0.08 ?160?0.06 ?180?0.02 ? 99.6 .
设 Y 表示租用 B 型车的总费用（单位：元），则 Y 的分布列为

X
90
110
130
150
P
0.84
0.08
0.06
0.02
EX ? 90?0.84 ?110?0.08 ?130?0.06 ?150?0.02 ? 95.2 . 因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，租 B 型车较合算. 19.证明：（Ⅰ）取 AD 的中点为 O ，连接 PO ， CO ， ∵ ?PAD 为等边三角形，∴ PO ? AD . 底面 ABCD 中，可得四边形 ABCO 为矩形，∴ CO ? AD ，
∵ PO CO ? O ，∴ AD ? 平面 POC ，
∵ PC ? 平面 POC ，∴ AD ? PC . 又 AD / /BC ，所以 BC ? PC . （Ⅱ）由面 PAD ? 面 ABCD ， PO ? AD ，∴ PO ? 平面 ABCD ，
可得 OP ， OD ， OC 两两垂直，又直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 60 ，即 ?PCO ? 60 ，
由 AD ? 2 ，知 PO ? 3 ，得 CO ? 1. 建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ，则 P(0, 0, 3) ， D(0,1, 0) ， C(1, 0, 0) ， B(1, ?1, 0) ，
BC ? (0,1, 0) ， PC ? (1, 0, ? 3) ， CD ? (?1,1, 0) ，
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? (x, y, z) .
∴
?? ?
y
?
0
，令 z ?1，则 n ? ( 3, 0,1) ，
??x ? 3z ? 0
设平面 PDC 的一个法向量为 m ? (x ', y ', z ') ，
∴
?? x ?
'?
y
'
?
0
，令 z ' ?1，则 m ? ( 3, 3,1) ，
??x '? 3z ' ? 0
cos ? m, n ? ? m ? n ? 4 ? 2 7 ， mn 2 7 7
∵二面角 B ? PC ? D 为钝角，∴二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ? 2 7 . 7

20.解：（Ⅰ）圆 x2 ? y2 ? 4 与 x 轴交点 (?2, 0) 即为椭圆的焦点，圆 x2 ? y2 ? 4 与 y 轴交点 (0, ?2)
即为椭圆的上下两顶点，所以 c ? 2 ， b ? 2 .从而 a ? 2 2 ，
因此椭圆 C 的方程为： x2 ? y2 ? 1 . 84
（Ⅱ）设直线 MN 的方程为 y ? kx ? m .
? y ? kx ? m
由
? ?
x2
?? 8
?
y2 4
，消去
?1
y
得 (2k 2
? 1) x 2
? 4kmx ? 2m2
?8 ? 0 .
设
M
( x1 ,
y1 )
，
N (x2 ,
y2 )
，则
x1
?
x2
?
?
4km 2k 2 ?1
，
x1x2
?
2m2 2k 2
?8 ?1
.
直线 AM
的斜率 k1
?
y1 ? 4 x1
? k ? m?4 x1
；
直线 AN 的斜率 k2
?
y2 ? 4 x2
?k?m?4 . x2
k1 ? k2
?
2k ? (m ? 4)(x1 ? x2 ) x1x2
?
2k
?
(m
? 4)(?4km) 2m2 ? 8
? 16k(m ?1) 2m2 ? 8
.
由 ?MAN 的平分线在 y 轴上，得 k1 ? k2 ? 0 .又因为 AM ? AN ，所以 k ? 0 ， 所以 m ? 1.
因此，直线 MN 过定点 (0,1) .
21.解：（Ⅰ） f '(x) ? 2ex ? k ， x ?(0, ??) ，

当 k ? 2 时，因为 2ex ? 2 ，所以 f '(x) ? 0 ，这时 f (x) 在 (0, ??) 内单调递增.
当 k ? 2 时，令 f '(x) ? 0 得 x ? ln k ；令 f '(x) ? 0 得 0 ? x ? ln k .
2
2
这时 f (x) 在 (0, ln k ) 内单调递减，在 (ln k , ??) 内单调递增.
2
2
综上，当 k ? 2 时， f (x) 在 (0, ??) 内单调递增，
当 k ? 2 时， f (x) 在 (0, ln k ) 内单调递减，在 (ln k , ??) 内单调递增.
2
2
（Ⅱ）①当 0 ? k ? 2 时，因为 f (x) 在 (0, ??) 内单调递增，且 f (0) ? 0 ，所以对于任意的 x ?(0, m) ，
f (x) ? 0 .这时 f (x) ? 2x 可化为 f (x) ? 2x ，即 2ex ? (k ? 2)x ? 2 ? 0 .
设 g(x) ? 2ex ? (k ? 2)x ? 2 ，则 g '(x) ? 2ex ? (k ? 2) ，
令 g '(x) ? 0 ，得 x ? ln k ? 2 ，因为 ln k ? 2 ? 0 ，所以 g(x) 在 (0, ln k ? 2) 单调递减.又因为
2
2
2
g(0) ? 0 ，所以当 x ? (0, ln k ? 2) 时， g(x) ? 0 ，不符合题意. 2
②当 k
?
2 时，因为
f
(x)
在 (0, ln
k) 2
内单调递减，且
f
(0)
?
0 ，所以存在
x0
?
0
，使得对于任意的
x ? (0, x0 ) 都有 f (x) ? 0 .这时 f (x) ? 2x 可化为 ? f (x) ? 2x ， 即 ?2ex ? (k ? 2)x ? 2 ? 0 .
设 h(x) ? ?2ex ? (k ? 2)x ? 2 ，则 h '(x) ? ?2ex ? (k ? 2) .
（i）若 2 ? k ? 4 ，则 h '(x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立，这时 h(x) 在 (0, ??) 内单调递减，
又因为 h(0) ? 0 ，所以对于任意的 x ? (0, x0 ) 都有 h(x) ? 0 ，不符合题意.
（ii）若 k ? 4 ，令 h '(x) ? 0 ，得 x ? ln k ? 2 ，这时 h(x) 在 (0, ln k ? 2) 内单调递增，又因为
2
2

h(0) ? 0 ，所以对于任意的 x ? (0, ln k ? 2) ，都有 h(x) ? 0 ， 2
此时取
m
?
min{x0
,
ln
k
? 2
2}
，对于任意的
x
?
(0,
m)
，不等式
f (x)
? 2x 恒成立.
综上， k 的取值范围为 (4, ??) .
22.解：（Ⅰ）圆
C
的参数方程为
?x
? ?
y
? ?
2 3
? ?
cos? sin?
（?
为参数）.
直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
（Ⅱ）由直线 l 的方程 x ? y ? 2 ? 0 可得点 A(2, 0) ，点 B(0, 2) .
设点 P(x, y) ，则 PA? PB ? (2 ? x, ? y) ? (?x, 2 ? y) .
? x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 2x ? 4y ?12 .
由（Ⅰ）知
? ? ?
x y
? ?
2 3
? ?
cos? sin?
，则 PA? PB
? 4sin? ? 2cos? ? 4
?2
5 sin(? ? ?) ? 4 .
因为? ? R ，所以 4 ? 2 5 ? PA? PB ? 4 ? 2 5 .
23.解：（Ⅰ）因为 f (x) ? f (3 ? x) ， x ? R ，所以 f (x) 的图象关于 x ? 3 对称. 2
又 f (x) ? 2 | x ? a | ?2a 的图象关于 x ? ? a 对称，所以 ? a ? 3 ，所以 a ? ?3 .
2
2
22
（Ⅱ） f (x) ? ? 2x ?1 ? a 等价于 2x ? a ? 2x ?1 ? a ? 0 .
设 g(x) ? 2x ? a ? 2x ?1 ? a ，
则 g(x)min ? (2x ? a) ? (2x ?1) ? a ? a ?1 ? a .
由题意 g(x)min ? 0 ，即 a ?1 ? a ? 0 .
当 a ? ?1 时， a ?1? a ? 0 ， a ? ? 1 ，所以 ?1 ? a ? ? 1 ；
2
2

当 a ? ?1 时， ?(a ?1) ? a ? 0 ， ?1? 0 ，所以 a ? ?1 ， 综上 a ? ? 1 .
2