误差理论与数据处理总结

三、误差分类三、数据运算规则

在有效数据后多保留一位参考(安全)数字。第一章绪论 (1)近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差(也相同。称偶然误差)和粗大误差三类。第一节研究误差的意义 (2)近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一 (一)系统误差一、研究误差的意义位，结果位数相同。在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少(3)近似平方或开方运算。按乘除运算处理。持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。 (4)对数运算。 n位有效数字的数据该用n 位对数表，或误差。如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。 2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定—曲线上拐点A的横坐标—曲线右半部面积重,(n+1)位对数表。 , 系统误差又可按下列分类: ''''''''条件下得到更接近于真值的数据。 (5)三角函数。角度误差 10.10.01101、按对误差掌握的程度分心B的横坐标 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，(1)已定系统误差:指误差的绝对值和符号已确定函数值位数 5 6 7

8 ,—右半部面积的平分线的横坐标。以便在最经济条件下，得到最理想结果。(2)未定系统误差:指误差的绝对值和符号未确定，但可的出4、研究误差可促进理论发展。(如雷莱研究:化学方法、空气误差范围。第二章误差的基本性质与处理三、算术平均值分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。) 2、按误差出现规律分

(1)不变系统误差:(指绝对值和符号一定)相当于以定系统误第一节随机误差第二节误差基本概念 ,,,lLL1、公理:一系列等精度测量，则。—真值差。

ii00nnn(2)变化系统误差:(指绝对值和符号为变化)相当于未定系统随机误差的代数和 ,,,,,lLlnL，，,,,iii00定义:在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的一、误差定义及表示方法误差，但变化规律可知，如线性、周期性

等。 ,,,iii111方式变化的(但具有统计规律的)测量误差—随机误(二)随机误差(random error) nn差。(在等精度测量条件下) (一)定义:被测量的值与真值差异在数值上的表现—误差。误在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可l,,,,ii差=测得尺寸—真实尺寸预定方式变化的误差—随机误差。ii,,11 一、随机误差产生的原因 L,0(二)误差表示方法(测量误差可用绝对误差表示，也可用相对(三)粗大误差 n

误差表示) 指明显超出统计规律预期值的误差—粗大误差。又称为疏忽误1、测量装置方面:零部件配合的不稳定性，零部件的变形，根据正态分布随机误差的对称性，当， n,,,,01、绝对误差(测量误差) 方向(+ —)、单位、大小。 ,,差、过失误差、寄生误差或简称粗差。 i零件表面油膜不均匀，摩擦等。 ,,n 绝对误差=测得值—真值 ,,,xxx2、环境方面:温度、气压、，光照强度、灰尘及电磁场变化。 0n 在实际工作中常用到修正值:为减少或消除系统误差一种处理方法。第三节精度 3、人员方面:瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。 licxxx,,,,, 修正值=真值—测量值=—绝对误差 ,0所以即无限多次测量的算术平均值即为真值

i,1,,xL0绝对误差绝对误差定义:反映测量结果与真值接近程度的量。与误差的大小相对二、随机误差的统计特性—正态分布 2、 n相对误差,,应，因此可用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误真值测量值

差大则精度低。多数随机误差服从正态分布(不含系统误差和粗大误差)，Vlx,,2、残余误差=测量值—平均值即相对误差:(1)有大小、方向(+ —)、无单位。常用%表示。ii 精度可分为: 有以下四个特征; (2)对于相同的被测量，可用

绝对误差评定精度。对于不同的(1)准确度:系统误差 1、对称性: 2、单峰性: 3、有界性: 4、抵偿性: n3、算术平均值的校核方法: (2)精密度:随机误差被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。随机误差的正态分布规律:

(3)精确度:系统误差和随机误差。其定量特征可用测量的不Ll 设被测量的真值为，一系列测得值为。则测量列中的随i3、引用误差:指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示i0l,确定度(极限误差)来表示。 ,,,lL,机误差为式中。in,1,2,i,1=示值—真值值误差iii0(1) ，而,，,精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为0.01%，可2 引用误差=示值误差/测量范围上限rm=ΔXm / Xm ,,x2,4以说精度为。 21,10，，仪器标称范围或量程内的最大绝对误差 / 该标称范围(或量程)上限 nnfe,,正态分布密度，，,, 有大小，有方向，无单位，相对量程而言。 l2,,, ,,inn,1等级S级:rm?S% 0iVlnn2,,,,,,，,,,所产生的最大绝对误差:ΔXm=?Xm×S% ,,ii2,,11,n21,，，,,最大相对误差为:rx=ΔXm /

X=?Xm/x×S% ii,,,Fed分布函数，，,,,,,n 说明:(1)量程相同的表，精度等级高，测量精度高。 2,,,,(2)残余误差代数和绝对值应符合: a:弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差Vi, 量程不同的表，精度等级高，测量精度不见得高。—标准差(方均根误差) —自然对数的底=2.7182。。。 ,ei,1大，即精密度低，正确度高。，, (2)仪表量程选用最好测量值在量程2/3左右为好，能充分nb:弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大n当n 为偶数时，则; 数学期望 Efd,,,,,0，，,,,而随机误差小，即精密度高，正确度低。发挥仪表精度等级作用。 ,,VA2,1c:弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密i，,n22n,,度、正确度都高，从而准确度亦高。当n为奇数时，则; A为末位数x方差 ,,,,,fd，，0.5二、误差来源

i,,,VA,,,,,i,12,,i，,4第四节有效数字与数据运算的一个单位。在测量过程中，按误差产生的原因可归纳为: 平均误差 ,,,,,,,,,fd0.7979，，,,,(一)测量

装置误差 5 多数情况下用规则(2)来校核。一、有效数字 1、标准量具误差2、仪器误差: 3、附件误差: ,12此外由 ,,,fd，，(二)环境误差四、测量的标准差(方均根误差), ,,,2 含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个测量时各种环境因数与规定的标准状态不一致造成的误差 2单位，那么从这个近似数左方起的第一个非0的数字，称为第一(三)、方法误差可解得或然误差

为 ,,,,,0.6745位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位数字止的所有数由于测量方法不完善所引起的误差。 3 字，无论0或非0，都是有效数字。(四)、人员误差正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。分辨能力、视觉器官的生理变化、习惯、疏忽等引起的误差。二、数字舍入规则(凑整) “四舍六入逢五取偶”

当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称t分第二节系统误差n2,布计算。即 ,222i，，,,,,定义: 121ni一、系统误差产生的原

因 ,,,,,xt,,nn limax

(1)测量装置的因素:仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆t(式中—置信系数，由给定的置信概率和自由度Pa,,1a 测微仪直线位移和转角不成比例的误差;仪器制

造和安装的,,,lLn—测量次数充分大 (真值) ii0来确定，具体数值将附表3(t分布表)，为超出误aVn,,1 不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏

心、仪差的概率(称显著度或显著水平)常取n 器导轨的误差;计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径2。n为测量次数。) a,0.01,0.02,0.05V, 偏差。 i对同

一测量列，按正态分布和t分布分别计算，即使置信概率的,1i (1) 贝塞尔公

式 ,,(2)测量环境的因素:测量时的实际温度对标准温度的偏,x也不同。取值相同，但由于置信系数不同，求出的lim1, 差，对测量结果可以按确定规律修正的

误差等等 n测量结果 : X= + ,xlim (3)测量方法的因素:采用近似的测量方法或

近似的计算,评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差和平均误差公式等所引起的误差; ，用残余误差表示 ,六、不等精度测量(测量次数不同引起的不等精度) (4)测量人员的因素:由于测量者固有的测量习性，如读nn2 2出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时VV,,i2i 4,总有一个滞后的倾向等。

n 精度可信赖程度 P n=P , 1,,i,,1i ,,3151n n 二、系统误差的特征 ,,测量列算术平均值的标准差 ,x 系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的n 绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变化。 n (a) 无补偿性:影响算术平均值的估计 V,i ,1 (b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 i,,1.253(2)别捷尔斯法 (1)不变系统误差(2)线性变化的系统误差:(3)周期性变化,1，，nn 的系统误差(4)复杂规律变化的系统误差 (3)极差法(简便) 三、系统误差的发现 ,,,xxxx极差(两者从服从正态分布的中选出。)

nmaxmin1n ,(一)实验对比法(适用于不变的系统误差): nd, 其中极差系数(查表) ,，，n(二)残差观察法(适用于发现有规律变化的系统误差):P36 d nVlx,,,,

结论;任一测量值的残差为系统误差与测量ii 列系统系统误差平均值之差 (无法发现不变系统误差) (4)最大误差法(可应用于单次测量) (三)残差校核法: 真值未知，选取残余误差，当服从正态分布。V 1、用于发现线性系统误差。(马利科夫准则) imax

将测量列中前K个残差相加，后n-K个残差相加(当n为

Vimax11Kn,2偶数，取;。n为奇数，) Kn,，12 ( ) (查表) ，，,,

Vxx,,'iimax'KKK n nn

, 两者相减得差值。

KnKn五、测量的极限误差 ,,,,,,,,,,,VVlxlx，，，，,,,,ijij ijKijK,,，,,，1111P—置信概率，=a—显著度，显著水平 1,P，，

,,若显著不为0，则认为测量列存在线性系统误差。=0,(一)单次测量的极限误差 limx 时，仍有可能存在系统误差，如含定值系统误差，其均值为 t22,0，则=0。 ,2t Pedtt,,,,,，，，，2,0 2、用于发现周期性系统误差。(阿卑—赫梅特准则) ,, 2 若有一等精度测量列，按测量先后顺序将排列为不同t的概率积分值可由附录表1查出。 ,t ，，

vvv,,。如存在周期性系统误差，则相邻两残差的差值12n ,x(二)算术平均值的极限误差 lim ，符号也将出现周期性的正负号变化。用统计准vv,，， ii，1

,,xt,, 正态分布: limx n,1则。令 uVVvvvvvv,,，，，t 由P决

定 ,iinn，,112231 i,1t=2.6，P=99%

2测量。，则认为该测量列中含有周期性系统误差。若据怀疑两组间有系统

误差。un,,1,。校验数Kn,,，，函数误差:间接测得的被测量误差也应是直接测

得量及其误差的(四)不同公式计算标准差比较法: 第一类(前四种)用于发现测量列组内的系统误差;第二类(后函数，称这种间接测量的误差为函数误差 3 种)用于发现各组测量之间的系统误差。 xx若，则认为含有粗大误差，弃去，nxxK,,,jjj2 一、函数系统误差计算V,i,四、系统误差的减小和消除 1i按贝塞尔公式 ,,1x再

继续上述步骤判断，否则不含粗大误差，应保留。 j1,nyfxxx,(,,...,) 间接测量的数学模型 :。12n(一)从产生根源上消除系统误差 (3)格罗布斯准则 (测量列中

含有一个异常值效率高) n(二)用修正的方法消除系统误差 V,(三)不变系统误差消除法 xxx,,,为各个直接测量值，y为间接测量值。 i12nx 对某个可疑数据，若xxGn,,(,),,,1 按别捷尔斯公式 dd,,1.2531、代替法:2、抵消法:3、交换法:

i2，，,1(四)线性系统误差消除法—对称法 nn—贝塞尔公式计算的标准差 (2-

92) ,函数的系统误差的计算公式: dy(五)周期性系统误差消除法—半周期法

2,2(六)复杂系统误差的消除方法令，若，则怀疑测量列中存在系统误,，1uu,x

含有粗差，可剔除;否则予以保留。 d,,,fff ,n,1...dydxdxdx,，，，

112n,,,xxx12n (4)狄克松(Dixon)准则 (多个异常值,速度快) 差。第三节粗大

误差 ,,,fffxxx,,...,(五)计算数据比较法: (测量组间) 正态测量总体的一个样本，按从大到小顺序 12n...,,,，,，，,yxxx12n,,,xxx,,...,排列为。构造统计量: ,,,xxx12n12n,若对同一量独立测量m组结果，并知它们的和x一、粗大误差

产生的原因 i,,,,xx,xx,nn,121,,,fxin(1,2,,)为各个输入量在该测量点其中,i r,

与 r,n,3~71010(1)客观外界条件的原因:机械冲击、外界震动、电网供电电,,,,xx,xx,为。而任意两组结果之差为 n1xxx,,,,,n11122mm压突变、电磁干扰等测量条件意外地改变，引起仪器示值或被(,,,)xxx处的误差传递系数。 12n测对象位置的改变而产生粗大误差 ,,,,xx,xx,22nn,121(2)测量人员的主观原因:测量者工作责任性不强，工作过于，其标准差为。则任意两,,,,，,,,xx, r, 与 r, n,8~10ijij1111,,,,疲劳，对仪器熟悉与掌握程度不够等原因，引起操作不当，或在xx,xx,yaxaxax,，，，...1、线性函数: n2n11,1122nn测量过程中不小心、不耐心、不仔细等，从而造成错误的读数或xx组结果和间不存在系统误差的标志是: ji错误的记录 ,,,，,，，,yaxaxax...系统误差公式:

1122nn,,,,xx,xx,nn,221,a,1,,,，,，，,yxxx...当， r, r, 与

n,11~13i12n112122,,,,xx,xx,二、防止与消除粗大误差的方法 n11,n2 上式说明当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为xx,,，2,, ijij

各个测量值系统误差之和。 (1)加强测量人员培训，增强责任心 (六)秩和检验法 (用于两组数据) ,,,,xx,xx,nn,2312、三角函数形式 ,r, r, 与 n,14~30(2)保证测量条件稳定 2222yin,1,2,x两组数据:

jn,1,2,jixy,,,,xx,nxx,n21,n31,f(3)不同条件测量同一值(如两组人员、两台仪器、两种测量将它们混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那sin,,...,,,fxxx，，,,,,x12n,i方法)相互比较一组，数出它的测量值在混合后的次序9(秩)再将所有测得值,,1cos,xii,,x的次序相加，即得秩和T。若则判

断为异常值。rrrDn,(,),,,nnijijij1,f cos,,...,,,fxxx，，三、判别粗大误差的准则 P45 ,12nnn,10,n 当两组测量次数，可根据次数较少组的次数

和,,,x,121i,1,,,sinxnTT较多的组的次序，由秩和检验表2-10(P14)查得和

ii2,，,,,x，则判断为异常值。否则，判断没rrrDn,(,),,,n1ijijijTTT,,(显著

度为0.05)，若，则无根据怀疑两组间存在,f(1) 3σ准则 (莱以特准则)(n充分大，正态分布) 2,， tan,,...,,,fxxx，，,,cos12n,,,x,i系统误差。 ,,x1有异常值。 iix对某个可疑数据，若 ,,,,,xx3(七)t检验法(利用t分布进行的检

验)(测量组间) dddn,f2 cot,,...,,,fxxx，，12n,,sin,,,,x,i四、总

结 ,in,1,2,x若独立测得两组数据(服从正态分布)为 ,x1ixiix含有粗差，可剔除;否则予以保留。 d

(1)大样本情形(n,50)，用3σ准则最简单方便;30,n,二、函数随机误差计算

y jn,1,2,njy50情形，用Grubbs准则效果较好;情形，用330,,n2V,iGrubbs准则适用于剔除单个异常值，用Dixon准则适用于剔除多1, 在n?10的情形，用3σ

准则剔21,,,iV对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的,个异常值。innnn，,2,，，13nxyxy令变量 (2)在实际应用中，较为精密的场合可选用二三种准则同时判txy,,，，22x随机误差为: 对: ,,,,,1,,xxx2nnnn，，，，，，11121N断，若一致认为应当剔除时，则可以比较放心地剔除;当几种方除粗差注定失效，取xyxxyyxxxxn,,,,,()1,,di法的判定结果有矛盾时，则应当慎重考虑，通常选择，且在可剔11式中: 与不可剔时，一般以不剔除为妥。 xx,x

对: ,,,,,yy,,i,i2xxx21222Nn?10，恒成立。因此本法测量次数应xx,,3,nnxdy

1122 ,,,xx,,,yy，，，，，且越大越好。 ,,xin,10yinnxy第三章误差的合成与分配 (2)罗曼诺夫斯基准则(t检验准则，n较少，n<=10，t分布) x

对: ,,,,,nxxxnnnN12取显著度，由t分布表(附录表3)查得,

x 方法:首先剔除一个可以的测量值，计算余下的、，,x第一节函数误差 jt 中。若实测数列中算出之，则无根Ptt,,,tt,，，,,,

根据原测量次数n和选取的显著度,，查表2-12()得t,45间接测量:通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被

各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而NKDafx,,,或根据实际经验给出。求得 ,,,,ii且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用关系数定义有:,,,,,,xximjmK的极限误差合成公式。 ij,,,,,1m,,,, 相关系数协方差K,,,ijij一般情况下，合成标准差: ,,0N,,ijxixj D,,—误差和之间的协方差、分别为和,,,,,,,,第三节系统误差的合成函数随机误差公式: q2222的标准差 ,,,()a,nii,,,,,,,,,,,,,fffff2222,i1根据概率论: ,,,，11, 系统误差是评价测量准确度，具有确定的变化规,，，，，,,,,,,,2,,,,,,,,,12yxxxnijxixj,,,,,,,xxxxx,当时，两误差和正相关，即一个误差增01,,,,ij1,,12nij,,,,,,,,用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各律。大，另一个误差也增大。单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算,当时，两误差和负相关，即一个误差增,,,10,,,x(1) 第i个直接测得量的标准差 xii一、已定系统误差的合成大，另一个误差平均地减小。出总的标准差。

当时，完全正相关，完全负相关。此时,,，1,,,1,(2) 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 ,,和存在确定的线性函数关系。已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误ij二、极限误差的合成 ,当时，和间无线性关系(不相关)，一个误差增,,0,

大，另一个误差增大或减小。 ,,,,,,差。若有r个单项已定系统误差:(一次测量r12r(3)第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 (1)单项极限误差: D,,,,ijijxixj

,,越接近0，和之间的线性相关程度越小;反之，,,个不同种类的系统误差)，相应的误差传递函数为,,,,tiq1,2,..., ,fiiixy(4)第i个直接测得量对间接量在该测量点,越大，越接近1，和之间的线性相关程度越密切。值得注

意,i,xiaaa,,,，按代数和法合成总的已定系统误差为: 的是，时。两误差间不存在线性关系，不等于存在其它,,012r处的误差传播系数函数关系。 ,t—单项随机误差的标准差; —单项极限误差的置信系数。 (,,,)xxxii12n确定两误差间的相关系数的常用方法: r若各个测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，相 (2)合成极限误差: ,,,a 1、直接判断法 ,iii,1,f ,,,,t 2、试验观察和简略计算法关项，则相关系数。令,a K,0,,0iijij—合成标准差; t—合成极限误差的置信系数 ,,x合成后从测量结果中修正，使最后测量结果中不包含已定i(1)观察法:

(3)合成极限误差计算公式: 系统误差。误差公式(可简化为 ) (2)简单计算法:将多组测量的对应值在平面坐标上作,,，，iiqq,a,,j2iii222222二、未定系统误差的合成 ,,，taa()2 ,,,,,,,，，，aaa (3-15) ,,ijij图，做A、B线将点

阵左右、上下平分(尽量使A、B线上无yxxnxn1122tttiij,,,11iij各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数nnnn点)。设四个部分点十分别为、、、，则相关系数1234 (一)?e特征: t各个置信系数、t不仅与置信概率有关，而且与随机误差的较小时，也可近似地作为不相关处理，因此(3-15)式是常用i

1、测量条件不变:未定系统误差不变，不能抵偿; 的函数随机误差公式。，，，nn分布有关 13,,,,cos为式中 nnnnn,，，，,,,1234

2、测量条件变化:未定系统误差具有随机性，具有抵偿性。当各个测量值的随机误差为正态分布时，(3-15)中的标准差用n，,,对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各,，，(二)未定系统误差的合成极限误差代替，可得函数的极限误差公式为: 个置信系数相同 (3)直接计算法: 1、标准差的合成 222222，对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各,,,,,,，，，aaa

3、理论计算法

lim1lim12lim2limyxxnxn 若测量中有s项未定系统误差，它们的标准差为个置信系数也不相同

uuu,,,aaa,,,，误差传递系数为。则合成后未定(4)合成极限误差特殊情

形: ,,1多数情况下，，且函数形式较简单，即12s12si第二节随机误差的合成

当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数 yxxx,，，，系统误差的总标准差为: 12n

目q较多、各置信系数完全相同，即tttt,,,,12qss一、标准差的合成222,,,,,，，，则函数的标准差为 : 2yxxxn12uauaauu,，

()2, ,,iiijijij,,,iij11各个标准差合成后的总标准差: 222(各单项极限误差，且置信概率相同，按方和跟法合成) ,,,,,,，，，函数的极限误差

limlim1lim2limyxxxnqqs合成极限误差: 22当时， uau,(),,0,,,,,,，

()2aaa ,,,ijiiiiijijijqq,1,,,11iiij2,,,,,,,，()2aaa ,,iiijijij三、误差间的相关关系和相关系数 2、极限误差的合成 (1) (一次测量不同种类的随机误差) ,,,11iij

各个单项未定系统误差的极限误差为 : q个单项随机误差，标准

差 ,,,,,,,(二)相关系数 12qa,1若，。 ,,0iijetu,, is,1,2,, , 相关系数反映两误差有线性关系时的相关性强弱。误差合iii

,成时应求出，并计算相关项大小。 aaa,,,(2)误差传递系数: 由间接测量的显函数模型q12q总的未定系统误差的极限误差为: 2 ,,,,,,,i若两误差间,和的相关系数为，根据式(3-13)中相etu,, ,i1

22qrs 整理上式得 D,(0.4~0.3),DD显然可是任意值，为不确定解，求解需按以下步骤。 ,,,,e,iikyii sstR,,,,，，,,,总,,,,i2,,,则可得 ttetauaauu,,，()2,1,,iiijijij,,,,iii111ii因此满足此条件只需取: D,,ky,,,11iij一、按等作用原则分配误差(等影响原则分配) 所以要严格区分各单项误差的性质。 3

(2)对于比较精密的测量，误差的有效数字可取两位，则有 sseaeej2各分项误差对函数误差的影响相等，即 iii二、按标准差合成 etaa,,，()2,或

',,ijij ,,,,,0.010.005，，tttyyyiij,,,11iij,yDDD,,,, 1、单次测量标准差:

12nn由此可得: D,(0.14~0.1),当各项未定系统误差均服从正态分布，且时，

则: ,,0ky 若测量过程中仅存在s个未定系统误差(标准差):ij

1,,uuu,,,;q个单项随机误差(标准差):11syy12s满足此条件只需取: D,,2因此可得 ,,,kyi eae,,，，10,iifxa,,/nnii,i1 。为了计算方便，设各个误差传递系数均为,,,,,,12q

,,11,,或用极限误差表示 ,1，则测量结果总的标准差为: i fxa,,/第四节系统误差与随机误差的合成 nniiqs 22 ,,,，，uR,,ii ,——函数的总极限误差; ——各单项误差的极限误差 ,i一、按极限误差合成 ,,ii11

qs q 若测量过程中仅存在个未定系统误差，个随机误差，它们s二、按可能性调整误差 22正态分布，各误差间互不相关: ,,,，u,,ii 的误差值或极限误差分别为: ,,三、验算调整后的总误差 ii11

,,,,,, ——已定系统误差 12rqs第六节微小误差取舍准则 1222、n次重复测量: ,,,，u,,ii n,,11ii一、微小误差 eee,,, ——极限误差(未定系统误差) 12s

测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误第五节误差分

配 ,,,,,, ——极限误差(随机) 12q差的影响，可忽略不计的误差。

已定系统误差: 基本思想:(已定系统误差先求出，从总误差去除;未定系统误(1)单次测量: 差和随机误差同等看待) 设各个误差传播系数均为1，则测量结果

总的极限误差为: 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在测量前，应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各单项误差。 22q测量结果的标准差: rs,,,,e,(1)对于函数已定系统误差，可用修正值方法消除，不必考虑 ii tR,,,,，，,,,总,,,,各个测量值已定系统误差的影响，而只需研究随机误差和i222222 ,,,tt,,，，，，，，，DDDDDD,，

ykkkn12(1)(1)iii111,,,,未定系统误差的分配问题。 ii (2)单次测量时，在误差分配时，随机误差和未定系统误差同R—各误差间协方差之和。(通常R=0)

等看待，合成时处理方法相同，合成结相同。因此在误差 D将其中的部分误差取出后，当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，则 k分配时，其分配方法也完全相同。 qrs假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有

'2222222 ,,，，，，，，DDDDD ,,,,，e,,，ykkn12(1)(1),,,iii总222222,,,iii111 ,,,,,，，，aaa yxxnxn1122

,D若有，则称为微小误差，计算时可舍去。 ,,,k若已定系统误差已修正，则 yy222结论:对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍,,，，，DDD yn12qs22 ,,,，e,二、基本取舍准则 ,,ii总11013去的误差必须小于或等于测量结果的到。选择高一级,f,,ii11DDa,,,,式中，为函数的部分误差， iiiii精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许总误差的,x(2)多次测量: (1)对一般精度的测量，测量误差的有效数字取一位，某项部i

由于随机误差有抵偿性，系统误差固定不变，随机误差项应分误差舍去后，满足 1103101100110。对于已定系统误差，按原则取,D,若已给定，需确定或相应

的，使满足 yii除以重复测量次数n。以平均值表示总极限误差

' ,,,,,0.10.05，，yyy舍。 qs122222,,，，，DDD 则对测量结果的误差计算没

有影响。 ,,,，e,yn12,,ii总n,,11ii

'''''设有列向量 ,vlaxaxax,,，，，，，第七节最佳方案的确定

111111221tt,yfxxx,,,,,，，估计量方程 1112t'''''lx，，，，v，，，，即 , 111vlaxaxax,,，，，,,222112222tt，，,,,,yfxxx,,,,,,,,2212t 当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因lxv 222,,,,,,,,L,X,V,素才能使测量结果的误差为最小，这就是最佳方案确定的问

题。,,,,,，，,,，，,'''''vlaxaxax,,，，，,,,,,,,nnnnntt1122, yfxxx,,,,根据式(3-14)函数的标准差为:,nnt12,lx,,v,, 设有阶矩阵(列向量)和矩阵 nt，n，1,,nt，，，，n，，lll,,,而测量数据的残余误差应为:

22212naa,,,,,,,,111t,,,fff'222'，，，，。和阶矩阵 nt，,,,,l,，，，vnt,，，,,,,,,,,1yn121''A,,,,,,xxxaa,,,,12n,,,,,,,,111t''lv,,vlfxxx,,,,, ,,,，，,,,2,,,,211112taannt1 残差方程 L, A,V,,,,,,,,,,,，，若使为最小，可以从以下几方面来考虑。例:P77

vlfxxx,,,,,yvlx'',22212t，，，，，，,,111,,,,aannt1,aa,,,,''111t,,,,,,,, l,,vvlxn，，，，n,,,222,,,,,,式可表示为: ，，,,,,,一、选择最佳函数误差公式 vlfxxx,,,,,,,,,,,nnnt12,,,aa,,,,,,,,,nnt1,,lll,,,若的测量误差是无偏的(即排除了测量的系统VLAX,,12n则 vlx,,,,,,nnt，，，，，， 1、f 函数不同，要求n 尽可能小

误差)，相互独立的，且服从正态分布，并设其标准差分别为2、n相同，要求直接测量量误差小 ,,T最小二乘条件: VV,minVLAX,,即 ,,,,,,。 12nT等精度测量时，残余误差平方和最小: 二、使误差传递系数等于零或为最

小 ,,,,LAXLAX,,,min或，，，，222vvv nv，，

121，，,min,,,222222,,nv,,,,,,12,,,fff2222,, minvvv,,，，，,,,, 由函数误

差公式 =>(x1，x2，……,xt 取最佳估计值，误差最小) ，，,,,,,,n12yxxxn12第二节正规方程 ,,,,,xxx12n,,,,,,p引入权的符号，由式可得 ,,vn,,n，，2222,f 正规方程:满足最小二乘原理，有确定解代数方程组，n=t pvpvpvpv，，，,,min,1122nnii,0若使各测量值对函数的误差传递系数或为最小，则函T,T1i,x即: 或: VV,minLAXLAX,,,mini，，，，在等精度测量

中: ,,,,,,12n一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程即: 数误差相应减小。 ppp,,,而不等精度测量时，最小二乘法原理 12n

nTT2222所以式可简化为: T或 VPV,minvvvv，，，,,minLAXPLAX,,,min,第五章线性参数的最小二乘法处理，，，， (正规方程) AV,012ni,1i

式中，P为阶权矩阵。 nn，(二) 等精度测量线性最小二乘处理第一节最小二乘法原理 VLAX,,又因为，所以正规方程又可表示为: 线性参数的测量方程一般形式为: XXX,,,为确定t个不可直接测量的未知量的估计12t2TTTT，，,xxx,,,量，可对与该t个未知量有函数关系的直接测量AAXAL,ALAAX,,012t 即 00，，YaXaXaX,，，,,,11111221ttlll,,,2量Y进行n次测量，得测量数据，并设有如下函数p,12n 测量方程 1,,,00关系: ，，YaXaXaX,，，

TT,22112222tt12p,,AAC,CXAL,若令，则 ,，，,,,

0000P,,22,,n,,,,,,2,,,,1TYaXaXaX,，，nnnntt1122,,,XCAL,正规方程的解: p 相应的估计量为: ,,YfXXX,,,,,，，00n1112t,,,,，，2, 例:P109 2,2,, 测量方程 YfXXX,,,,，，00,pll—测量数据的权—单位权方差—测量数

据,,2212tiiii,,yaxaxax,，，2,,11111221tt,,, 估计量方程，，二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规 ,,的方差 yaxaxax,，，,22112222tt,，，YfXXX,,,,,nnt12不等精度测量，可将误差方程化为等精度测量。将(5-9),T,

例:P111 APV,0nt, 1、，求出唯一解 X=(X1，X2，……，Xn) 两端同乘相应权的平方根得: ,yaxaxax,，，nnnntt1122, 2、 n

成: ,vplpapxapxapx,,，，，，，11111111121211tt,vlaxaxax,,，，,，，111111221tt,1YYY,,,yyy,,,设直接量的估计量分别为，则有如1212121212 残差

方程 (5-9) TT12n12n，，,vplpapxapxapx,,，，，,,XAPAAPL,该方程的解，即参数的最小二乘法解为: ，，22222121222222tt，，vlaxaxax,,，，,,222112222tt 下关系: ,,,1,,,TT,T,，，,XCAPL,令CAAAPA,,，则: ，，，，

1212121212vplpapxapxapx,,，，，,nnnnnnnnntnt1122,vlaxaxax,,，，,nnnnntt1 122, 6

(二)不等精度测量数据的精度估计四、最小二乘原理与算术平均值的关系第四节组合测量的最小二乘法处理

n2X的估计量，对它进行次测量，得数据为确定一个量xnpv,ii2组合测量，是通过直接测量待测量的各种组合量(一般是等i,1 测量数据的单位权方差的无偏估计为,,ppp,,,，相应的权为。误差方程为: lll,,,12n12n精度测量)。然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测量参nt,

数的估计量，并给出其精度估计。 vlx,,,11n例: P122 2, pvvlx,,,,22ii

2i,1, 通常习惯写成: ,,, nt,,vlx,,nn ,

其最小二乘法处理的正规方程为 npaaxpal,,,,,第六章回归分析 2pv,ii第一节回归分析的基本概念 i,1 故测量数据的单位权标准差为: ,,知，所以

pxpl,a,1,,,,一、函数与相关 ,nt

函数关系相关关系最小二乘法处理的结果: 二、回归分析思路